含有通信時(shí)滯的多航天器SO(3)姿態(tài)協(xié)同控制

董朝陽, 馬鳴宇,2, 王 青, 周 敏

(1. 北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191; 2.北京電子工程總體研究所, 北京 100854; 3. 北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100191; 4. 北京仿真中心航天系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100854)

0 引 言

多航天器姿態(tài)協(xié)同是通過航天器之間的信息交互設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膮f(xié)同控制律,以使得各航天器姿態(tài)保持一致[1]。在航天器控制領(lǐng)域,姿態(tài)協(xié)同是很多應(yīng)用的一個(gè)基本問題,具有重要的研究意義:多顆小衛(wèi)星的協(xié)同工作需要對(duì)衛(wèi)星間的相對(duì)姿態(tài)進(jìn)行協(xié)調(diào),以此可以完成復(fù)雜的任務(wù),具有成本低、研制周期短、應(yīng)用方式靈活等優(yōu)點(diǎn)[2];同時(shí),在航天器交會(huì)對(duì)接、衛(wèi)星捕獲等航天作業(yè)中,姿態(tài)協(xié)同也是一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)[3]。因此,多航天器系統(tǒng)姿態(tài)的協(xié)同控制的研究受到越來越多的關(guān)注[4-5]。協(xié)同控制一種分布式的控制方法,通?？梢苑譃椴捎谩爸?從”(leader-following)和無主(leaderless)結(jié)構(gòu)的方法[6-8]?！爸?從”結(jié)構(gòu)的理論證明相對(duì)簡(jiǎn)單,也取得了很多研究成果。但其方法需要利用主航天器的狀態(tài),主航天器的失效會(huì)造成整個(gè)系統(tǒng)無法運(yùn)行。無主結(jié)構(gòu)的協(xié)同控制[9-10]不依賴某個(gè)特定航天器,降低了對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的要求,更具有一般性,多航天器具體任務(wù)及應(yīng)用可以在此方法基礎(chǔ)上發(fā)展得到。

多航天器系統(tǒng)模型由每個(gè)航天器的姿態(tài)描述和相互之間的拓?fù)浣M成。需要注意的是,在現(xiàn)有的大部分文獻(xiàn)中,對(duì)航天器姿態(tài)均采用俯仰/偏航/滾轉(zhuǎn)通道模型或四元數(shù)描述模型,存在一定的局限性:姿態(tài)方程在歐拉角360°大范圍變化時(shí)會(huì)存在奇異問題,導(dǎo)致基于這種模型設(shè)計(jì)的控制器也只適用于某個(gè)范圍內(nèi)。四元數(shù)的姿態(tài)表示方法避免了奇異性,但四元數(shù)到旋轉(zhuǎn)矩陣的映射是雙重覆蓋的,不具有唯一性,用于控制時(shí)可能導(dǎo)致姿態(tài)散開,引起系統(tǒng)性能下降[11-12]。為了避免這些問題,相關(guān)文獻(xiàn)提出了基于特殊正交群SO(3)的姿態(tài)建模與控制方法[13-15]。采用SO(3)方法能夠從整體的角度對(duì)姿態(tài)進(jìn)行描述,從而使模型得到簡(jiǎn)化。同時(shí),姿態(tài)與旋轉(zhuǎn)矩陣是一一對(duì)應(yīng)的,相比傳統(tǒng)歐拉角區(qū)分通道設(shè)計(jì)的方法更為統(tǒng)一,且不存在姿態(tài)奇異問題,更適用于多航天器的協(xié)同控制。針對(duì)單個(gè)飛行器,文獻(xiàn)[16]研究了SO(3)上全局鎮(zhèn)定問題,并給出了其在姿態(tài)跟蹤控制中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[17]研究了面向無人機(jī)的SO(3)滑模變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制器,實(shí)現(xiàn)了對(duì)無人機(jī)的大角度跟蹤。在多個(gè)體控制方面,文獻(xiàn)[18]提出了多剛體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)SO(3)協(xié)同控制,但要求通信拓?fù)涫请p向的。

在實(shí)際的多航天器系統(tǒng)中,由于通信線路的負(fù)載、信息交互的不對(duì)稱性及傳輸速度的限制,航天器之間的通信拓?fù)涫怯邢虻?。同時(shí),通信時(shí)滯也很難避免,而時(shí)滯的出現(xiàn)會(huì)影響整體的協(xié)同性能,甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定[19]。因此,在協(xié)同控制設(shè)計(jì)過程中,有必要考慮通信拓?fù)涞挠邢蛐砸约巴ㄐ艜r(shí)滯的影響。對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)的控制問題,文獻(xiàn)[20]研究了無向拓?fù)湎滦l(wèi)星編隊(duì)姿態(tài)協(xié)同跟蹤控制,采用一階濾波器來設(shè)計(jì)存在通信時(shí)滯的輸出反饋控制器;文獻(xiàn)[21]提出了魯棒濾波器來補(bǔ)償系統(tǒng)的輸入時(shí)滯,并在四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制中進(jìn)行了應(yīng)用,但是這種方法需要姿態(tài)小角度假設(shè);文獻(xiàn)[22]研究了“主-從”拓?fù)湫问较麓嬖跁r(shí)滯的衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制;文獻(xiàn)[23]基于反步法提出了航天器姿態(tài)時(shí)滯控制方法,在強(qiáng)連通拓?fù)涞臈l件下使得系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

