一階RC電路的深度透視： 概念、思想和方法

陳昌兆

(安徽理工大學(xué)力學(xué)與光電物理學(xué)院, 安徽 淮南 232001)

1 提出問題

一階RC串聯(lián)電路是最簡(jiǎn)單的交流電路形式，廣泛存在于電磁學(xué)、電路分析、電子學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)等物理類、電工電子類課程教學(xué)中。盡管是最為簡(jiǎn)單的電路形式之一，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中仍然存在不少問題，這種學(xué)習(xí)上的困難尤其表現(xiàn)在基于電路行為的定性分析層面上。眾多的教學(xué)案例和教學(xué)研究都表明大多數(shù)學(xué)生或許能夠正確地求解電路系統(tǒng)的微分方程，但并未完全理解隱藏于方程求解背后的核心概念和此類電路分析的總體指導(dǎo)思想和原則，在物理概念模糊、毫無指導(dǎo)思想前提下片面追求解題方法必然導(dǎo)致認(rèn)識(shí)層面的狹隘和不足甚至是理解上的錯(cuò)誤。

為了提高RC電路的教學(xué)效果，加深學(xué)生對(duì)儲(chǔ)能元件電容的工作特性的深度理解，國(guó)內(nèi)外的教學(xué)工作者在實(shí)際教學(xué)中嘗試了很多新的教學(xué)方法并取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果[1-3]。Thacker等人[4]仔細(xì)研究了美國(guó)低年級(jí)電子工程類大學(xué)生以及以色列高中生對(duì)RC直流電路中電荷和電流的認(rèn)識(shí)水平，提出了一種基于微觀模型的教學(xué)方法并付諸實(shí)踐，通過問卷測(cè)試、面試等教學(xué)手段證明此種方法與傳統(tǒng)的單純求解方程的教學(xué)手段相比不僅能夠從定性層面對(duì)電路行為做出正確的預(yù)測(cè)，還能夠加深學(xué)生對(duì)宏觀電磁現(xiàn)象的理解。Newburgh[5]和Osmond[6]分析一個(gè)荷電的電容器與另外一個(gè)未荷電電容器接觸時(shí)電流和電荷的分布狀況，將此體系類比于有活塞相連時(shí)兩個(gè)不同盛水狀態(tài)的水瓶體系的水流和容量分布。由美國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金資助的CASTLE(Capacitor-Aided System for Teaching and Learning Electricity)項(xiàng)目由部分高中以及大學(xué)物理教師發(fā)起，旨在通過構(gòu)建基于電容的模型系統(tǒng)克服學(xué)生在學(xué)習(xí)電路時(shí)遇到的困難。在Steinberg和Wainwright的教學(xué)實(shí)踐中，充電的電容器甚至形象地比作被壓縮的空氣[7]。愛爾蘭都柏林城市大學(xué)的Smith教授[8]高度整合了以前關(guān)于RC電路中電容器行為的教學(xué)中對(duì)電流、電荷、電阻、電壓和能量的種種唯象描述，提出了依賴于電路中電容器的狀態(tài)而將電容器功能類比成導(dǎo)線、開關(guān)或電池，從而對(duì)電路中燈泡或電容器的定性行為作出合理判斷的方法。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于直觀性和直接性，可以讓學(xué)生在很短的時(shí)間內(nèi)對(duì)RC電路的定性行為作出合理的預(yù)測(cè)。

圖1 由電源、開關(guān)、小燈泡和電容組成的一階RC串聯(lián)電路

實(shí)際上，采用唯象的模型系統(tǒng)和類比的教學(xué)方法教授RC電路固然有一定的優(yōu)越性，但也存在諸多難以解決的問題。因?yàn)楦鞣N模型系統(tǒng)和類比對(duì)象都存在一定適用性，何種條件下采用特定的模型系統(tǒng)是學(xué)生很難把握的問題。單一的模型系統(tǒng)無法解決所有問題，而種類繁多的模型系統(tǒng)又會(huì)讓學(xué)生變得無所適從。圖1是一個(gè)由電池、電容器、小燈泡和開關(guān)組成的最簡(jiǎn)單一階RC串聯(lián)電路，假設(shè)電容器起始未充電，則從開關(guān)閉合到經(jīng)過很長(zhǎng)一段時(shí)間，問燈泡的亮度如何變化？在這一段時(shí)間跨度上，電容器的表現(xiàn)何時(shí)像導(dǎo)線，何時(shí)又像電池或開關(guān)，這些都是足以讓學(xué)生困惑的問題。

