狹義相對(duì)論時(shí)空觀的教學(xué)探討

何春山

(中山大學(xué)物理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

相對(duì)論原理的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，掌握狹義相對(duì)論的基本理論是應(yīng)用的基礎(chǔ)[1,2]。狹義相對(duì)論的教學(xué)是大學(xué)物理課程中的一大亮點(diǎn)，也是一大難點(diǎn)。大學(xué)一年級(jí)學(xué)生在經(jīng)歷了若干年的牛頓力學(xué)熏陶后，突然進(jìn)入到一個(gè)與高速相關(guān)的新的時(shí)空世界，非常興奮，然而，由于受牛頓絕對(duì)時(shí)空觀的影響太深，在理解愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論時(shí)空觀時(shí)，常常感到吃力，解決問(wèn)題也不能得心應(yīng)手。本文從最基本的原理入手，以兩道非常典型的與時(shí)空和速度相關(guān)的習(xí)題為范例，分別在相對(duì)靜止的K系和運(yùn)動(dòng)的K′系中來(lái)求解同一與時(shí)空相關(guān)的問(wèn)題。

1 狹義相對(duì)論基本原理

在愛(ài)因斯坦在1905年提出狹義相對(duì)論的文章《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》里，給出了兩個(gè)原理(或稱“假設(shè)”)，即相對(duì)性原理和光速不變?cè)韀3]。相對(duì)性原理指的是物理定律在一切慣性參考系中都具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，也就是說(shuō)一切慣性系中物理現(xiàn)象的描述都是等價(jià)的；光速不變?cè)碇傅氖窃诒舜讼鄬?duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的任一慣性參考系中，所測(cè)得的光在真空中的傳播速度都是同一個(gè)常數(shù)c，它表明光在真空中的傳播速度與光源和觀察者的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)[4]。需要特別指出的是，狹義相對(duì)論的同時(shí)性是基于光速不變?cè)恚徽且驗(yàn)樗?，?ài)因斯坦給我們展現(xiàn)了一個(gè)精彩的、有別于牛頓絕對(duì)時(shí)空觀的狹義相對(duì)論時(shí)空觀。光速不變?cè)砜傻玫酵瑫r(shí)的相對(duì)性，確定不同慣性系之間的時(shí)間關(guān)系，進(jìn)一步可推導(dǎo)得到洛倫茲變換，而不是反過(guò)來(lái)理解，這一點(diǎn)初學(xué)者要特別引起重視[5-7]。雖然洛倫茲最先得到時(shí)間與空間相關(guān)聯(lián)的洛倫茲變換形式，但是那個(gè)形式實(shí)質(zhì)上不是狹義相對(duì)論的洛倫茲變換。只有將狹義相對(duì)性原理與光速不變?cè)斫Y(jié)合在一起進(jìn)行推導(dǎo)，才能得到狹義相對(duì)論的洛倫茲變換，愛(ài)因斯坦先后以兩種不同的方法推導(dǎo)得到了這種變換關(guān)系[8，9]。

2 洛倫茲變換形式

設(shè)坐標(biāo)系K′(O′x′y′z′)以速度v相對(duì)坐標(biāo)系K(Oxyz)的x軸正方向運(yùn)動(dòng)，x軸與x′軸重合，t′=t=0時(shí)，原點(diǎn)O與O′也重合，則洛倫茲正變換和逆變換形式分別為

進(jìn)一步推導(dǎo)可得到相對(duì)論速度的變換公式為

3 狹義相對(duì)論時(shí)空觀

由式(3)可知，如果在K系不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生了兩個(gè)事件，由于Δt=0，Δx≠0，從而Δt′一定不為零，因此在相對(duì)于K系運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)慣性系K′中觀測(cè)，這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生，因此同時(shí)具有相對(duì)性意義。只有在同一地點(diǎn)，同一時(shí)刻發(fā)生的兩個(gè)事件，在其他慣性系中才同時(shí)發(fā)生。狹義相對(duì)論的時(shí)空觀可表述如下：

1) 對(duì)于發(fā)生在不同慣性系的兩個(gè)事件而言，它們的空間關(guān)系是相對(duì)的，時(shí)間關(guān)系也是相對(duì)的，只有將空間和時(shí)間聯(lián)系在一起才有意義；

2) 時(shí)、空不再相互獨(dú)立，需滿足洛倫茲變換關(guān)系；

3) 光速c是建立不同慣性系間時(shí)空變換的紐帶。

4 典型習(xí)題分析

4.1 習(xí)題一

一只裝有無(wú)線電發(fā)射和接收裝置的飛船，正以4c/5的速度飛離地球。當(dāng)宇航員發(fā)射一無(wú)線電信號(hào)后，信號(hào)經(jīng)地球反射，60s后宇航員才收到返回信號(hào)。求：

