線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)研究

方慶霞，王彩卓，何穎子

(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700)

系統(tǒng)的主要變化趨勢(shì)，不僅受到當(dāng)前狀態(tài)的影響，也與過(guò)去一段時(shí)間的運(yùn)行狀況具有十分緊密的聯(lián)系.如果從控制理論入手看待系統(tǒng)的運(yùn)行情況，可知系統(tǒng)當(dāng)前階段的狀態(tài)，是由過(guò)去狀態(tài)衍生而來(lái)，且這種衍生關(guān)系將會(huì)一直保持下去，這種保持時(shí)間滯留特性的系統(tǒng)，就被稱為時(shí)滯系統(tǒng).時(shí)滯現(xiàn)象在各類工程應(yīng)用系統(tǒng)中都時(shí)有發(fā)生，最常見(jiàn)的包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、工業(yè)核反應(yīng)堆及飛機(jī)飛行控制器等[1].如何更好地提升系統(tǒng)穩(wěn)定性、實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)持久穩(wěn)定地運(yùn)作，是現(xiàn)階段時(shí)滯系統(tǒng)亟待改進(jìn)的問(wèn)題.時(shí)滯現(xiàn)象的發(fā)生，不僅會(huì)在一定程度上降低系統(tǒng)的綜合能動(dòng)性，也會(huì)使系統(tǒng)陷入一種波動(dòng)狀態(tài)，無(wú)法保持高度穩(wěn)定性，進(jìn)而給人為控制系統(tǒng)造成較大困擾.傳統(tǒng)時(shí)滯系統(tǒng)依靠時(shí)滯模型，計(jì)算系統(tǒng)的基礎(chǔ)時(shí)延，再通過(guò)聯(lián)立基礎(chǔ)時(shí)延與系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間的方式，確定系統(tǒng)過(guò)去運(yùn)行狀況對(duì)當(dāng)前階段狀態(tài)的影響程度[2-3].這種方式需要大量的數(shù)據(jù)運(yùn)算，才能保證時(shí)滯模型的準(zhǔn)確無(wú)誤，不僅造成大量人力資源的浪費(fèi)，也不能從根本上提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為改善這種不良的系統(tǒng)形態(tài)，對(duì)線性常時(shí)滯系統(tǒng)、線性變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行研究，力求早日實(shí)現(xiàn)人為控制系統(tǒng)運(yùn)行的目的.

1 線性常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)

線性常時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)，由基于積分不等式、基于增廣Lyapunov、基于二次凸組合三方面應(yīng)用的分析組成，具體研究過(guò)程，可按如下步驟進(jìn)行.

1.1 基于積分不等式的穩(wěn)定性優(yōu)化

基于積分不等式的線性常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化分析，主要針對(duì)積分不等式、時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性兩項(xiàng)定理進(jìn)行[4].積分不等式定義可描述為：在任意符合維數(shù)條件的恒定矩陣W中，存在兩個(gè)標(biāo)量a和b，若a、b間的關(guān)系滿足ab，則如公式(1)所示的積分不等式恒成立.

(1)

其中，y代表固定時(shí)滯指標(biāo)，O代表時(shí)滯原矩陣，p代表指標(biāo)固定系數(shù).時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性，對(duì)固定時(shí)滯指標(biāo)y的限制條件可表示為：

(1+k)y<0

(2)

其中，k代表時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定系數(shù).若某系數(shù)同時(shí)滿足公式(1)和(2)，則可認(rèn)為該系數(shù)即為一個(gè)固定時(shí)滯指標(biāo)y.通過(guò)這種尋找y的方式，完成基于積分不等式的線性常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化分析.

1.2 基于增廣Lyapunov的穩(wěn)定性優(yōu)化

基于增廣Lyapunov的線性常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化分析，包含Lyapunov泛函定義的提出及證明兩部分.Lyapunov泛函定義，對(duì)固定時(shí)滯指標(biāo)的縮放范圍進(jìn)行限制，且這種限制關(guān)系的確定，一定程度上利用自由權(quán)矩陣法，增加保守性估計(jì)的準(zhǔn)確性[5].Lyapunov泛函定義可具體表示為：

U(y)=U1(y)+U2(y)+L+Un(y)

(3)

其中，U代表Lyapunov泛函定義結(jié)果，U1，U2，…，Un代表Lyapunov泛函定義過(guò)程的參與量，y代表固定時(shí)滯指標(biāo)，n代表Lyapunov泛函的定義次數(shù).上述過(guò)程，完成Lyapunov泛函定義的提出，利用公式(3)的計(jì)算結(jié)果U(y)，可將Lyapunov泛函定義的證明流程表示為圖1.

