顧及聲線入射角的水下定位隨機(jī)模型

趙 爽，王振杰,2，劉慧敏

1. 中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 青島 266580； 2. 海洋國家實驗室海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術(shù)功能實驗室，山東 青島 266071

隨著國家海洋戰(zhàn)略的逐步推進(jìn)，海上石油勘探、海底地質(zhì)探測、海洋工程建設(shè)等涉?；顒优畈l(fā)展，需要獲取大范圍、準(zhǔn)確的海洋空間與環(huán)境數(shù)據(jù)，水下聲學(xué)定位技術(shù)是重要基礎(chǔ)和保障[1]。

高精度的水下定位必須采用正確的隨機(jī)模型。目前對于水下定位觀測量的隨機(jī)模型大多采用等權(quán)模型，認(rèn)為各觀測量的先驗方差相等，模型實現(xiàn)簡單，但與實際不符，影響水下定位精度。與之相比，在衛(wèi)星定位方面，國內(nèi)外學(xué)者對隨機(jī)模型進(jìn)行了廣泛研究，先后提出了高度角隨機(jī)模型[2]、信噪比隨機(jī)模型[3]、最小范數(shù)二次無偏估計(minimum norm quadratic unbiased estimation,MINQUE)模型及其簡化形式[4]。文獻(xiàn)[5]采用超短基線觀測數(shù)據(jù)對高度角隨機(jī)模型和載噪比隨機(jī)模型的系數(shù)進(jìn)行了修正；文獻(xiàn)[6—8]中GPS定位隨機(jī)模型考慮了觀測值精度、時間相關(guān)性、交叉相關(guān)性等的影響；文獻(xiàn)[9]提出了一種基于移動窗口實時估計雙差觀測值先驗協(xié)方差陣的方法，改善了動態(tài)定位結(jié)果；文獻(xiàn)[10]提出了一種基于最小二乘殘差序列的實時隨機(jī)模型估計方法，改善了基線解算結(jié)果。上述隨機(jī)模型估計方法在GNSS定位領(lǐng)域應(yīng)用廣泛且效果顯著。在水下定位方面，通常將水下聲學(xué)測距觀測視為獨立等精度觀測[11]，但在實際的水下定位中，隨聲線入射角增大，聲信號傳播路徑增加，聲速誤差和聲線彎曲影響顯著[12-13]。目前對于水下聲學(xué)定位隨機(jī)模型的研究還不多見。

本文針對走航式水下聲學(xué)定位方式，首先介紹幾何法水聲定位函數(shù)模型，并從參數(shù)估計和方差估計的角度對隨機(jī)模型不完善的影響進(jìn)行分析，然后結(jié)合水下定位實際，顧及水聲測量誤差和聲線彎曲誤差影響，構(gòu)建了基于聲線入射角的水下定位隨機(jī)模型，并通過模擬算例和實測數(shù)據(jù)對新模型的有效性予以驗證。

1 隨機(jī)模型不完善影響規(guī)律分析

1.1 幾何法水下定位函數(shù)模型

如圖1所示，假設(shè)ti(i=1,2,…,n)時刻由GPS給出的測量船的位置為xi(xi,yi,zi)，海底應(yīng)答器的坐標(biāo)為xo(xo,yo,zo)，測得的測量船至

應(yīng)答器的距離(傳播時間乘以聲速)為ρsio，則有

ρsio=f(xo,xi)+δρdsio+δρvsio+εio

(1)

圖1 走航式水下聲學(xué)定位示意圖Fig.1 The sketch map of underwater acoustic positioning by surveying ship

觀測方程線性化得

εio+bsioεxsi

(2)

獲取3個及以上觀測歷元的數(shù)據(jù)后，觀測方程可以統(tǒng)一表達(dá)為

l=Adx+εl

(3)

式中，l為常數(shù)項；A為觀測方程系數(shù)矩陣；εl為觀測過程中的偶然誤差及與聲速、傳播時間有關(guān)的系統(tǒng)誤差的綜合誤差項。

式中

在不考慮系統(tǒng)誤差影響的前提下，誤差方程可寫為

V=Adx-l

(4)

法方程為

ATPAdx-ATPl=0

(5)

1.2 隨機(jī)模型不完善對參數(shù)估計的影響

隨機(jī)模型如下式

(6)

(7)