縱然我們有充分理由引入電容模型講授RC電路，模型的直觀性和形象性會(huì)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)電路中電容行為的感性認(rèn)識(shí)，但教學(xué)本身是一個(gè)系統(tǒng)工程，任何感性認(rèn)識(shí)最終都要理性回歸。過度的依靠模型講解問題會(huì)給學(xué)生造成先入為主的觀念，模型在絕對(duì)化的同時(shí)學(xué)生的思維會(huì)僵化，這正是人類思維上的缺陷。前蘇聯(lián)著名實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家、Nobel獎(jiǎng)獲得者卡皮查教授不厭其煩地告訴他的研究生們從事科學(xué)研究時(shí)選題的重要性，在他看來，科研好比一棵由根、枝和葉組成的大樹，真正的科研應(yīng)該從根上做起。教學(xué)又何嘗不是這樣，它同樣是有層次的。教學(xué)尤其是理工科的課堂教學(xué)往往從概念(如速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等)入手，通過實(shí)驗(yàn)或推理建立不同概念之間的定量關(guān)系從而獲得解題的總體指導(dǎo)思想，這往往表現(xiàn)為定理或定律(如牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，高斯定理等)，最后才是具體的解題方法。概念是核心必須吃透、思想是綱領(lǐng)必須掌握、方法是手段作到具體問題具體分析，只有明確這一點(diǎn)，教師才不至于在教學(xué)過程中舍本求末，學(xué)生也不至于在學(xué)習(xí)過程中迷失方向。以下就以一階RC串聯(lián)電路的教學(xué)為例，闡述三者之間的關(guān)系和聯(lián)系。

2 核心概念—電容的伏安特性

圖2 開關(guān)合上后一階RC電路中電容器上電壓和回路電流隨時(shí)間變化

這些錯(cuò)誤的推理反映出學(xué)生思維上混亂和物理概念上的不清晰。盡管他們給出了多種多樣的錯(cuò)誤解釋，但問題的癥結(jié)都聚焦于同一點(diǎn)，即一個(gè)物理量的時(shí)間變化率和這個(gè)物理量本身之間的關(guān)聯(lián)。正如電容的伏安特性所揭示的，通過電容器的電流iC(t)正比于電容上的電壓vC(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但兩者不是同一個(gè)概念。開關(guān)合上時(shí)電容器上為零的電壓卻對(duì)應(yīng)最大的電壓變化率，否則電容器上的電壓不會(huì)變化，又何來充放電過程。這正如力學(xué)中速度和加速度的關(guān)系，眾所周知加速度是速度的時(shí)間變化率。設(shè)想一個(gè)處于靜止?fàn)顟B(tài)的球從高處落下，t=0時(shí)刻球的速度為零但加速度不可能為零，否則球如何能下落？

學(xué)生們的困惑來自于電容器零電壓時(shí)具有的最大電壓變化率，單純從數(shù)學(xué)的角度考慮，似乎是他們對(duì)瞬時(shí)斜率或者說導(dǎo)數(shù)的物理意義理解上有偏差。實(shí)際上，學(xué)生們的誤解不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)問題，還是一個(gè)哲學(xué)問題，因?yàn)樗婕皩?duì)連續(xù)性、運(yùn)動(dòng)和無限性的錯(cuò)誤解讀。哈佛大學(xué)拓展學(xué)院的Newburgh教授把它稱為芝諾悖論(Zeno’s paradoxes)的新型表現(xiàn)形式。[9]芝諾是古希臘哲學(xué)家，因?yàn)樘岢鲆幌盗嘘P(guān)于運(yùn)動(dòng)的不可分性的哲學(xué)悖論而著名，其中最有代表性的就是“飛矢不動(dòng)”學(xué)說。設(shè)想一支飛行的箭，在每一時(shí)刻它位于空間中的特定位置。由于時(shí)刻無持續(xù)時(shí)間，箭在每個(gè)時(shí)刻都沒有時(shí)間而只能是靜止的。鑒于整個(gè)運(yùn)動(dòng)期間只包含時(shí)刻，而每個(gè)時(shí)刻又只有靜止的箭，所以芝諾斷定，飛行的箭總是靜止的，它不可能在運(yùn)動(dòng)！這顯然是悖論但恰恰與學(xué)生的誤解相吻合，即初始時(shí)刻電壓為零，由于時(shí)刻沒有間隙，所以電壓不會(huì)隨時(shí)間而改變。Kine[10]采用德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Cantor)的超窮數(shù)理論很好地解決了這一問題?？低?Cantor)的超窮數(shù)理論表明一個(gè)線段上點(diǎn)的數(shù)目等于超限數(shù)C，它跟線段的長(zhǎng)度沒有關(guān)系。同樣的道理，一段時(shí)間間隔內(nèi)瞬時(shí)時(shí)刻的數(shù)目也是獨(dú)立于間隔長(zhǎng)度的超限數(shù)C。因此，在任何一段時(shí)間間隔內(nèi)都可以有無限個(gè)靜止，這相當(dāng)于承認(rèn)了時(shí)間間隔的存在。箭在每個(gè)時(shí)刻都不動(dòng)這一事實(shí)不能說明它是靜止的，運(yùn)動(dòng)與時(shí)刻本身無關(guān)，而是與時(shí)刻間發(fā)生什么有關(guān)。除非一個(gè)物體在兩個(gè)相鄰的時(shí)刻處在同一位置，否則它就一定是運(yùn)動(dòng)的。

