關(guān)于數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教育的思考

裴貴豐

數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.不僅是數(shù)學(xué)教育進(jìn)行“再教育”的需要，更重要的是培養(yǎng)能思考，會(huì)運(yùn)籌善于隨機(jī)應(yīng)變.適應(yīng)信息時(shí)代發(fā)展的合格公民的需要。本文從數(shù)學(xué)思維的特征，品質(zhì)出發(fā)、結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際，探討了中學(xué)數(shù)學(xué)教育如何有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的問(wèn)題。

1、數(shù)學(xué)思維及其特征

思維就是人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括與間接的反映。而數(shù)學(xué)思維就是人腦關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的思維、數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系、因而數(shù)學(xué)思維有其自己的特征。

第一，策略創(chuàng)造與邏輯演繹的有機(jī)結(jié)合。一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維包括宏觀和微觀兩個(gè)方面。宏觀上，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)是生動(dòng)活潑的策略創(chuàng)造。其中包括直覺(jué)、歸納、猜測(cè)、類(lèi)比聯(lián)想、合情推理、觀念更新、頓悟技巧等方面，微觀上，要求數(shù)學(xué)思維具有嚴(yán)謹(jǐn)性。要求嚴(yán)格遵守邏輯思維的基本規(guī)律，要言必有據(jù)，步步為營(yíng)，進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯演繹。事實(shí)上，任何一種新的數(shù)學(xué)理論、任河一項(xiàng)新的數(shù)學(xué)發(fā)明、只靠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[是推不出來(lái)的，必須加上生動(dòng)的思維創(chuàng)造.諸如特殊化一般化、歸納、類(lèi)比、頓悟等等。一旦有了新的想法，采取了新的策略，掌握了新的技巧，通過(guò)反復(fù)深入地提出猜想，加以修正，不斷完善，才有可能產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理論。也可以說(shuō)，數(shù)學(xué)思維過(guò)程總是似真推理與邏輯推理相互交織的過(guò)程。似真推理起著為邏輯思維探路.定向的作用.可以用來(lái)幫助在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)新命題，提出可能的結(jié)論、找到解題的途徑與方法等。其中，類(lèi)比推理和不完全歸納推理更是兩種重要的策略推理形式，而邏輯推理則是似真推理的延續(xù)和補(bǔ)充。由似真推理所獲得的結(jié)論.往往需要借助邏輯推理作進(jìn)一步的論證、證實(shí)。因此，數(shù)學(xué)思維只有將策略創(chuàng)造與邏輯演繹有機(jī)結(jié)合，才能顯示出強(qiáng)大的生命力。

第二、聚合思維與發(fā)散思維的有機(jī)結(jié)合。發(fā)散思維是指從不同方向、不同側(cè)面去考慮問(wèn)題，從多種途徑去求得解答的一種思維活動(dòng)。它是創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要特征，其特點(diǎn)是具有流暢性、變通性和獨(dú)特性。通常所說(shuō)的一題多解、多題一解、命題推廣、升維策略、降維策略等都于這方面的反映。聚合思維是以“集中”為特點(diǎn)的一種思維，其特點(diǎn)是具有指向性、比較性、程性等論文開(kāi)題報(bào)告范例。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，這兩種思維也是常常被交替使用的。在解決一個(gè)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，為了探查解題思路，人們總是要將思維觸角伸向問(wèn)題的各個(gè)方面、考慮各種可能的解模式、并不斷地進(jìn)行嘗試、設(shè)法找到具體的思路、在探測(cè)思路的過(guò)程中又要對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析，要集中注意力，集中攻擊目標(biāo)，找到問(wèn)題的突破口或關(guān)鍵。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注將聚合思維與發(fā)散思維有機(jī)結(jié)合，特別要重視發(fā)散發(fā)性思維的訓(xùn)練。

2、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思維能力高低的重要標(biāo)志是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的優(yōu)劣，為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，弄清數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的內(nèi)容是必要的，但對(duì)這個(gè)問(wèn)題的爭(zhēng)論很多，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)思維品質(zhì)至少應(yīng)包含以下幾個(gè)方面的內(nèi)容。

第一，思維的靈活性，它是指思維轉(zhuǎn)向的及時(shí)性以及不過(guò)多地受思維定向的影響。善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來(lái)。思維靈活的學(xué)生，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，善于進(jìn)行豐富的聯(lián)想，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，快速及時(shí)地調(diào)整思維過(guò)程。