隨機(jī)模型不完善可歸結(jié)為定權(quán)不正確[15]。設(shè)定權(quán)不按式(6)，而是將權(quán)定為q。假設(shè)水下定位函數(shù)模型正確、參數(shù)選取合適，下面從參數(shù)估計和方差估計兩方面分析隨機(jī)模型不完善的影響。

1.2.1 參數(shù)估計的最優(yōu)無偏性影響分析

令M=ATqA，最小二乘平差解可表示為

Xq=M-1ATql

(8)

Xq的真誤差及數(shù)學(xué)期望分別為

(9)

(10)

結(jié)合式(8)，Xq的方差為

(11)

令P-1=hTh、S=hqAM-1，則

(12)

令R=ATh-1，則

RS=ATh-1hqAM-1=I

(13)

(14)

根據(jù)矩陣型施瓦茨不等式，即

BTB≥(AB)T(AAT)-1(AB)

(15)

可得

(16)

當(dāng)S=RT(RRT)-1RS，即q=P時等號成立。由式(14)可知，定權(quán)不正確將影響估計量的最優(yōu)性，且只有定權(quán)正確時才可得到最優(yōu)估值。

1.2.2 單位權(quán)方差估計的無偏性影響分析

定權(quán)為q，則有

Vq=AM-1ATql-l

(17)

(18)

(19)

當(dāng)定權(quán)正確，即q=P時

(20)

(21)

綜上，隨機(jī)模型不完善不會影響坐標(biāo)解算的無偏性，但會影響和方差估計的無偏性。當(dāng)且僅當(dāng)定權(quán)正確，才可得到坐標(biāo)最優(yōu)估值和單位權(quán)方差的無偏估值。因此，高精度水下定位應(yīng)該采用正確的隨機(jī)模型。

2 基于聲線入射角的隨機(jī)模型

在實際的水下聲學(xué)定位中，目標(biāo)距離通過聲波在水中傳播時間的測量獲得，時間測量和聲速剖面測量的精度直接影響到距離測量的精度，因此測距誤差主要是由測時誤差和聲速測量誤差引起的[16]。

借助于高精度的信號檢測技術(shù)和時延估計方法，在作用距離覆蓋范圍內(nèi)測時能夠達(dá)到優(yōu)于0.1 ms的精度要求。但持續(xù)走航作業(yè)的特點決定了測量船在發(fā)射聲信號時和收到反饋聲信號時的坐標(biāo)并非嚴(yán)格相同即存在位置差[17]，在距離(時間乘以聲速)交會定位中可視為存在一定的等效測時誤差，該誤差可通過對測量船位置進(jìn)行插值予以削弱。對同一應(yīng)答器而言，大聲線入射角對應(yīng)的聲傳播路徑大，聲傳播時間長，在船速變化不大的情況下，故船的位置差異大，可視為測時誤差增加。

水中聲速受環(huán)境因素影響表現(xiàn)為深度、溫度、鹽度的綜合函數(shù)，且存在空變性和時變性。聲速測量誤差引起的測距誤差是聲速測量誤差在整個聲傳播過程中的積分，可以將聲速誤差看作是距離變化的函數(shù)[18-19]。聲速誤差及由此產(chǎn)生的測距誤差近似呈線性關(guān)系，聲速誤差越大，測距誤差顯著。隨聲線入射角增大，聲程增加，聲速誤差對測距影響增大[20]。

此外，聲波在海水中傳播，會在介質(zhì)常數(shù)不同的兩個界面上產(chǎn)生反射、折射和某種程度的反向散射，從而導(dǎo)致波束聲線彎曲和傳播速度發(fā)生改變，聲速變化越大，彎曲越顯著[21-22]。100 m水深的情況下，聲線彎曲最大可以達(dá)到1.7 m，聲線與平均聲速距離的差值最大可以達(dá)到5 m(文獻(xiàn)[23])。在水下定位中，由于聲線彎曲引起的水平距離誤差隨聲線入射角的增大而增大，高程誤差在聲線入射角大于45°時隨聲線入射角的增大而增大[24]。

針對走航式水下聲學(xué)定位方式，對于同一目標(biāo)應(yīng)答器而言，測量船換能器收發(fā)的大入射角聲信號受聲速測量誤差和聲線彎曲影響更為顯著，因而測距精度比小入射角的要低，據(jù)此對觀測值進(jìn)行賦權(quán)?；诼暰€入射角的隨機(jī)模型，其本質(zhì)是利用數(shù)據(jù)觀測的附加信息來評定觀測數(shù)據(jù)的質(zhì)量(圖2)。

