電磁場(chǎng)理論對(duì)線性電路疊加原理的解釋

摘要：從穩(wěn)恒電磁場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度的疊加性出發(fā)，重點(diǎn)研究以穩(wěn)恒條件下線性電路中電流、電壓的疊加性。結(jié)果表明，線性電路中電流、電壓的疊加性可以從電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度具有的矢量疊加性及歐姆定律成立時(shí)電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的線性關(guān)系得到完善解釋。

關(guān)鍵詞：電場(chǎng)；磁場(chǎng)；電流；電壓；疊加

在電路理論中，特征物理量主要是電流 和電壓 ；在電磁場(chǎng)理論中，最重要的概念是“場(chǎng)”，特征物理量主要是電場(chǎng)強(qiáng)度 和磁場(chǎng)強(qiáng)度 。電路的重要作用之一是將電源的能量傳輸給負(fù)載。能量由空間傳遞，似乎導(dǎo)線的作用不大，但正是因?yàn)閷?dǎo)線上有電荷和電流分布，才使空間存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)，通過場(chǎng)把能量傳遞給負(fù)載，而且導(dǎo)線還起著引導(dǎo)能量走向的作用 。這表明，電路中電壓、電流的疊加性與電場(chǎng)強(qiáng)度 、磁場(chǎng)強(qiáng)度 密切相關(guān)。電磁場(chǎng)的能量以電磁能流密度 為基本單位、以電磁波的形式向空間、負(fù)載傳輸?？梢韵氲?，電場(chǎng)強(qiáng)度 、磁場(chǎng)強(qiáng)度 應(yīng)該與電流 和電壓 有密切聯(lián)系。通過歐姆定律的微分形式 ，更能明確看出電流和電場(chǎng)強(qiáng)度的內(nèi)在聯(lián)系；通過安培環(huán)路定律—— 亦可以看到磁場(chǎng)強(qiáng)度 和電流 存在著緊密聯(lián)系。本文以從電磁場(chǎng)的角度對(duì)線性電路疊加原理作出理論上的一些解釋來說明并引起人們對(duì)“路”和“場(chǎng)”的重視，以及認(rèn)識(shí)到電磁場(chǎng)理論對(duì)電路理論的指導(dǎo)意義，認(rèn)識(shí)到不同學(xué)科知識(shí)的有機(jī)融合有助于建立新的知識(shí)聯(lián)系橋梁。

1線性電路疊加原理內(nèi)容闡述

線性電路疊加原理 可表述為：“線性電阻電路中，任一電壓或電流都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該處產(chǎn)生的電壓或電流的疊加?！碑?dāng)電路中含有g(shù)個(gè)電壓源和h個(gè)電流源時(shí)，任意一處的電壓 或電流 都可以寫為以下形式：

（1.1）

式中 ， 分別表示第m個(gè)獨(dú)立的電壓源和獨(dú)立的電流源。

根據(jù)基爾霍夫電流定律及電壓定律可以將式（1.1）改寫為： （1.2）

式中 分別為電路中電流源或電壓源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流、電壓。式（1.2）明確地反映出線性電路的疊加性。對(duì)于穩(wěn)恒電路，式（1.2）可改寫為： （1.3）

2電磁場(chǎng)理論對(duì)線性電路疊加原理的解釋

2.1靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度 、電勢(shì) 的疊加性

2.1.1點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng) 、電勢(shì) 的描述

在靜止點(diǎn)電荷 激發(fā)的電場(chǎng)中的某一點(diǎn) 放置一個(gè)靜止的檢驗(yàn)點(diǎn)電荷 ，由庫(kù)侖定律知： 所受到的電場(chǎng)力為：

（2.1.1）

式中 是場(chǎng)點(diǎn) 與點(diǎn)電荷 的距離， 是從場(chǎng)源點(diǎn)電荷 到場(chǎng)點(diǎn)點(diǎn)電荷 的單位矢量。

在靜止點(diǎn)電荷 激發(fā)的電場(chǎng)中，點(diǎn) 放置一個(gè)靜止的檢驗(yàn)點(diǎn)電荷 ， 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：

（2.1.2）

根據(jù)電勢(shì)的定義 ，可得到 點(diǎn)的電勢(shì)為： （2.1.3）

設(shè)參考點(diǎn) 的電勢(shì)為零。由式（2.1.3）可得到靜電場(chǎng)中任意兩點(diǎn) 間的電勢(shì)差（也稱為電壓）： （2.1.4）

式（2.1.4）清楚表明電壓和場(chǎng)強(qiáng) 的積分關(guān)系，電場(chǎng)強(qiáng)度 和電壓 都從不同角度描述了電場(chǎng)的性質(zhì)，也將電磁場(chǎng)理論中的特征量 與電路理論中的特征量 緊密聯(lián)系起來。