第二，思維的批判性。它是指對(duì)已有的數(shù)學(xué)表述或論證提出自己的見(jiàn)解，不是盲目服從，對(duì)于思想上已經(jīng)完全接受了的東西，也要謀求改善，包括修正、改進(jìn)自己原有的工作，事實(shí)上，數(shù)學(xué)本身的發(fā)展就是一個(gè)“不斷提出質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題進(jìn)行爭(zhēng)論。直到解決問(wèn)題的過(guò)程。

第三、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。它是指考慮問(wèn)題的嚴(yán)密、準(zhǔn)確、有根有據(jù)。在思維過(guò)程中，善于運(yùn)用直觀的啟迪，但不停留在直觀的認(rèn)識(shí)水平上；注重運(yùn)用類(lèi)比、猜想、但不輕信類(lèi)比，猜想的結(jié)果；審題時(shí)不但要注意明顯的條件；而且要挖掘其中隱含的不易被察覺(jué)的條件：運(yùn)用定理、公式時(shí)要注意定理、公式成立的條件；在概念數(shù)學(xué)中初中數(shù)學(xué)論文，要弄清概念的內(nèi)涵與外延.仔細(xì)區(qū)分相近或易混的概念，正確地運(yùn)用概念，在解決問(wèn)題時(shí)，要給出問(wèn)題的全部解答，不重不漏，這些都是思維嚴(yán)謹(jǐn)性的表現(xiàn)。

第四、思維的廣闊性。它是指思維的視野開(kāi)闊，對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面洞察。具體表現(xiàn)為對(duì)一個(gè)事實(shí)能從多方面解釋.對(duì)一個(gè)對(duì)象能用多種方式表達(dá)，對(duì)一個(gè)題目能想出各種不同的解法.等等。如果把數(shù)學(xué)比作一座大城市.那么它間四面八方延伸的大路.正好表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維發(fā)展和應(yīng)用的廣闊性。

第五、思維的深刻性。它是指數(shù)學(xué)思維的抽象邏輯性的深刻程度.是抽象慨括能力的重要標(biāo)志，它以抽象思維為基礎(chǔ)，對(duì)事物在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)“去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及理”的加工制作上升到理性認(rèn)識(shí)。它要求人們?cè)诳紤]問(wèn)題時(shí)，一入門(mén)就能抓住事物的本質(zhì)、把握事物的規(guī)律、能發(fā)現(xiàn)常人不易發(fā)現(xiàn)的事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

第六、思維的敏捷性。它是思維速度與效率的標(biāo)志，它以思維的合理性為基礎(chǔ)。所謂合理性，主要反映在解決問(wèn)題時(shí)：方法簡(jiǎn)明、單刀直入、不走彎路、辣荃杈叮快速獲。它往往是思維深刻性、靈活性的派生物。

第七、思維的獨(dú)創(chuàng)性。它以直覺(jué)思維和發(fā)散思維為基礎(chǔ)，善于對(duì)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)從思維方法的高度上進(jìn)行概括，靈活遷移、重新組合，在更高的層次上作移植與雜交、思人所未思、想人所未想，具有思維新穎，別具一格、出奇制勝、異峰突起、獨(dú)樹(shù)一幟等特點(diǎn)。

以上，我們列舉了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的幾個(gè)方面，這些方面是相互聯(lián)系、互為補(bǔ)充的，是一個(gè)有機(jī)結(jié)合的統(tǒng)一體。數(shù)學(xué)教育中，要根據(jù)不同的素材、靈活選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

3、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教學(xué)方法

數(shù)學(xué)教育必須重視數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育也有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)材料中的概念、原理、思想方法等，是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的極好素材，作為數(shù)學(xué)教師，只有在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)方面下功夫，方能有效地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。