需要注意的是,在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中采用SO(3)的姿態(tài)控制方法還比較少,且大多集中在個(gè)體飛行器,對(duì)于多飛行器SO(3)協(xié)同控制的研究還比較有限,同時(shí)沒有考慮存在時(shí)滯情況下的設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析問題。文獻(xiàn)[18]提出的方法不僅要求通信為雙向的,也很難直接應(yīng)用于存在時(shí)滯的情形。為此,本文針對(duì)含有通信時(shí)滯的多航天器系統(tǒng),在有向拓?fù)涞沫h(huán)境下提出了基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同控制方法。由于SO(3)與傳統(tǒng)姿態(tài)描述不同,文中首先對(duì)SO(3)上的協(xié)同指令進(jìn)行了研究,根據(jù)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提出了旋轉(zhuǎn)矩陣形式的姿態(tài)指令。在此基礎(chǔ)上,利用SO(3)形式誤差設(shè)計(jì)標(biāo)稱控制器,提出采用補(bǔ)償濾波器來處理系統(tǒng)中的時(shí)滯狀態(tài),共同構(gòu)造了協(xié)同控制器,證明了多航天器能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)協(xié)同。文中使用包含5個(gè)航天器的控制系統(tǒng)對(duì)所提方法進(jìn)行了仿真,仿真結(jié)果與理論分析相符,驗(yàn)證了基于SO(3)協(xié)同控制方法的有效性。

1 多航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)模型建立

1.1 航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)SO(3)模型

在三維空間中,本體坐標(biāo)系與慣性系之間的旋轉(zhuǎn)變換可以用一個(gè)正交變換矩陣R來表示,所有的正交變換矩陣構(gòu)成了SO(3)群:

SO(3)={R∈R3×3|RRT=I3,detR=1}

(1)

任意姿態(tài)都對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣R∈SO(3)。因此,航天器的姿態(tài)就可以用SO(3)中對(duì)應(yīng)的元素R來表示。令Ω=[ω1ω2ω3]T,定義運(yùn)算

(2)

為hat映射。hat映射的逆運(yùn)算∨稱為vee映射,其將任意三維反對(duì)稱陣映射為三維向量,即

ω1ω2ω3]T

(3)

基于上述分析,建立航天器i的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

1.2 航天器通信拓?fù)涿枋?/h3>

2 基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同指令設(shè)計(jì)

(5)

(6)

(7)

在得到設(shè)計(jì)的姿態(tài)指令信號(hào)Rdi后,定義SO(3)中的相對(duì)姿態(tài)誤差和角速度誤差為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

同時(shí),根據(jù)SO(3)的性質(zhì)可知,有如下關(guān)系成立:

(14)

(15)

3 多航天器協(xié)同控制器設(shè)計(jì)

3.1 SO(3)協(xié)同控制器

在完成姿態(tài)指令設(shè)計(jì)后,本節(jié)提出了基于SO(3)的航天器協(xié)同控制器以完成對(duì)指令的跟蹤,同時(shí)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)一致。

根據(jù)式(9)和式(15),航天器i的誤差方程可以表示為

(16)

進(jìn)而設(shè)計(jì)如下形式的姿態(tài)協(xié)同控制器:

Mi(t)=ui(t)+ufi(t)

(17)

(18)

式中

Ξi+Δi+ufi+ui=

-kRieRi-kΩ ieΩ i+Δi+ufi

(19)

(20)

于是,記Gi(s)=Fi(s)(I3-Fi(s))-1,最終得到補(bǔ)償控制器為

ufi=-Gi(s)(JiseΩ i+kRieRi+kΩ ieΩ i)

(21)

3.2 姿態(tài)協(xié)同穩(wěn)定性分析

將補(bǔ)償濾波器Fi(s)表示成狀態(tài)空間形式可得

(22)

式中

k=1,2,3;b=[1 0]T;c=[1 0]T

Δi-kRiBReRi

(23)

式中

引理2[13]記函數(shù)

(24)

則Ψ(Ri,Rdi)的下界可表示為

(25)

下面給出關(guān)于協(xié)同穩(wěn)定性的結(jié)論。

定理1考慮N個(gè)航天器組成的系統(tǒng)(4),其通信拓?fù)溆蒐給出且通信存在時(shí)滯τi(i=1,2,…,N)。若拓?fù)浒蓸?那么根據(jù)所設(shè)計(jì)的姿態(tài)協(xié)同指令式(10)～式(12)和控制器式(17),多航天器系統(tǒng)是穩(wěn)定的且能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)協(xié)同。

證明選取Lyapunov函數(shù)為

(26)

首先證明V1i的正定性。易知

(27)

(28)

記zi=[‖eRi‖‖eΩ i‖]T,結(jié)合引理2可知

(29)

(30)

V1i中的第3項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)為

(31)

同時(shí),由式(18)可知

(32)