圖1 Lyapunov泛函定義的證明流程圖

根據(jù)圖1可知，當(dāng)某參數(shù)疑似固定時(shí)滯指標(biāo)y時(shí)，通過(guò)公式(3)，計(jì)算出該參數(shù)的Lyapunov泛函定義結(jié)果U(y)，再利用公式(1)和(2)，對(duì)該參數(shù)的固定時(shí)滯限制條件進(jìn)行計(jì)算.若計(jì)算結(jié)果真實(shí)有效，則認(rèn)為由該參數(shù)完成的Lyapunov泛函定義成立，否則認(rèn)為該參數(shù)不滿足固定時(shí)滯指標(biāo)y的選取條件.通過(guò)上述過(guò)程，完成基于增廣Lyapunov的線性常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化分析.

1.3 基于二次凸組合的穩(wěn)定性優(yōu)化

基于二次凸組合的線性常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化分析，可以利用公式(3)的計(jì)算結(jié)果，對(duì)固定時(shí)滯指標(biāo)y的保守穩(wěn)定性規(guī)則進(jìn)行深度規(guī)劃[6].規(guī)定x1，x2，x3，x4分別作為固定時(shí)滯指標(biāo)y的四個(gè)方向向量，其中每個(gè)向量與固定時(shí)滯指標(biāo)y間的關(guān)系，可表示為：

(4)

如果這四個(gè)方向向量間的關(guān)系滿足x1≠x2≠x3≠x4≠0，則下面的式子成立：

(5)

其中，f(x1)，f(x1)，f(x3)，f(x4)分別代表固定時(shí)滯指標(biāo)y四個(gè)方向向量的簡(jiǎn)單規(guī)劃結(jié)果，r代表凸組合系數(shù)，ξ代表穩(wěn)定性優(yōu)化常數(shù).聯(lián)立公式(3)、(4)、(5)，可完成基于二次凸組合線性常時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化分析.

2 線性變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)

線性變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)，由一般型、中立型、混合型三方面應(yīng)用的分析組成，具體研究過(guò)程，可按如下步驟進(jìn)行.

2.1 一般型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化

一般型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化分析，主要針對(duì)非固定時(shí)滯指標(biāo)進(jìn)行.非固定時(shí)滯指標(biāo)被定義為一種非正規(guī)標(biāo)量，在具有鏡面對(duì)稱關(guān)系的對(duì)角矩陣中，這種非正規(guī)標(biāo)量可以隨著矩陣維數(shù)的變化而變化[7].假設(shè)具有鏡面對(duì)稱關(guān)系的對(duì)角矩陣，共包含8個(gè)不全等行關(guān)系、8個(gè)不全等列關(guān)系.其中第一行8個(gè)元素，可用數(shù)字1～8代替；第二行第一個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，其余7個(gè)元素，可用數(shù)字1～7代替；第三行前兩個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，中間四個(gè)元素，可用數(shù)字1～4代替，其余兩個(gè)元素為0；第四行前三個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，其余5個(gè)元素，可用數(shù)字1～5代替；第五行前四個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，其余4個(gè)元素，可用數(shù)字1～4代替；第六行前五個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，中間2個(gè)元素，可用數(shù)字1～2代替，最后一個(gè)元素為0；第七行前六個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，第7個(gè)元素為數(shù)字1，最后一個(gè)元素為0；第八行前七個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，最后一個(gè)元素為數(shù)字1.這種具有鏡面對(duì)稱關(guān)系的對(duì)角矩陣結(jié)果，可表示為圖2.

圖2 一般型變時(shí)滯系統(tǒng)的對(duì)角矩陣結(jié)構(gòu)圖

在圖2所示的對(duì)角矩陣中，α代表非固定時(shí)滯指標(biāo)，通過(guò)分析該指標(biāo)，在矩陣中所處的具體位置及所占比重，可完成一般型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化分析.

2.2 中立型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化

中立型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化分析，是在圖2所示對(duì)角矩陣的基礎(chǔ)上，研究當(dāng)鏡面對(duì)稱關(guān)系不存在時(shí)，系統(tǒng)時(shí)滯現(xiàn)象的變化情況[8].為了更方便地表現(xiàn)出中立型時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化情況，將規(guī)范的8行8列矩陣，拆分成4個(gè)4行4列矩陣.每一個(gè)矩陣的第一行4個(gè)元素，都可以用數(shù)字1～4代替；第二行第一個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，其余3個(gè)元素，可用數(shù)字1～3代替；第三行前兩個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，第三個(gè)元素可用數(shù)字1代替，最后一個(gè)元素為0；第四行前三個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，最后一個(gè)元素可用數(shù)字1代替.按照左上、右上、左下、右下的順序，可將這4個(gè)矩陣依次編號(hào)為1，2，3，4，具體矩陣結(jié)構(gòu)及相互之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖3所示.

