基于Mathematica的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)仿真

王高亮，孟 明，王 強(qiáng)

(周口師范學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院，河南 周口 466001)

1690年，荷蘭物理學(xué)家惠更斯在《論光》一書(shū)中，提出了惠更斯原理：波陣面上每一點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，各自發(fā)出球面子波，其后任意時(shí)刻，這些子波的包跡就是新的波陣面，惠更斯發(fā)展了光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)[1]. 1802年，英國(guó)的托馬斯?楊在研究人眼對(duì)顏色視覺(jué)效應(yīng)時(shí)，他想出了一個(gè)巧妙的方法，演示了光的干涉現(xiàn)象，進(jìn)一步為光的波動(dòng)性提供了堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)[2]. 楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)中的重要實(shí)驗(yàn)之一，在科學(xué)研究和工程技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用. 以往大學(xué)物理課本中，只給出了原理，及形成的一系列的平行等間距的明暗相間的干涉條紋，并指出中央明紋最亮，其他級(jí)次的條紋亮度逐級(jí)減小，這給學(xué)生們的理解產(chǎn)生了很大的困惑[3-4]. 并且傳統(tǒng)的楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)條件、設(shè)備和場(chǎng)地等有特別的要求，必須在專(zhuān)業(yè)的實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行，而有部分院校缺少實(shí)驗(yàn)儀器等等[5]. 根據(jù)楊氏雙縫干涉的理論基礎(chǔ)，利用Mathematica為計(jì)算工具，對(duì)楊氏雙縫現(xiàn)象進(jìn)行仿真，建立了基于計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的模型，在脫離了實(shí)驗(yàn)環(huán)境和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的約束下，引導(dǎo)讀者通過(guò)物理計(jì)算，進(jìn)行楊氏雙縫干涉的虛擬實(shí)驗(yàn)，深化學(xué)生對(duì)楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的理解，達(dá)到更好地掌握大學(xué)物理內(nèi)容的目的，對(duì)大學(xué)物理教育有非常重要的意義.

1 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)原理

圖1 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)原理圖

楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示，其中小孔S發(fā)出球面波，可視為點(diǎn)光源，狹縫S1，S2到S的距離相等. 根據(jù)惠更斯原理，如果狹縫S1，S2所處位置是球面波的波陣面，則S1，S2可看成發(fā)射子波的新波源，其產(chǎn)生的波在空間相遇，因滿(mǎn)足頻率相同、振動(dòng)方向相同、位相差恒定的相干條件，則在波場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，這種方法稱(chēng)為分波陣面法獲得相干光. 由于激光的產(chǎn)生，利用其良好的單色性，代替原來(lái)的普通光源，在重疊區(qū)域會(huì)產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，便可在干涉屏上觀(guān)察到明暗相間的干涉條紋，在干涉場(chǎng)通過(guò)光與物質(zhì)的作用，曝光、顯影之后就可以在合適的感光材料上記錄全息圖樣，從而可以制作一維光子晶體[6-8].

根據(jù)原理圖，可以對(duì)干涉條紋的位置、間距做定量分析. 如圖1所示，雙縫S1，S2的間距為d，縫到干涉屏之間的距離為D，一般情況下d<

(1)

則P點(diǎn)的光強(qiáng)決定于從S1，S2發(fā)出的兩束光的相位差，決定于光程差，也就是決定于兩束光的光程差δ. 相位差

(2)

由于分波面法，兩列相干波的初相相同，則有：

(3)

干涉加強(qiáng)或減弱的條件

(4)

k=0,±1,±2,±3，...，其中k為級(jí)次，明紋位置

(5)

k=0,±1,±2,±3，...，從中可以看出，k=0，稱(chēng)為中央明紋或零級(jí)明紋，干涉條紋的級(jí)次k越大，x越大，離中央明紋越遠(yuǎn).

(6)

k=0,±1,±2,±3，...

暗紋位置

(7)

k=0,±1,±2,±3，...

其他都是界于最明和最暗之間.

相鄰的兩明(暗)條紋的距離為

(8)

說(shuō)明，當(dāng)θ不太大時(shí)，干涉場(chǎng)是一系列的平行等間距的明暗相間的條紋，條紋是等間距分布的.

楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)在實(shí)際的應(yīng)用中，可以測(cè)量入射光的波長(zhǎng). 由式(5)可得

(9)

或根據(jù)式(8)，可以得到

(10)

2 仿真程序的編寫(xiě)

Clear[t] %首先清除變量

λ=0.532; %設(shè)定波長(zhǎng)

z=100;%觀(guān)察點(diǎn)，即干涉場(chǎng)點(diǎn)

a=125;

r1=z+((x+a/2)2+y2)/(2z);%S1到P點(diǎn)的光程

r2=z+((x-a/2)2+y2)/(2z);%S1到P點(diǎn)的光程

t=Abs[u1+u2];%P點(diǎn)光強(qiáng)

ContourPlot[t2,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourLines→False,Frame→True,PlotRange→{Automatic,0.00014},ColorFunction?Black,FrameLabel→{"x(mm)","y(mm)"," ",""}] %仿真畫(huà)出P點(diǎn)光強(qiáng)的等高圖.