我們注意到前述的各種模型教學(xué)法都力圖通過將電路中的電容行為與常見的生活現(xiàn)象進(jìn)行類比從而使學(xué)生獲得對(duì)電容特性的直觀認(rèn)識(shí)，加深對(duì)電容器上電荷分布、電壓以及電容器充放電過程這些基本概念和物理規(guī)律的理解。模型教學(xué)法的使用的確在一定程度上能夠提高教學(xué)效果并在眾多的教學(xué)實(shí)踐中得到證實(shí)，這主要得益于關(guān)于電容器的一些較為抽象的物理概念被形象化處理。但每一種模型都有自身的缺陷性，這些缺陷如果沒有被學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)到就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的判斷。例如，將電容器類比為儲(chǔ)水的容器，電路中的電流被類比為水管中的水流，但荷電的電容器可以自發(fā)放電，而水流動(dòng)必須在外界重力場(chǎng)的作用下才能實(shí)現(xiàn)，如何用該模型系統(tǒng)解釋電容器的自發(fā)放電行為就存在問題。實(shí)際上，在多年的電路教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單的類比教學(xué)法主要適用對(duì)象是剛剛接觸電容器的入門級(jí)的學(xué)生，他們初次接觸電容器并且對(duì)其工作特性知之甚少，在這種情況下引入模型系統(tǒng)會(huì)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)電容器的感性認(rèn)識(shí)，從而加深學(xué)生對(duì)基本物理概念的理解。對(duì)于有一定電路基礎(chǔ)的學(xué)生而言，在RC電路教學(xué)中，學(xué)生們?cè)诟拍铙w系上的最大認(rèn)識(shí)誤區(qū)并不是像電容、電流、電荷和電壓這些物理概念的模糊不清，而在于電容的伏安特性中所蘊(yùn)含的哲學(xué)困惑。教師在教學(xué)過程中必須抓住這個(gè)核心概念并引導(dǎo)學(xué)生走出認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，只有這樣才能正確地定性分析電路并定量地求解電路。

3 基本指導(dǎo)思想—基爾霍夫定律

復(fù)雜的電路系統(tǒng)往往表現(xiàn)為由眾多的支路、節(jié)點(diǎn)和回路組成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的求解就不是簡(jiǎn)單的串并聯(lián)電路公式所能解決的。但是電路終歸是由電路元件(如電容、電感和電阻)依據(jù)一定的串并聯(lián)關(guān)系連接而成的有機(jī)整體，所以電路問題的求解依據(jù)只能依靠?jī)深惣s束特性。其一是元件的約束特性，它反映的是電路元件模型的關(guān)系式，上述的電容伏安特性就屬于這一類。其二是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束，也就是由網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立的各電流和電壓之間的定量關(guān)系，這種約束關(guān)系最早是由德國(guó)物理學(xué)家基爾霍夫給出，因而被稱之為基爾霍夫定律?；鶢柣舴蚨墒乔蠼怆娐返钠毡橐?guī)律，也是進(jìn)行電路分析的基本指導(dǎo)思想。在電磁學(xué)、電工學(xué)、電路分析以及信號(hào)與系統(tǒng)等課程學(xué)習(xí)中，我們或許會(huì)發(fā)現(xiàn)各種各樣的電路求解方法，如傳統(tǒng)的微分方程求解法、正弦穩(wěn)態(tài)電路相量分析、三要素法、拉普拉斯變換法等，但沒有一種求解方法不是以基爾霍夫定律為基礎(chǔ)的。

定理或定律的講授一般要求做到3點(diǎn)：首先是定理的歷史淵源并從其歷史淵源中找出定理成立的條件；其次是定理的證明方法或推理過程；最后才是定理的意義和應(yīng)用。國(guó)內(nèi)現(xiàn)有教材對(duì)基爾霍夫定律的描述主要放在電壓、電流這些代數(shù)量正、負(fù)號(hào)的規(guī)定和解讀以及應(yīng)用舉例上，很少涉及其來源和具體適用條件。我們?cè)陂喿x過程中發(fā)現(xiàn)，歐美一些發(fā)達(dá)國(guó)家的高校理工科教材在介紹某個(gè)定理或定律時(shí)，會(huì)花較大篇幅放在概念或定理的引入上，如費(fèi)曼的《物理學(xué)講義》就是這樣。將定理的來龍去脈以循循善誘的方式講授給學(xué)生，并盡量以條分縷析的方法完成定理的證明或推理，這些固然需要花費(fèi)較多的時(shí)間但是值得的。因?yàn)檫@會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，所謂知其然知其所以然，刨根問底的學(xué)習(xí)態(tài)度才是創(chuàng)新的源頭活水，而將基爾霍夫定律直接以公式的形式拋給學(xué)生并根據(jù)公式指導(dǎo)學(xué)生解題是工程師的思維，不是科學(xué)家應(yīng)該具有的態(tài)度。

