求解相對位移的三種方法比較

■重慶市第三十七中學(xué)校 楊天才(特級教師)

兩個物體之間的相對運(yùn)動是一種常見的運(yùn)動形式,如追及問題、傳送帶問題、滑塊—木板問題、碰撞問題等。求解這類問題中的相對位移時,可以采用解析法、相對位移公式法和圖像法,這三種方法各有各的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn),表1是這三種方法的比較:

表1

例1甲火車正以速率v1向前行駛,司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上距離為x處有另一火車乙,正以較小的速率v2沿同方向做勻速運(yùn)動,甲車司機(jī)由發(fā)現(xiàn)情況到開始剎車所用時間(反應(yīng)時間)為Δt,甲車在剎車過程中做勻減速運(yùn)動。要使兩列火車不相撞,甲車剎車時的加速度a至少應(yīng)是多少?

解析法:兩列火車恰好不相撞時,二者的速度相同,均為v2,設(shè)甲車由剎車到獲得共同速度所用時間為t,根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式得x甲=解 得 a=

相對位移法:反應(yīng)時間內(nèi)兩車均做勻速運(yùn)動,由x相=v相t可得,甲車相對乙車的位移x1=(v1-v2)Δt。兩列火車恰好不相撞時,二者的速度相同,均為v2,由2a相x相可得,甲車相對乙車的運(yùn)動滿足(v2-v2)2-(v1-v2)2=2(-a-0)(xx1),解得

圖1

圖像法:設(shè)甲車由剎車到獲得共同速度所用時間為t,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出甲、乙兩車運(yùn)動的v-t圖像,如圖1所示。由題意知陰影部分的面積在數(shù)值上等于兩車的相對位 移,即又 有,解得

例2一水平的淺色足夠長傳送帶上放置一煤塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),煤塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ。初始時,傳送帶與煤塊都是靜止的?，F(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運(yùn)動,當(dāng)其速度達(dá)到v0后,便以此速度做勻速運(yùn)動。經(jīng)過一段時間,煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后,煤塊相對于傳送帶不再滑動,求此黑色痕跡的長度。

解析法:根據(jù)“傳送帶上有黑色痕跡”可知,煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對滑動,煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0。根據(jù)牛頓第二定律得a=μg。設(shè)經(jīng)歷時間t,傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0,煤塊由靜止開始加速到v,則v0=a0t,v=at。因為a＜a0,所以v＜v0,煤塊繼續(xù)受到滑動摩擦力的作用。再經(jīng)過時間t',煤塊的速度由v增加到v0,有v0=v+at'。此后,煤塊與傳送帶的運(yùn)動速度相同,相對于傳送帶不再滑動,不再產(chǎn)生新的痕跡。設(shè)在煤塊的速度從0增加到v0的整個過程中,傳送帶和煤塊移動的距離分別為x0和x,則傳送帶上留下的黑色痕跡的長度l=x0-x。聯(lián)立以上各式解得

相對位移法:同理得煤塊的加速度a=μg。設(shè)經(jīng)歷時間t1,傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0。由運(yùn)動學(xué)公式得此時煤塊的速度設(shè)經(jīng)歷時間t2,煤塊由靜止開始加速到速度等于v0,此后煤塊與傳送帶相對靜止,不再產(chǎn)生新的黑色痕跡。由運(yùn)動學(xué)公式得由得傳送帶相對煤塊的第一段位移第二段位移因此傳送帶上留下的黑色痕跡的長度l=x1+x2=

圖2

圖像法:同理得煤塊的加速度a=μg。設(shè)經(jīng)歷時間t1,傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0,設(shè)經(jīng)歷時間t2,煤塊由靜止開始加速到速度等于v0,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出傳送帶和煤塊運(yùn)動的v-t圖像,如圖2所示,則黑色痕跡的長度l=

圖3

例3如圖3所示,在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板B和C。重物A(視為質(zhì)點(diǎn))位于木板B的右端,A、B、C三者的質(zhì)量相等?，F(xiàn)重物A和木板B以同一速度滑向靜止的木板C,木板B與C發(fā)生正碰。碰后木板B和C粘在一起運(yùn)動,重物A在木板C上滑行,重物A與木板C間有摩擦力。已知重物A滑到木板C的右端而未掉下。問:從木板B、C發(fā)生正碰到重物A剛移到木板C右端的過程中,木板C所經(jīng)過的距離是木板C長度的多少倍?