圖2 聲線入射角示意圖Fig.2 The sketch map of sound ray incidence angle

(22)

考慮到水下定位實際，可認(rèn)為聲線入射角越大，觀測量先驗方差越大。結(jié)合對水下定位測距誤差的分析，基于觀測量入射角和先驗方差之間存在正相關(guān)的定性關(guān)系，嘗試探索構(gòu)建更符合水下定位實際的隨機(jī)模型。從數(shù)學(xué)角度看，選取最具有代表性的一般比例函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)這3類相關(guān)函數(shù)，構(gòu)造4種聲線入射角隨機(jī)模型。4種隨機(jī)模型分別基于一般正比函數(shù)、入射角余弦函數(shù)、入射角指數(shù)函數(shù)和入射角分段余弦函數(shù)。具體表達(dá)形式如下：

(1) 一般正比函數(shù)

(23)

(2) 入射角余弦函數(shù)

(24)

(3) 入射角指數(shù)函數(shù)

(25)

(4) 入射角分段余弦函數(shù)

(26)

式中，s0、a0、a1為常數(shù)；k1、k2、k3、k4為比例系數(shù)(量級調(diào)節(jié)因子)；θ0為設(shè)定的入射角閾值，根據(jù)關(guān)于聲線彎曲誤差影響研究結(jié)果可設(shè)為40°～50°(文獻(xiàn)[24])。根據(jù)調(diào)研結(jié)果，聲線入射角取值范圍可認(rèn)為是0°～87°，可確定出對應(yīng)相關(guān)函數(shù)取值范圍，為便于研究，權(quán)值可歸一化到0～1，據(jù)此可以反算出各系數(shù)取值范圍。常數(shù)s0、a0取0.1～1.0，系數(shù)a1取-1.0，系數(shù)k1取0.01，其余比例系數(shù)取1.0。

水下應(yīng)答器對應(yīng)的各歷元觀測量的方差陣為

(27)

則觀測量的權(quán)矩陣為

(28)

結(jié)合式(4)，應(yīng)答器位置改正數(shù)及觀測值改正數(shù)可由下式求得

(29)

驗后單位權(quán)中誤差、平差參數(shù)X的協(xié)方差陣

(30)

式中，r為多余觀測數(shù)；t為必要觀測數(shù)，一般為3；QXX為平差參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣。

3 算例分析

3.1 仿真算例分析

模擬海上石油勘探OBC(ocean bottom cable，海底電纜)聲學(xué)二次定位[26-27]數(shù)據(jù)采集過程。模擬對稱雙測線走航觀測水下100 m處應(yīng)答器列，相鄰應(yīng)答器間距50 m。聲速剖面采用Munk理想聲速剖面，表層聲速為1548 m/s，采用分層等梯度射線聲學(xué)跟蹤算法仿真?zhèn)鞑r間，具體方法參考文獻(xiàn)[28]。模擬水面波高為2 m的余弦波動。假設(shè)船速為3 kn/h，采樣間隔為4 s。偶然誤差參考文獻(xiàn)[11]，假設(shè)換能器定位中誤差各方向為10 cm，測距誤差設(shè)為0.3%倍的斜距(圖3、圖4)。

圖3 船跡及應(yīng)答器位置示意圖Fig.3 The sketch map of ship track and the transponder

圖4 Munk理想聲速剖面Fig.4 The ideal Munk sound speed profile

計算測量船按設(shè)計測線走航在不同觀測歷元下的聲線入射角，如圖5所示。綜合6個應(yīng)答器，各歷元平均聲線入射角為55.18°，最大聲線入射角為78.73°，最小聲線入射角為26.36°。

選擇余弦分段函數(shù)的入射角隨機(jī)模型，采用不同聲線入射角閾值θ0，定位解算結(jié)果如圖6所示?？紤]到模擬數(shù)據(jù)質(zhì)量引起的解算結(jié)果微弱“震蕩”，故通過擬合進(jìn)行提煉其趨勢規(guī)律。擬合結(jié)果表明，聲線入射角閾值θ0取值在40°～50°范圍內(nèi)時，分段余弦隨機(jī)模型的幾何法水下定位結(jié)果最優(yōu)。

圖5 不同觀測歷元下聲線入射角Fig.5 Sound ray incidence angle of different epochs

圖6 不同聲線入射角閾值對應(yīng)的余弦分段模型定位RMS值Fig.6 The RMS result corresponding to the IASM of cosine piecewise function with different incidence angle threshold