2.1.2任意點(diǎn)電荷系中的場(chǎng)強(qiáng) 、電勢(shì) 的疊加性

當(dāng)電場(chǎng)是由 個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)時(shí)，電場(chǎng)中的場(chǎng)點(diǎn) 處的點(diǎn)電荷 受到的電場(chǎng)力 為各個(gè)場(chǎng)源電荷的庫(kù)侖力的疊加，即： （2.1.5）

則點(diǎn)電荷系中電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為： （2.1.6）

式（2.1.6）表明了 個(gè)點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)在某點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)所激發(fā)的電場(chǎng)在該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。

同樣的道理，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理，可以得到電勢(shì)的疊加原理。點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場(chǎng)中任意點(diǎn) 對(duì)參考點(diǎn) 的電勢(shì)為： （2.1.7）

對(duì)比（2.1.4）和式（2.1.7），可以得到電場(chǎng)中任意兩點(diǎn) 間電壓的疊加原理：

（2.1.8）

可見，這里由電場(chǎng)強(qiáng)度 的可疊加性，得出了電壓 的可疊加性。

2.2穩(wěn)恒電路中電壓的疊加性

對(duì)于電路來說，一個(gè)電源可看成一個(gè)點(diǎn)電荷系，多個(gè)電源可看成多個(gè)點(diǎn)電荷系。由前所述，可得到在穩(wěn)恒線性電路中，電壓的可疊加性依舊可由電源產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加性來得出。

設(shè)電路中只有一個(gè)獨(dú)立源時(shí)，電源兩個(gè)極板所帶的電荷組成點(diǎn)電荷系，由點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)公式（2.1.6）可得到該電源產(chǎn)生于導(dǎo)體內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為： （2.2.1）

其中 為極板上任意一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)。當(dāng)電路閉合后，在負(fù)載兩端產(chǎn)生的電壓（導(dǎo)線電阻很小，可以忽略導(dǎo)線上的電壓） 為： （2.2.2）

對(duì)于穩(wěn)恒電路中的任意一個(gè)獨(dú)立源來說，電源的兩極板上的電荷量 是一確定值，因此，可用 表示任意獨(dú)立源在電路中任意點(diǎn) 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，則由場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理可以得到電路中的多

個(gè)獨(dú)立源在 點(diǎn)產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)為： （2.2.3）

其中 ， 表示任意獨(dú)立源到場(chǎng)點(diǎn) 的距離。

由式（2.2.2）和式（2.2.3）可以得到在多個(gè)獨(dú)立源存在的穩(wěn)恒線性電路中負(fù)載兩端 間的電壓的表達(dá)式：

（2.2.4）

它和（1.3）式中關(guān)于電壓疊加的表達(dá)式 是一致的。

這樣，就從電磁場(chǎng)的角度闡明了線性電路中電壓的可疊加性。

2.3穩(wěn)恒電路中電流的疊加性

實(shí)驗(yàn)指出 ：金屬中歐姆定律的微分形式為： （2.2.5）

上式中 為金屬的電導(dǎo)率，對(duì)于均勻材料 為常數(shù)，僅與材料的性質(zhì)有關(guān)。式（2.2.5）反映了導(dǎo)體內(nèi)部任一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系：電流密度 只決定于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 ，且兩者方向相同。

在導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)處取一曲面 ，則通過任意曲面的電流 為： （2.2.6）

由式（2.2.5）和式（2.2.6）可以得到電流 與場(chǎng)強(qiáng) 的積分關(guān)系：

（2.2.7）

若穩(wěn)恒電路中只有一個(gè)獨(dú)立電源，則這個(gè)獨(dú)立電源任一曲面 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)是恒定的，因?yàn)殡妷簝蓸O板上的電荷分布是不隨時(shí)間而改變的，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式 可以知道場(chǎng)強(qiáng)是恒定的，該電源產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)所形成的電流也是恒定的。此時(shí)產(chǎn)生的電流可由式（2.2.7）確定。

當(dāng)電路中含有多個(gè)獨(dú)立源時(shí)，每個(gè)獨(dú)立源在電路中導(dǎo)體內(nèi)部將產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)。根據(jù)式（2.2.3）可以得到電場(chǎng)中任意點(diǎn) 產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)。

相應(yīng)地，在導(dǎo)線中的任意點(diǎn) 取一曲面 ，則各獨(dú)立源在該處產(chǎn)生的電流為：

（2.2.8）

那么，在曲面 處產(chǎn)生的總的電流相應(yīng)地可表示為：

（2.2.9）

它和（1.3）式中關(guān)于電流疊加的表達(dá)式 是一致的。

這樣，就從電磁場(chǎng)的角度闡明了線性電路中電流的可疊加性。

綜上，線性電路中電流、電壓的疊加性可以從電場(chǎng)強(qiáng)度 、磁場(chǎng)強(qiáng)度 具有的矢量疊加性以及歐姆定律成立時(shí)電流密度 與電場(chǎng)強(qiáng)度 的線性關(guān)系得到完善的解釋。

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【作者簡(jiǎn)介】何攀，男，漢族，四川省旺蒼縣人，大學(xué)本科，從事中學(xué)物理教育教學(xué)。