淺議矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系

王甘赟 夏燕

摘要：本文研究了矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：矩陣；線性方程組；向量組

1 引言

矩陣、線性方程組和向量組是線性代數(shù)的主要研究對象，很多學生在初學線性代數(shù)這門課程的時候只是單純的掌握矩陣、線性方程組、向量組等內(nèi)容各自的基本知識，對他們之間相互關(guān)系不是很了解，這樣就容易造成知識點分散不成體系，不能靈活運用這些知識，所以很有必要對矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系做一個歸納總結(jié)。

2 主要內(nèi)容

先來研究一下矩陣和線性方程組之間的關(guān)系，我們由消元法解線性方程組的過程可以看出：線性方程組 的解的情況由他的系數(shù)矩陣 和增廣矩陣 完全確定，具體關(guān)系反映在如下定理：

元線性方程組

（i）無解的充分必要條件是 ；

（ii）有惟一解的充分必要條件是 ；

（iii）有無限多解的充分必要條件是

具體在求解線性方程組的時候通常是先由系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩的關(guān)系判斷線性方程組解的情況，具體操作就是把增廣矩陣化成行階梯型矩陣然后分別看系數(shù)矩陣和增廣矩陣的非零行的行數(shù)，如果無解即系數(shù)矩陣非零行數(shù)小于增廣矩陣非零行數(shù)直接下結(jié)論不用繼續(xù)再往下做；如果是有唯一解或是無窮解即系數(shù)矩陣非零行和增廣矩陣非零行數(shù)相等且等于 或小于 ，則需要進一步把增廣矩陣的行階梯型矩陣化成行最簡形然后求解。這樣就避免解線性方程組上來就盲目把增廣矩陣化階梯型和最簡形，提高了求解效率。進一步可以推廣到矩陣方程 有解的充分必要條件是： 。

由于向量組包含有限向量組和無限向量組，先來看有限向量組和矩陣的關(guān)系：若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組，由此可以看到矩陣的列向量組和行向量組都是只含有有限個向量的向量組；反之，一個含有限個向量的向量組總可以構(gòu)成一個矩陣。對于無限向量組，他自己的最大無關(guān)組則是有限向量組，而且有結(jié)論無限向量組和自身的最大無關(guān)組是等價的，這樣掌握了最大無關(guān)組就掌握了向量組的全體，特別的，當向量組為無限向量組就能用有限向量組來代表，凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，立即可以推廣到無限向量組的情形中去。矩陣和向量組都有秩的概念，他們之間的關(guān)系是：矩陣的秩等于列（行）向量組的秩。

最難掌握的就是向量組和線性方程組的關(guān)系，由于向量組中就有一個向量能由向量組線性表示；一個向量組能用另外一個向量組線性表示；兩個向量組等價以及向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)等諸多概念，再結(jié)合上線性方程組和矩陣的秩和向量組的秩等內(nèi)容往往讓學生云里霧里理不出頭緒。要解決這個問題首先是要掌握有關(guān)向量組的基本概念，其次就要掌握線性方程組和向量組的關(guān)系。線性方程組和向量組的關(guān)系可以總結(jié)歸納如下：

線性方程組 有解當且僅當向量 能由向量組 線性表示；

矩陣方程 有解當且僅當向量組 能由向量組A線性表示；

向量組 線性相關(guān)當且僅當 元齊次線性方程組 有非零解；

向量組 線性無關(guān)當且僅當 元齊次線性方程組 只有零解；

3 總結(jié)

以上就是矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系的簡單總結(jié)，理清他們之間的關(guān)系再加上對各自內(nèi)容的掌握必能做到融會貫通、運用自如。

參考文獻：

[1]同濟大學. 工程數(shù)學： 同濟·第六版[M]. 高等教育出版社， 2016.

[2]王萼芳， 石生明. 高等代數(shù)輔導(dǎo)與習題解答：北大.第4版[M]. 高等教育出版社， 2013.