基于徑向基函數(shù)的有限差分法對歐式期權(quán)的定價

王 茜，齊 靜

(1.河南牧業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，河南 鄭州 450008；2.重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院, 重慶 401520)

1 背景知識

1.1 Black-Scholes 公式

假設(shè)某只股票的期權(quán)價格用P=f(t,S)表示，這里的函數(shù)f對時間t和股票價格S二階可導(dǎo)，且K是成交價格.對公式轉(zhuǎn)換后可得到以下性質(zhì)[1]：

(1)

轉(zhuǎn)換后的偏微分方程如下

(2)

(3)

r是無風(fēng)險利率，σ是波動率. 本文用歐式期權(quán)作為合同函數(shù).

ψ(x)=max(x-1,0).

(4)

1.2 有限差分法

有限差分法是估值偏微分方程的解中最常用的數(shù)值方法之一. 其中對衍生品的估值需要引入網(wǎng)格，即對時間和空間進(jìn)行分割.

為了說明有限差分法，首先對x和t的定義域進(jìn)行離散，

(5)

(6)

這里xmax=4.然后可以得出歐式期權(quán)的初始邊界條件如下[2]：

P(0,x)=max(x-1,0),

(7)

(8)

其中空間導(dǎo)數(shù)可估作

(9)

(10)

這里Pj=P(t,Sj(t)),j=1,2,…,N-1.

(11)

圖1 成交價格為30時用有限差分法估算的歐式看漲期權(quán)價格函數(shù)和誤差函數(shù)

圖1給出了股票價格的誤差函數(shù). 第二幅圖給出了股票價格和期權(quán)價格估算值的函數(shù)關(guān)系.從圖中可以看出在股價為30單位時，誤差最大.本文中所有的圖像都是基于原始BS 公式得來的，而非轉(zhuǎn)換后的公式.

1.3 徑向基函數(shù)(Radial Basis Functions, RBF)

RBF常用來對函數(shù)進(jìn)行近似[5]，格式如下

(12)

這里y(x)表示N個徑向基函數(shù)之和，每一個函數(shù)都有一個不同的中心xj，wj表示函數(shù)的權(quán)重.

表1 徑向基函數(shù)

設(shè)xj為每個徑向基函數(shù)所對應(yīng)的中心，則以時間為自變量的線性函數(shù)組合的估算結(jié)果為

(13)

其中φ表示徑向基函數(shù)，λ為待定系數(shù). 這里再一次使用BDF2對時間進(jìn)行推進(jìn).

圖2給出了當(dāng)徑向基函數(shù)是mq，形狀參數(shù)是5的RBF方法估算的歐式看漲期權(quán)價格. 第一幅圖給出的是關(guān)于股價的期權(quán)價格誤差函數(shù)，第二幅圖是關(guān)于股價的期權(quán)價格函數(shù). 從圖中可以看出誤差分散在每個股價點.

圖2 RBF方法估算的關(guān)于股票價格和期權(quán)價格的誤差函數(shù)

2 基于徑向基函數(shù)的有限差分法

基于徑向基函數(shù)的有限差分法(Radial Basis Functions-Finite Differences，RBF-FD)提取了徑向基函數(shù)估算的優(yōu)點和有限差分法的優(yōu)點.這里并沒有采用徑向基函數(shù)構(gòu)成的完整的線性方程組，而是僅僅在鄰近區(qū)域放入徑向基函數(shù).這樣可以得到一個稀疏矩陣，并且保留了好的收斂性.

A(n×n)wj=B(n×1),

(14)

其中

A=aij,

B=bj,

且向量wj為權(quán)重. 以下給出矩陣格式的方程

解出方程15可以得到當(dāng)x=xj時所對應(yīng)的n個權(quán)重. 以此類推，解出所有的xj,j={2,3,…,N-1}的權(quán)重并把它們放入到一個N×N的矩陣中. 矩陣中第一行和最后一行只有一個數(shù)值1作為邊界條件，其余的每一行都有n個非零項,具體如下

使用BDF2方法，對結(jié)果化簡后得到

(I-kβ0D)Pn(x)=-β1Pn-1(x)-β2Pn-2(x),

插入邊界條件后得到

(I-kβ0D)Pn(x')-kβ0g(t)=-β1Pn-1(x')-β2Pn-2(x'),

由于只對成交價格附近的期權(quán)價格感興趣，因此在計算誤差進(jìn)行比較時，僅考慮[K/3，5K/3]這個區(qū)間的數(shù)值.