根據(jù)設(shè)計方案，模擬走航試驗500次，分別用一般等權(quán)隨機(jī)模型和4種不同的入射角隨機(jī)模型的幾何法進(jìn)行定位解算。

統(tǒng)計不同基于入射角的定權(quán)方案下權(quán)值分布的標(biāo)準(zhǔn)差，4種方案依次為0.034 9、0.234 1、0.226 6和0.287 6。由圖7可知，模擬試驗結(jié)果表明，入射角隨機(jī)模型和等權(quán)隨機(jī)模型下的幾何法定位解算RMS值明顯“分層”，前者定位結(jié)果優(yōu)于后者。以往的等權(quán)隨機(jī)模型，幾何法定位RMS值為0.411 m；4種基于入射角定權(quán)的隨機(jī)模型(一般正比、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和分段余弦函數(shù))，幾何法定位RMS值分別為：0.292 m、0.294 m、0.317 m和0.242 m。其中，分段余弦函數(shù)在閾值θ0的前后采用不同的分母因子，因而權(quán)值會存在一個跳躍導(dǎo)致權(quán)值分層，分層后的權(quán)值數(shù)據(jù)增加了其標(biāo)準(zhǔn)差，離散程度較其他方案更為顯著。直觀上，受誤差影響大的觀測值權(quán)重相對要更小一些，即對較大入射角進(jìn)一步降權(quán)，削弱了聲線彎曲對定位解算的影響，具有一定的有效性。

3.2 實測數(shù)據(jù)分析

實測數(shù)據(jù)采用南海試驗數(shù)據(jù)。本次試驗時間為2016年10月24日至2016年11月7日，試驗地點在南海海域(20°44′N，113°28′E附近)，試驗搭乘東方物探勘探2號考察船，船上搭載電羅經(jīng)、星站差分系統(tǒng)、測深儀、聲速剖面儀，以及Sonardyne公司的OBC聲學(xué)定位系統(tǒng)和國產(chǎn)BPS聲學(xué)定位系統(tǒng)。系統(tǒng)主要包括主控機(jī)、編碼器、換能器、應(yīng)答器、收放器等。測區(qū)水深接近100 m，本試驗將OBC和BPS的應(yīng)答器器捆綁在一起(如圖8)，進(jìn)行絕對定位的互檢校。

圖7 4種隨機(jī)模型下幾何法定位解算RMS值Fig.7 The under water geometric positioning RMS accuracy by four kinds of IASM

圖8 放纜作業(yè)中的OBC應(yīng)答器、BPS應(yīng)答器及節(jié)點Fig.8 The OBC,BPS transponders and cables during the manipulation of cable laying

本試驗作業(yè)流程概述如下：

(1) 測量船離陸地較遠(yuǎn)，試驗采用基于通信衛(wèi)星的星站全球定位系統(tǒng)(定位精度30 cm左右)和電羅經(jīng)數(shù)據(jù)沿指定測線進(jìn)行放纜作業(yè)，纜繩上每隔50 m依次鉤掛檢波器和應(yīng)答器。

(2) 放纜作業(yè)完成后，測量船沿已放測線繞圈觀測，換能器發(fā)出聲學(xué)測距信號，應(yīng)答器做出響應(yīng)，換能器接收響應(yīng)信號后計算往返的時間。同時，采用CTD聲速剖面儀測量測區(qū)的聲速(圖9)。

圖9 走航船航跡及應(yīng)答器平面位置示意圖Fig.9 The sketch map of ship track and the transponders

試驗中測得的聲速與時間相乘得到換能器和應(yīng)答器之間的距離，利用船在不同的位置對同一個應(yīng)答器測量得到的多個距離觀測值交會出應(yīng)答器的位置。由于兩套系統(tǒng)在試驗中被捆綁在一起，理論上的絕對位置應(yīng)該非常接近，可以通過比較兩套系統(tǒng)的坐標(biāo)差值來判斷兩種方案解算精度，差值越小，說明定位精度越高。

考慮到觀測歷元數(shù)量及數(shù)據(jù)質(zhì)量，選取觀測具有代表性的2號(59個觀測歷元)和18號應(yīng)答器(27個觀測歷元)，如圖9中箭頭所示，統(tǒng)計不同觀測歷元下的聲線入射角大小，如圖10所示。其中，2號應(yīng)答器平均聲線入射角為60.13°，最大聲線入射角為77.63°，最小聲線入射角為38.66°；18號應(yīng)答器平均聲線入射角為57.10°，最大聲線入射角為78.25°，最小聲線入射角為39.73°。