解析法:設(shè)A、B、C的質(zhì)量均為m,碰撞前,重物A與木板B的共同速度為v0,碰撞后木板B與C的共同速度為v1,對由木板B、C組成的系統(tǒng)應(yīng)用動量守恒定律得mv0=2mv1,解得設(shè)重物A滑至木板C的右端時,三者的共同速度為v2,對由A、B、C三者組成的系統(tǒng)應(yīng)用動量守恒定律得解得設(shè)重物A與木板C間的動摩擦因數(shù)為μ,從發(fā)生碰撞到重物A移至木板C的右端時木板C所經(jīng)過的距離為x,對由木板B、C組成的系統(tǒng)應(yīng)用功能關(guān)系得得設(shè)木板C的長度為l,對重物A應(yīng)用功能關(guān)系得解得因此

相對位移法:同理得由可知,木板C相對重物A和木板B滿足(v2-v2)2-(v0-v1)2=對木板C有μmgx=解得

圖4

圖像法:同理得v1=在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出重物A和木板B、C運(yùn)動的v-t圖像,如圖4所示,則木板C所經(jīng)過的距離與木板C長度的比值為

例4一個質(zhì)量為M的絕緣小車,靜止在光滑水平面上,在小車的光滑表面上放一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的帶電小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),小車質(zhì)量與物塊質(zhì)量之比M∶m=7∶1,物塊距小車右端擋板的距離為L,小車車長為1.5L,如圖5所示?，F(xiàn)沿平行于車身方向加一水平向右的勻強(qiáng)電場E,物塊由靜止開始向右運(yùn)動,而后與小車右端擋板相碰,若碰后小車的速度大小為碰撞前物塊速度大小的并設(shè)在物塊滑動過程中及其與小車相碰的過程中,物塊的帶電荷量保持不變,且碰撞時間極短,總能量不變。

圖5

(1)通過分析與計算說明碰撞后物塊能否滑出小車車面。

(2)若能滑出,求出由物塊開始運(yùn)動至滑出時靜電力對小物塊所做的功;若不能滑出,求出物塊從開始運(yùn)動至第二次碰撞前滑塊的速度大小。

解析法:(1)帶電小物塊僅在靜電力作用下向右沿光滑表面做加速運(yùn)動,位移為L時與小車右端擋板相撞,設(shè)相撞前瞬間物塊的速度為v0,由牛頓第二定律得0,解得物塊與小車碰撞時間極短,靜電力遠(yuǎn)小于撞擊力,故可認(rèn)為在水平方向上動量守恒,則mv0=mv1+Mv2,由題意知,解得因此碰后,物塊向左以的初速度在靜電力作用下做勻減速運(yùn)動,當(dāng)其對地速度減為零時,又在靜電力作用下向右做勻加速運(yùn)動,直到物塊向右的速度與小車向右的速度相同時,小車右端與物塊間的距離最大。設(shè)物塊此時相對碰時位置向左的位移為x1,小車向右的位移為x2,則,式中解得所用的時間故因為x1+x2=L＜1.5L,所以物塊不會滑出小車車面。

(2)設(shè)物塊由相對小車靜止(即與小車有共同速度v2)到與小車右端擋板第二次碰撞所需時間為t',由幾何關(guān)系及勻加速直線運(yùn)動公式得式中x=v2t'為小車在t'時間內(nèi)的位移,解得t'=所以物塊與小車右端擋板第二次碰撞前物塊的速度

相對位移法:(1)同理得,即碰后物塊反彈,先向左后向右做勻變速運(yùn)動,當(dāng)其速度與小車向右的速度相同(相對速度為零)時,小車右端與物塊間的距離最大。由可得,解得x相=L＜1.5L。因此物塊不會滑出小車車面。

(2)之后物塊繼續(xù)加速運(yùn)動,小車勻速運(yùn)動,物塊與小車第二次碰撞前與發(fā)生第一次碰撞時二者發(fā)生的位移相等(相對位移為零),則(這是第一次碰撞后的速度,舍去)。

圖6

圖像法:(1)同理得在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出物塊與小車運(yùn)動的v-t圖像,如圖6所示,當(dāng)物塊的速度與小車的速度相同時,小車右端與物塊間的距離最大。由幾何知識得△AOB?△GDC,S△AOB=L=S△GDC,x相=L＜1.5L。因此物塊不會滑出小車車面。

(2)物塊與小車右端擋板第二次碰撞前與發(fā)生第一次碰撞時二者發(fā)生的位移相等(相對位移為零),即S△FED=L。所以△GCD?△FED,由幾何知識得v3=v2+