圖3 中立型變時(shí)滯系統(tǒng)的分矩陣結(jié)構(gòu)圖

圖3中帶有箭頭的直線，代表分矩陣中非固定時(shí)滯指標(biāo)α的流動(dòng)關(guān)系.分析圖3可知，分矩陣(1)中非固定時(shí)滯指標(biāo)α，可自發(fā)地流向分矩陣(2)和分矩陣(3)；分矩陣(2)中的非固定時(shí)滯指標(biāo)α，可自發(fā)地流向分矩陣(3)和分矩陣(4)；分矩陣(3)中非固定時(shí)滯指標(biāo)α，可自發(fā)地流向分矩陣(4).分析非固定時(shí)滯指標(biāo)α在每個(gè)分矩陣中所占比重，并記錄α的每一次流動(dòng)時(shí)間，利用上述兩組數(shù)據(jù)，完成中立型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化分析.

2.3 混合型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化

混合型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化分析，是在圖2所示對(duì)角矩陣的基礎(chǔ)上，研究當(dāng)鏡面對(duì)稱關(guān)系部分存在時(shí)，系統(tǒng)時(shí)滯現(xiàn)象的變化情況[9-10].為了更方便地表現(xiàn)出混合型時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化情況，將規(guī)范的8行8列矩陣，拆分成2個(gè)4行8列矩陣.每一個(gè)矩陣的第一行8個(gè)元素，可用數(shù)字1～8代替；第二行第一個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，中間6個(gè)元素，可用數(shù)字1～6代替，最后一個(gè)元素為0；第三行前兩個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，中間4個(gè)元素，可用數(shù)字1～4代替，最后兩個(gè)元素為0；第四行前三個(gè)元素為非固定時(shí)滯指標(biāo)，中間2個(gè)元素，可用數(shù)字1和2代替，最后三個(gè)元素為0.按照由上至下的順序，可將這2個(gè)矩陣編號(hào)為1和2，具體矩陣結(jié)構(gòu)及相互之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖4所示.

圖4 混合型變時(shí)滯系統(tǒng)的分矩陣結(jié)構(gòu)圖

分析圖4可知，分矩陣(1)最后一行包含3個(gè)非固定時(shí)滯指標(biāo)α，分別處于該行的第1、2、3列.這三個(gè)非固定時(shí)滯指標(biāo)α，可自發(fā)地流向分矩陣(2)第一行中的每一個(gè)元素，形成一種非固定時(shí)滯指標(biāo)與數(shù)字相連的形式，且這種形式不可逆.而分矩陣(1)中第2行、第3行的非固定時(shí)滯指標(biāo)α，不可以進(jìn)行自發(fā)流動(dòng).分矩陣(2)中，所有非固定時(shí)滯指標(biāo)α，都不可以進(jìn)行自發(fā)流動(dòng)，處于該矩陣的所有元素，只具有承受能力，不具有發(fā)送能力.分別記錄分矩陣(1)中，最后一行3個(gè)非固定時(shí)滯指標(biāo)α，流向分矩陣(2)中第一行元素的時(shí)間，并計(jì)算分矩陣(1)和(2)中所有非固定時(shí)滯指標(biāo)α占總元素的比重，利用上述兩個(gè)計(jì)算結(jié)果，完成混合型變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化分析.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

上述過(guò)程，完成新型時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)研究.為驗(yàn)證優(yōu)化后時(shí)滯系統(tǒng)的實(shí)用性價(jià)值，設(shè)計(jì)如下對(duì)比實(shí)驗(yàn).以兩臺(tái)配置完全一樣的計(jì)算機(jī)，作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，隨機(jī)挑選一臺(tái)計(jì)算機(jī)，并在其中安裝優(yōu)化后時(shí)滯系統(tǒng)應(yīng)用程序，將其作為實(shí)驗(yàn)組備用；在另一臺(tái)計(jì)算機(jī)中，安裝優(yōu)化前時(shí)滯系統(tǒng)應(yīng)用程序，并將其作為對(duì)照組備用.實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前，可按照下表完成實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定.

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定表

表1中數(shù)據(jù)依次代表預(yù)估系統(tǒng)穩(wěn)定性、系統(tǒng)穩(wěn)定系數(shù)、預(yù)估人為控制程度、人為可控性系數(shù)、時(shí)滯現(xiàn)象出現(xiàn)概率、線性時(shí)滯周期.為保證實(shí)驗(yàn)的公平性，實(shí)驗(yàn)組、對(duì)照組的參數(shù)，始終保持一致.表1中的數(shù)據(jù)均為理想狀態(tài)下的理論值，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，僅能起到參考作用.