(33)

式中,kδ、δi為某正常數(shù)。進(jìn)一步通過式(17)、式(18)和式(33)可得

(34)

根據(jù)以上分析,V1i對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)可得

≤

(35)

將式(35)進(jìn)行化簡(jiǎn),記

(36)

(37)

則有

≤-μ1‖eRi‖2-(k-κ3)‖xfi(t)‖2+

(38)

再選取Lyapunov函數(shù)V2i為

(39)

(40)

進(jìn)而,對(duì)V2i求導(dǎo)數(shù)并進(jìn)行化簡(jiǎn)得到

(41)

式中

(42)

(43)

(44)

≤-μ1‖eRi‖2-μ2‖eΩ i‖2-(k-κ3)‖xfi(t)‖2-

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

證畢

注4通過航天器建模(4)和控制器(17)設(shè)計(jì)過程可以看出,提出的SO(3)協(xié)同控制方法允許各航天器的參數(shù)是不同的,即適用于航天器異構(gòu)的情況。

4 多航天器協(xié)同控制仿真驗(yàn)證

在本節(jié)中,考慮由5個(gè)航天器組成的系統(tǒng),對(duì)所設(shè)計(jì)的協(xié)同控制方法進(jìn)行仿真。各個(gè)航天器的參數(shù)和初始條件如表1所示。

表1 航天器參數(shù)和初始條件

初始姿態(tài)對(duì)應(yīng)的R陣為

航天器之間的通信拓?fù)淙鐖D1所示。對(duì)應(yīng)的邊的權(quán)重為a14=1,a23=1,a32=0.3,a35=0.7,a41=0.5,a43=0.5,a51=1。通信時(shí)滯設(shè)置為0.1 s。由此可以通過式(10)～式(12)得到姿態(tài)協(xié)同指令。

圖1 航天器通信拓?fù)銯ig.1 Communication topology between spacecraft

在姿態(tài)協(xié)同控制器中,選取kRi=5,kΩ i=12.5,Ffi=diag{10,10,10}。在協(xié)同控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真的過程中均使用的是基于SO(3)的方法,采用選擇矩陣R對(duì)姿態(tài)進(jìn)行描述。在圖2～圖4中為了便于結(jié)果呈現(xiàn),將R轉(zhuǎn)換成俯仰、偏航、滾轉(zhuǎn)角度進(jìn)行表示。由圖2～圖4可知,在各個(gè)航天器姿態(tài)初始值相差較大的情況下,仿真開始后能夠以較快的速度收斂到共同值,實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)協(xié)同。

圖2 多航天器俯仰角變化曲線Fig.2 Illustration of the pitch angles of spacecrafts

圖3 多航天器偏航角變化曲線Fig.3 Illustration of the yaw angles of spacecrafts

圖4 多航天器滾轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.4 Illustration of the roll angles of spacecrafts

為了具體描述協(xié)同誤差的收斂情況,在仿真中定義:

(50)

圖5 協(xié)同誤差和跟蹤誤差收斂曲線Fig.5 Illustration of the consensus and tracking errors

進(jìn)一步為了說明控制輸入的變化,文中在圖6和圖7中以航天器4和航天器5為例,給出了其控制力矩曲線,其他航天器控制輸入與此相似。由仿真結(jié)果可知,提出的控制器保證了姿態(tài)協(xié)同和系統(tǒng)的穩(wěn)定性,在時(shí)滯存在的情況下能夠滿足設(shè)計(jì)要求,基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同控制是有效的。

圖6 航天器4的控制輸入Fig.6 Control inputs of the 4th spacecraft

圖7 航天器5的控制輸入Fig.7 Control inputs of the 5th spacecraft

5 結(jié) 論

本文研究了多航天器系統(tǒng)的姿態(tài)協(xié)同問題,在考慮通信拓?fù)錇橛邢驁D且存在時(shí)滯的情形下,提出了基于SO(3)的協(xié)同控制方法。相比傳統(tǒng)俯仰、偏航和滾轉(zhuǎn)區(qū)分通道或四元數(shù)的表示形式,文中采用SO(3)中的旋轉(zhuǎn)矩陣建立了航天器姿態(tài)協(xié)同控制模型。進(jìn)一步,利用相鄰航天器的狀態(tài)信息,給出了SO(3)相對(duì)姿態(tài)誤差的定義和協(xié)同指令設(shè)計(jì)方法。在此基礎(chǔ)上,采用濾波器對(duì)系統(tǒng)通信時(shí)滯進(jìn)行了補(bǔ)償,設(shè)計(jì)了SO(3)協(xié)同控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)指令的跟蹤,保證多航天系統(tǒng)姿態(tài)達(dá)到一致。提出的方法允許航天器是異構(gòu)的,更符合實(shí)際的工程應(yīng)用,而通過指定“主航天器”、加入特定跟蹤指令等方法,本文研究的協(xié)同控制方法也可以推廣到姿態(tài)指向協(xié)同和同步跟蹤地面點(diǎn)等具體應(yīng)用情形。仿真結(jié)果驗(yàn)證了提出的基于SO(3)的協(xié)同控制方法的有效性。