圖10 2號和18號應(yīng)答器不同觀測歷元下聲線入射角Fig.10 Sound ray incidence angle of different epochs of 2 and 18 transponders

為了比較等權(quán)隨機(jī)模型和本文入射角隨機(jī)模型定位精度，分別采用兩種方法對OBC數(shù)據(jù)和BPS數(shù)據(jù)進(jìn)行后處理，其中入射角隨機(jī)模型采用分段余弦隨機(jī)模型。顧及到測量實際數(shù)據(jù)質(zhì)量和數(shù)量，將入射角閾值θ0取為50°。在保證應(yīng)答器初值精度的前提下，考慮觀測值質(zhì)量，選取2、18、22、26、34號應(yīng)答器，進(jìn)行幾何法最小二乘解算，統(tǒng)計應(yīng)答器x、y方向的坐標(biāo)偏差值及RMS值作為外符合精度。

統(tǒng)計各應(yīng)答器各種模型下定位解算平均RMS值如表1所示。

表1 不同隨機(jī)模型下幾何法定位平均RMS值

由表1可知，由于測距誤差的非線性，一般正比模型入射角隨機(jī)模型改善效果并不顯著，后三者明顯改善定位結(jié)果。入射角隨機(jī)模型下幾何法解算結(jié)果在x方向的定位精度略優(yōu)于y方向，這是因為測線按照x方向布設(shè)，決定了觀測向量在y方向的觀測結(jié)構(gòu)相對差一些，而且入射角在y方向上的分量變化較x方向變化大，基于入射角的隨機(jī)模型在y方向上效用較為顯著。由表1可知，傳統(tǒng)的等權(quán)隨機(jī)模型下幾何法解算的定位結(jié)果RMS值為1.187 m。本文提出的一般正比、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分段余弦的聲線入射角隨機(jī)模型下解算RMS值分別為1.193 m、1.064 m、1.053 m、0.991 m，不同程度上改善了等權(quán)模型的定位結(jié)果，尤其是分段余弦函數(shù)的入射角隨機(jī)模型定位結(jié)果最好，在定位精度上比傳統(tǒng)等權(quán)模型具有優(yōu)勢。實測區(qū)域水深約100 m，考慮其聲速誤差和聲線彎曲影響并沒有足夠顯著，基于聲線入射角的隨機(jī)模型其優(yōu)勢不夠顯著，因而相對傳統(tǒng)等權(quán)方法改進(jìn)程度并不大，采用深海數(shù)據(jù)的驗證有待在后續(xù)研究中進(jìn)行。

4 結(jié) 論

本文在介紹幾何法水下定位原理和分析隨機(jī)模型不完善誤差影響的基礎(chǔ)上，結(jié)合水下定位實際，構(gòu)建了基于聲線入射角的隨機(jī)模型，并通過模擬算例和實測數(shù)據(jù)得到以下結(jié)論：

(1) 構(gòu)建的4種基于聲線入射角函數(shù)的隨機(jī)模型，結(jié)合水下定位實際，考慮了水聲測量誤差和聲線彎曲誤差的影響，比等權(quán)模型在定位精度上具有優(yōu)勢。其中，分段余弦函數(shù)入射角模型通過設(shè)定入射角閾值來對較大入射角的觀測量進(jìn)一步降權(quán)，提高了定位的有效性和可靠性。當(dāng)入射角閾值在40°～50°范圍內(nèi)時，本文模型定位精度最高。

(2) 實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明，水深100 m以內(nèi)環(huán)境下，傳統(tǒng)等權(quán)模型定位方法解算RMS值為1.187 m，本文提出的一般正比、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分段余弦的聲線入射角隨機(jī)模型下解算RMS值分別為1.193 m、1.064 m、1.053 m、0.991 m，不同程度上改善了定位結(jié)果。

本文模型考慮了水聲觀測測量誤差及聲線彎曲誤差，本質(zhì)上是利用數(shù)據(jù)觀測的附加信息來評定觀測數(shù)據(jù)的質(zhì)量，改善了水下定位結(jié)果，具有一定的應(yīng)用價值。但是，本文模型沒有考慮觀測量之間的時間相關(guān)性，模型中系數(shù)的選擇主要依賴經(jīng)驗。模型的完善、深海環(huán)境下新方法的驗證等問題，有待后續(xù)深入研究。