1) 在地球反射信號(hào)的時(shí)刻，從飛船上測(cè)得的地球離飛船多遠(yuǎn)？

2) 當(dāng)飛船接收到反射信號(hào)時(shí)，地球上測(cè)得的飛船離地球多遠(yuǎn)？

1) 在K′系(飛船上)中測(cè)量，宇航員是靜止的，地球以4c/5的速度遠(yuǎn)離他而去，他發(fā)出的無(wú)線電信號(hào)以光速c去追地球，信號(hào)碰到地球后被地球瞬間反射回來(lái)，再被宇航員接收到。顯然無(wú)線電信號(hào)一來(lái)一回所走過(guò)的路程相等，所用的時(shí)間也相等，都為30s。因此在地球反射信號(hào)的時(shí)刻，從飛船上測(cè)得的地球離飛船的距離為c×30=9×109(m)。

得到的Δx就是飛船接收到反射信號(hào)時(shí)，地球上(K系)測(cè)得的飛船離地球的距離。

解法二。在K系(地球上)觀察，飛船存在3個(gè)特征時(shí)空點(diǎn)，如圖1所示。飛船在時(shí)空點(diǎn)(x1,t1)向地球發(fā)出一個(gè)無(wú)線電信號(hào)(淺色箭頭)，當(dāng)信號(hào)到達(dá)地球的瞬間，飛船到達(dá)時(shí)空點(diǎn)(x2,t2)；信號(hào)被地球反射后，反射信號(hào)(深色箭頭)在時(shí)空點(diǎn)(x3,t3)追上飛船并被宇航員接收。

圖1 K系中觀察，飛船經(jīng)歷的3個(gè)特征時(shí)空點(diǎn)

宇航員發(fā)送和接收信號(hào)這兩個(gè)事件在K′系中是同一地點(diǎn)先后發(fā)生的事情，即有

利用式(4)得Δt=t3-t1=γΔt′=100(s)，即在K系中觀察，信號(hào)的收發(fā)時(shí)間差為100s。從圖1可看出，從無(wú)線電信號(hào)被地球反射到被宇航員接收，信號(hào)所行進(jìn)的距離正好等于飛船所在的時(shí)空點(diǎn)(x3,t3)離地球的距離。據(jù)此可列出一個(gè)方程

1) 地球反射信號(hào)的時(shí)刻，飛船處于時(shí)空點(diǎn)(x2,t2)，飛船與地球之間的距離x2在K系中是同時(shí)測(cè)量的，因此Δx=x2=18c(m),Δt=0(s)，利用式(3)可得Δx′=γΔx=30c=9×109(m)。

2)x3=90c=2.7×1010(m)即為飛船接收到反射信號(hào)時(shí)，地球上測(cè)得的飛船離地球的距離。

4.2 習(xí)題二

地球上的觀察者發(fā)現(xiàn)一只以速率0.6c向東航行的宇宙飛船將在5s后同一個(gè)以0.8c速率向西飛行的彗星相撞。求：

1) 飛船中的人們測(cè)得彗星以多大速率向他們接近。

2) 按照他們的鐘，還有多少時(shí)間允許他們離開(kāi)原來(lái)航線避免碰撞。

解1) 設(shè)地球?yàn)镵系，飛船為K′系，由題設(shè)條件得v=0.6c,ux=-0.8c，利用式(5)可得到

解2)解法一。在K系中分析。以地球上發(fā)現(xiàn)飛船經(jīng)過(guò)某地，飛船和彗星相隔一段距離(并將于5s后相撞)為事件1，以地球上發(fā)現(xiàn)飛船和彗星即將相撞為事件2。這兩件事對(duì)K′系(飛船)來(lái)說(shuō)是在同一地點(diǎn)先后發(fā)生的，因此Δx′=0。利用式(4)得Δt′=Δt/γ=4(s)。

Δx=(0.6c+0.8c)×5=7c(m)

該結(jié)果與解法一的結(jié)果不一致，問(wèn)題出在哪里呢？

5 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)兩道典型的與狹義相對(duì)論時(shí)空有關(guān)的范例的分析，詳盡地討論了在K和K′兩個(gè)參考系中進(jìn)行求解的方法。相互印證，增強(qiáng)理解，使學(xué)生更容易掌握解決狹義相對(duì)論時(shí)空問(wèn)題的方法。強(qiáng)調(diào)了用相對(duì)論速度求解時(shí)空問(wèn)題時(shí)同時(shí)性的重要性，有助于初學(xué)者深入理解狹義相對(duì)論的時(shí)空觀。