3 仿真結(jié)果及波長(zhǎng)、D對(duì)干涉條紋的影響

根據(jù)式(5)、(7)、(8)，可以在實(shí)驗(yàn)中設(shè)定入射光的波長(zhǎng)λ，雙縫S1，S2的間距為d，縫到干涉屏之間的距離為D的值，進(jìn)一步觀(guān)察影響干涉條紋明(暗)紋位置、明(暗)紋間距的因素.

3.1 波長(zhǎng)對(duì)干涉條紋的影響

當(dāng)d,D一定時(shí)，同過(guò)改變?nèi)肷涔獾牟ㄩL(zhǎng)，可以得到不同的干涉條紋. 模擬的結(jié)果如圖2所示，雙縫的間距d為10 μm，D為100 μm時(shí)的干涉圖樣，從圖中可以看出是一組平行的明暗相間的直條紋.

圖2(a)是入射光的波長(zhǎng)為390 nm，形成的干涉條紋周期為422 nm,達(dá)到了光波長(zhǎng)量級(jí)，可以看作是一維的光子晶體；圖2(b)是入射光的波長(zhǎng)為532 nm，周期變化不大，但是明紋的寬度有了明顯的加寬；圖2(c)是入射光的波長(zhǎng)為690 nm，其周期為542 nm；圖2(d)是入射光的波長(zhǎng)為760 nm，其周期為600 nm. 從這幾幅圖中，可以看到，隨著光波長(zhǎng)的增加，周期也在增加，即明暗條紋的間距也在增加，驗(yàn)證了公式(8)的正確性.

3.2 改變D對(duì)干涉的影響

當(dāng)入射光的光波長(zhǎng)λ和雙縫的間距d一定時(shí)，同過(guò)改變縫和屏的間距，可以得到光柵常數(shù)不同的干涉條紋. 模擬的結(jié)果如圖3所示，入射波長(zhǎng)λ=532 nm，d為10 μm時(shí)的干涉圖樣.

圖2 改變波長(zhǎng)λ形成的干涉圖

圖3 改變D形成的干涉圖

圖3(a)是D=100 μm時(shí)的干涉圖樣，從圖中可以看到周期為0.420 μm;(b)是D=125 μm時(shí)的干涉圖樣，從圖中可以看到周期增大，變?yōu)?.615 μm;(c)是D=150 μm時(shí)的干涉圖樣，從圖中可以看到明紋增寬，周期為0.667 μm;(d)是D=200 μm時(shí)的干涉圖樣，從圖中可以看到周期為0.889 μm.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

按照實(shí)驗(yàn)原理搭建光路，用波長(zhǎng)為532 nm的半導(dǎo)體激光器和波長(zhǎng)為632 nm的氦氖激光器代替普通光源，在干涉場(chǎng)通過(guò)顯微鏡觀(guān)察干涉圖案，并用照相機(jī)或記錄介質(zhì)記錄干涉圖結(jié)構(gòu)[9-13]. 如圖4所示，可以清楚地看到平行直條紋的干涉圖樣，與圖2、圖3的理論計(jì)算結(jié)果吻合的非常好.

5 結(jié)論

運(yùn)用Mathematica理論計(jì)算了楊氏雙縫干涉光場(chǎng)的干涉圖樣，搭建了實(shí)驗(yàn)光路，記錄了全息干涉圖，實(shí)驗(yàn)觀(guān)察結(jié)果與理論模擬很好的吻合. 通過(guò)改變影響明紋位置、明紋間距因素的參數(shù)波長(zhǎng)λ和縫到屏的間距D,得到了周期不同、光柵常數(shù)不同的干涉圖樣. 論文的創(chuàng)新之處，運(yùn)用Mathematica理論計(jì)算楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，特別是對(duì)實(shí)驗(yàn)條件達(dá)不到的院校，也可以使學(xué)生加深對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)規(guī)律和實(shí)驗(yàn)原理的掌握，仿真模型極大地節(jié)約了實(shí)驗(yàn)成本，實(shí)現(xiàn)資源共享. 此外，運(yùn)用激光干涉，也可以大規(guī)模地制作波長(zhǎng)量級(jí)的一維光子晶體.

圖4 不同放大倍數(shù)的干涉圖樣