第一、應(yīng)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維本身的內(nèi)容有明確的認(rèn)識(shí)。長(zhǎng)期以來(lái)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中過(guò)分地強(qiáng)調(diào)邏輯思維，特別是演繹邏輯初中數(shù)學(xué)論文，都是教師注重給學(xué)生灌輸知識(shí)，忽視了思維能力的培養(yǎng)。只注重結(jié)論，忽視了知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)，造成學(xué)生機(jī)械模仿，加大練習(xí)量，搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，抑制了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成。我們應(yīng)當(dāng)使學(xué)生明白，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是為了學(xué)到一些實(shí)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是得到數(shù)學(xué)文化的熏陶。其中包括數(shù)學(xué)思維品質(zhì).數(shù)學(xué)觀念.數(shù)學(xué)思想和方法等，因此，數(shù)學(xué)教師必須從培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀思維品質(zhì)出發(fā).沖破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中把數(shù)學(xué)思維單純理解為邏輯思維的舊觀念，直覺(jué)、想象、合情推理、猜測(cè)等非邏輯思維也作為數(shù)學(xué)思維的重要組成部分.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要通過(guò)恰當(dāng)?shù)耐緩?，引?dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，要充分暴露數(shù)學(xué)思維過(guò)程，這樣，數(shù)學(xué)教育就不僅僅是賦予給學(xué)生以“再現(xiàn)性思維”.更重要的是給學(xué)生賦予了“發(fā)現(xiàn)性思維”。

第二、優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)教育的最優(yōu)化。優(yōu)良思維品質(zhì)的培養(yǎng)，是滲透在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)之中的，但中心環(huán)節(jié)是在課堂教學(xué)方面論文開(kāi)題報(bào)告范例。因此，我們必須緊緊抓好課堂教學(xué)這個(gè)環(huán)節(jié)。在課堂教學(xué)中，學(xué)生的思維過(guò)程，實(shí)質(zhì)上主要是揭示和建二新舊知識(shí)聯(lián)系的過(guò)程當(dāng)然也包含了建立新知識(shí)同個(gè)體的新的感知的聯(lián)系。在這里我們要特別強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)。所謂知識(shí)發(fā)生過(guò)程，通常指的是概念的形成過(guò)程，結(jié)論的探索與推導(dǎo)過(guò)程.方法的思考過(guò)程。這些實(shí)際上是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要思維過(guò)程，為了加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)，我們可從如下幾個(gè)方面著手：首先，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、激起意向、引起動(dòng)機(jī)。思維處問(wèn)題起初中數(shù)學(xué)論文，善于恰到好處地建立問(wèn)題情境，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使之開(kāi)啟思維之門(mén)其次.要注重概念形成過(guò)程的教學(xué)。概念是思維的細(xì)胞.在科學(xué)認(rèn)識(shí)中有重大作用。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須十分重視概念的準(zhǔn)確度與清晰度。概念的形成過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的過(guò)程之一。那種讓學(xué)生死記硬背概念.忽視概念形成過(guò)程以圖省事的做法是實(shí)在不可取的。有經(jīng)驗(yàn)的教師把概念的形成過(guò)程歸結(jié)為 “引進(jìn)一醞釀一建立一鞏固一發(fā)展”這樣五個(gè)階段，采用靈活的教學(xué)方法，取得了良好的教學(xué)效果。最后，要重視數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程和方法的思考過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)中的結(jié)論通常是通過(guò)歸納、類(lèi)似、演繹等方法進(jìn)行探索的，我們要善于發(fā)現(xiàn)隱含于教材內(nèi)容中的思維素材，有意識(shí)地讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論，幫助學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法。比如分析法、綜合法、類(lèi)比法、歸納法、演譯法、映射法（尤其是關(guān)系映射反演原則）、反證法，同一法等等。數(shù)學(xué)方法的思考過(guò)程其實(shí)就是解決問(wèn)題的思維過(guò)程。教師要通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的分析，引導(dǎo)學(xué)生掌握從特殊到一般.從具體到抽象再到更廣泛的具體等一般的思考問(wèn)題的方法。

第三、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力、重視數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用、喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和自覺(jué)性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力因素包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)、興趣、信念、態(tài)度、意志、期望、抱負(fù)水平等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力因素不僅決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功與否，而且決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程：不僅影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，而且制約著數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和優(yōu)秀數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成。事實(shí)證明：在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)出色的學(xué)生，往往與他們對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，對(duì)數(shù)學(xué)美的追求，自身頑強(qiáng)的毅力分不開(kāi)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要利用數(shù)學(xué)史料的教育因素、數(shù)學(xué)中的美學(xué)因素、辯證因素、困難因素以及數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性等，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激勵(lì)學(xué)生勇于克服困難，大膽探索鼓勵(lì)學(xué)生不斷迫求新的目標(biāo)，不斷取得新的成功。