4 RC電路分析方法

最后我們討論一下一階RC電路的求解方法。方法不同于概念和思想，它處于較低層面上，具有具體性和相對(duì)性。一階RC電路的分析討論，根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)和所屬課程情況，分析方法有多種形式，如電磁學(xué)中常用求解微分方程，電工學(xué)中三要素法，電路分析中的正弦穩(wěn)態(tài)電路相量分析法以及信號(hào)與系統(tǒng)中拉普拉斯變換法。還是以電路1為例，以激勵(lì)信號(hào)源的電動(dòng)勢(shì)e(t)作為輸入信號(hào)，電容器上電壓vC(t)作為輸出信號(hào)。對(duì)這樣一個(gè)最為簡(jiǎn)單的一階RC電路，求解微分方程、三要素法和拉普拉斯變換法是教科書中最為常見的3種求解方法，現(xiàn)簡(jiǎn)單分述如下。

(2) 三要素法：三要素法僅適用于直流電源驅(qū)動(dòng)的只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的一階電路的全響應(yīng)的一般表達(dá)式。因?yàn)橹绷麟娫碋驅(qū)動(dòng)下，上述微分方程的定解問題其解的形式為vC(t)=vC(∞)+[vC(0+)-vC(∞)]e-t/τ，此vC(∞)=E為電容器上電壓的穩(wěn)態(tài)值，τ=RC為一階RC電路的時(shí)間常數(shù)。由此可見，直流激勵(lì)下一階RC電路的全響應(yīng)取決于穩(wěn)態(tài)值、初態(tài)值和時(shí)間常數(shù)這3個(gè)要素，總是從初始值vC(0+)開始，按照指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)或衰減到穩(wěn)態(tài)值vC(∞)，響應(yīng)變化的快慢取決于電路的時(shí)間常數(shù)τ。

(3) 拉普拉斯變換法：拉普拉斯變換法可以直接對(duì)(1)中的微分方程兩邊求拉普拉斯變換并利用拉普拉斯變化的微分性質(zhì)得到RC[sVC(s)-vC(0-)]+VC(s)=E(s)，式中，VC(s)和E(s)分別為vC(t)和e(t)的單邊拉普拉斯變換；vC(0-)為電容器上電壓在換路前的起始值，通過積分變換化微分方程為代數(shù)方程，由此求出VC(s)并對(duì)其實(shí)施反變換即可求出vC(t)。

上述3種不同方法求解時(shí)用到的基本公式、求解過程以及適用條件等列于表1中。從表中的內(nèi)容可以看出方法的多樣性和具體性，追其根源，它們只不過是基爾霍夫定律在特定的激勵(lì)源和電路起始狀態(tài)下的變化形式，因而往往只適合于特定的場(chǎng)合和條件。條件變化，求解方法往往也隨著變化，比如在電路分析課程學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常用“電容上電壓不會(huì)突變，通過電感的電流不會(huì)突變”來分析換路前后儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)的變化，但這僅限于在沒有沖激電流作用于電容以及沒有沖激電壓作用于電感的條件成立，否則電容上電壓和通過電感的電流是可以突變的。

表1 RC電路常見3種電路分析方法

5 結(jié)語

一階RC電路廣泛出現(xiàn)在電工、電子類的課程教學(xué)中，但學(xué)生們?cè)诶斫馍弦恢庇欣щy。多年來，國(guó)內(nèi)外教學(xué)工作者為提高RC電路教學(xué)效果所作的努力大多停留在電容模型的引入和電路分析方法挖掘上，而忽略了理工科課程教學(xué)中最基本的問題：教授物理概念和思想。我們深度剖析了一階RC電路中涉及的重要物理概念、物理學(xué)基本定律以及電路分析方法之間的層次性和主次關(guān)系，指出了學(xué)生們學(xué)習(xí)上的最大困擾植根于電容的伏安特性中所蘊(yùn)含的電壓變化率的認(rèn)識(shí)誤區(qū)以及對(duì)基爾霍夫定律作為主要指導(dǎo)思想的認(rèn)識(shí)不足。