歐式范數(shù)誤差的計算公式如下：

errorj=estimatevaluej-exactvaluej,j=1,2,…,N,

3 比較RBF-FD方法中不同徑向基函數(shù)的精確度

本文的目的是找出最優(yōu)的系數(shù)(n,ε,φ)為了能夠快速得到高精度的結(jié)果. 由圖3和圖4可以確定出系數(shù)ε和n的選取范圍. 圖3可以看出無論N為多少，當(dāng)n=7時已可得到較好的精確度，當(dāng)n大于7時，精確度并未有更好的精確度，且會耗費更多的計算時間.而在圖3中的矩陣為病態(tài)矩陣，故n增大，還需增大形狀參數(shù).筆者分別選取當(dāng)n=3，5，7時的RBF-FD方法和FD方法的結(jié)果進(jìn)行比較.對于形狀參數(shù)ε的選取，參照文獻(xiàn)[7]，當(dāng)n一定，徑向基函數(shù)趨于平緩的時候，得到的結(jié)果精確度最高.圖4是不同形狀參數(shù)在徑向基函數(shù)是mq，M=100，N=60和n=5時的精確度. 由圖可知，形狀參數(shù)對誤差有很大的影響.為了避免當(dāng)N很大時方程14會形成奇異矩陣，這里選取ε=2作為形狀參數(shù)值.這個結(jié)果對除了r3以外其他的徑向基函數(shù)同樣適用.

圖5給出的是對上文中提到的四種徑向基函數(shù)在不同相鄰點個數(shù)n的情況下進(jìn)行的比較. 每幅圖給出的是不同徑向基函數(shù)關(guān)于N的誤差函數(shù).

圖3 使用RBF-FD方法給出的關(guān)于n的誤差函數(shù)圖像.徑向基函數(shù)是mq,形狀參數(shù)(ep)ε=2,M=100

圖4 使用RBF-FD方法給出的關(guān)于形狀參數(shù)ε的誤差函數(shù)圖像,徑向基函數(shù)是mq,M=100

圖5 使用RBF-FD方法給出的關(guān)于N的誤差函數(shù)圖像,M=100，ε=2

從圖5可以看出當(dāng)空間點N增大時，得到較小的誤差，且較多的相鄰點個數(shù)n給出較小的誤差. 而當(dāng)使用r3作為徑向基函數(shù)，n=3時，無法得到一個合適的計算結(jié)果，所以圖中僅顯示了n=5和n=7時的結(jié)果. 可以看出和其他三種徑向基函數(shù)相比，r3給出的誤差最大.

通過比較四種徑向基函數(shù)和相鄰點個數(shù)n，發(fā)現(xiàn)僅有mq，iq和gs這三種徑向基函數(shù)在對歐式期權(quán)定價中表現(xiàn)較好. 相鄰點個數(shù)n越大，誤差越小，但當(dāng)n大于7時，會出現(xiàn)病態(tài)矩陣. 針對本文問題的形狀參數(shù)選取2最為理想.

4 結(jié)論

在一系列的對比測試之后，用選取最優(yōu)參數(shù)的RBF-FD方法和RBF方法以及FD方法進(jìn)行比較.

圖6表明當(dāng)N一樣時，RBF-FD方法的誤差比FD方法的誤差小，但是比RBF方法服軟誤差大.當(dāng)n=3時，RBF-FD方法和FD方法的誤差幾乎一樣，這也是可以理解的.

圖6使用RBF-FD方法、RBF方法和FD方法給出的關(guān)于N的誤差函數(shù)圖像,其中徑向基函數(shù)是mq,M=100

本文通過對RBF-FD各參數(shù)進(jìn)行對比測試，并和原有的方法進(jìn)行比較，得出以下結(jié)論：

(1)四種徑向基函數(shù)中通過比較有三種可以采用，但multiquadric函數(shù)在大多數(shù)情況下是最穩(wěn)定的.

(2)從精確度和穩(wěn)定性考慮，當(dāng)ε=2時，得到最優(yōu)價格估值.

(3)和FD方法比較，當(dāng)RBF-FD方法中n大于3時，精確度明顯更好.

(4)由于在使用FD方法解決高階問題時受限于笛卡爾網(wǎng)格，因此根據(jù)精度需要可以任意放置點的數(shù)目作為RBF-FD方法的優(yōu)勢可以在高階問題中得以體現(xiàn)，且同樣具有高效性.