3.2 系統(tǒng)應(yīng)用穩(wěn)定性對(duì)比

根據(jù)表1可知，理想狀態(tài)下優(yōu)化前后線性時(shí)滯系統(tǒng)的應(yīng)用穩(wěn)定性，均為87.62%.在保持實(shí)驗(yàn)組、對(duì)照組系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理總量相同的情況下，分別記錄兩組系統(tǒng)的真實(shí)穩(wěn)定性，并將測(cè)量結(jié)果與理想值對(duì)比，具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由圖5、圖6所示.

圖5 系統(tǒng)應(yīng)用穩(wěn)定性(實(shí)驗(yàn)組)圖

圖6 系統(tǒng)應(yīng)用穩(wěn)定性(對(duì)照組)圖

分析圖5可知，隨著數(shù)據(jù)處理總量的增加，實(shí)驗(yàn)組系統(tǒng)的應(yīng)用穩(wěn)定性呈現(xiàn)逐漸增加的趨勢(shì)，但增加幅度逐漸減小，當(dāng)數(shù)據(jù)處理總量為30 T時(shí)，實(shí)驗(yàn)組系統(tǒng)的穩(wěn)定性達(dá)到最大值42.80%，與理想值間差距為8.82%.分析圖6可知，隨著數(shù)據(jù)處理總量的增加，對(duì)照組系統(tǒng)的應(yīng)用穩(wěn)定性呈現(xiàn)先水平再下降的趨勢(shì)，且下降階段的幅度逐漸增大，當(dāng)數(shù)據(jù)處理總量保持在5～15 T范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)照組系統(tǒng)的應(yīng)用穩(wěn)定性，始終保持在最大值37.81%，與理想值間差距為13.81%，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)組.所以，可證明應(yīng)用新型時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)，能夠使系統(tǒng)應(yīng)用穩(wěn)定性得到近5%的提升.

3.3 系統(tǒng)的人為可控性對(duì)比

根據(jù)表1可知，理想狀態(tài)下優(yōu)化前后線性時(shí)滯系統(tǒng)的人為可控性，能夠達(dá)到67.14%.系統(tǒng)的人為可控性與APR指標(biāo)間，存在一定的制約關(guān)系.隨著APR指標(biāo)的不斷增大，線性時(shí)滯系統(tǒng)人為可控性呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢(shì)，反之則上升.在保持實(shí)驗(yàn)組、對(duì)照組系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理總量相同的情況下，分別記錄兩組系統(tǒng)APR指標(biāo)的變化情況，并將測(cè)量結(jié)果與理想值對(duì)比，具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由圖7、圖8所示.

圖7 系統(tǒng)人為可控性(實(shí)驗(yàn)組)圖

圖8 系統(tǒng)人為可控性(對(duì)照組)圖

分析圖7可知，隨著數(shù)據(jù)處理總量的增加，實(shí)驗(yàn)組系統(tǒng)的APR指標(biāo)，呈現(xiàn)出較為穩(wěn)定的波動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)數(shù)據(jù)處理總量為1.96 T時(shí)，APR指標(biāo)達(dá)到最大值10.84%，與目標(biāo)值11.04%間差距為0.20%；實(shí)驗(yàn)組系統(tǒng)的人為可控性，也呈現(xiàn)出較為穩(wěn)定的波動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)數(shù)據(jù)處理總量為3.85 T時(shí)，人為可控性達(dá)到最大值58.05%，與目標(biāo)值57.41%間差距為0.64%.分析圖8可知，隨著數(shù)據(jù)處理總量的增加，對(duì)照組系統(tǒng)的APR指標(biāo)，呈現(xiàn)出較為穩(wěn)定的波動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)數(shù)據(jù)處理總量為14.03 T時(shí)，APR指標(biāo)達(dá)到最大值42.32%，與目標(biāo)值11.04%間差距為32.28%，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)組；對(duì)照組組系統(tǒng)的人為可控性，也呈現(xiàn)出較為穩(wěn)定的波動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)數(shù)據(jù)處理總量為10.89 T時(shí)，人為可控性達(dá)到最大值30.00%，與目標(biāo)值57.41%間差距為27.41%，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)組.所以，可證明應(yīng)用新型時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)，能夠從根本上加強(qiáng)系統(tǒng)的人為可控性.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)線性常時(shí)滯系統(tǒng)、線性變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性優(yōu)化技術(shù)的研究，達(dá)到對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行人為控制的目的.且實(shí)驗(yàn)結(jié)果可證明，優(yōu)化后時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，確實(shí)得到一定程度的促進(jìn).未來(lái)將以此次研究作為出發(fā)原點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的線性時(shí)滯現(xiàn)象，進(jìn)行更加深入地探索，力求做到逐漸降低時(shí)滯現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用造成的影響，全面提升系統(tǒng)穩(wěn)定性.