基于貝塔高斯概率假設(shè)密度的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤

李文娟, 呂 婧, 顧 紅, 蘇衛(wèi)民

(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

多目標(biāo)跟蹤是為了在復(fù)雜背景下獲得準(zhǔn)確的目標(biāo)數(shù)目和狀態(tài)。近年來,基于隨機(jī)有限集(random finite set,RFS)的多目標(biāo)跟蹤算法[1-3]發(fā)展迅猛,主要有序貫蒙特卡羅(sequential Monte Carlo, SMC)[4-6]和高斯混合(Gaussian mixture, GM)[7-9]兩種實(shí)現(xiàn)方式。概率假設(shè)密度(probability hypothesis density,PHD)[10-13]傳播一階矩,是最簡單的RFS類跟蹤算法。

占據(jù)多個(gè)分辨單元的目標(biāo)稱為擴(kuò)展目標(biāo)[14]。在多擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤問題中,對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)的量測數(shù)目和擴(kuò)展建立合理模型,能夠提高跟蹤性能[15-17]。本文聚焦擴(kuò)展目標(biāo)的量測數(shù)目。文獻(xiàn)[14]提出擴(kuò)展目標(biāo)的量測數(shù)目服從泊松分布。隨后,文獻(xiàn)[18]提出一種泊松擴(kuò)展目標(biāo)概率假設(shè)密度(Poisson extended target PHD, PET-PHD)濾波算法。然而,這種算法在跟蹤?quán)徑鼣U(kuò)展目標(biāo)時(shí)不能精確估計(jì)目標(biāo)數(shù)目[19-20]。針對(duì)這一問題,文獻(xiàn)[20]提出擴(kuò)展目標(biāo)的量測數(shù)目服從二項(xiàng)分布的假設(shè)?；谝韵聝牲c(diǎn)原因,文獻(xiàn)[20]認(rèn)為二項(xiàng)分布比泊松分布更為合理。一方面,一個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)占據(jù)多個(gè)分辨單元,一般假設(shè)分辨單元互相獨(dú)立且檢測概率相同[14],擴(kuò)展目標(biāo)的量測產(chǎn)生過程顯然是一個(gè)多伯努利實(shí)驗(yàn)。另一方面,泊松分布是二項(xiàng)分布在擴(kuò)展目標(biāo)占據(jù)的分辨單元數(shù)趨于無窮大,檢測概率趨于無窮小的極限情況下近似得到的一種分布[21]。然而,在實(shí)際應(yīng)用中,擴(kuò)展目標(biāo)占據(jù)的分辨單元數(shù)有限,不可能趨于無窮大。因此,擴(kuò)展目標(biāo)的量測數(shù)目服從泊松分布與實(shí)際情況不符,服從二項(xiàng)分布更為合理。文獻(xiàn)[20]的仿真結(jié)果表明,服從基于二項(xiàng)分布的ET-PHD(binominal distribution based ET-PHD,BET-PHD)濾波算法能夠獲得比PET-PHD更好的跟蹤性能。由于二項(xiàng)分布是一種特殊的多伯努利分布[1],文獻(xiàn)[20]提出的濾波算法也稱為多伯努利ET-PHD(multi-Bernoulli ET-PHD, MB-ET-PHD)。文獻(xiàn)[22]首次將二項(xiàng)分布量測數(shù)目模型和多伯努利濾波器結(jié)合,用于跟蹤雜波環(huán)境下單個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)。

在BET-PHD濾波算法中,擴(kuò)展目標(biāo)的檢測概率和量測數(shù)目最大值是非常重要的先驗(yàn)參數(shù)。然而,在實(shí)際應(yīng)用中這兩個(gè)參數(shù)事先未知。參數(shù)嚴(yán)重不匹配會(huì)導(dǎo)致BET-PHD算法跟蹤性能急劇下降。由于文獻(xiàn)[22]已經(jīng)給出量測數(shù)目最大值的估計(jì)方法,本文聚焦未知目標(biāo)檢測概率的估計(jì)方法:通過二項(xiàng)分布的共軛先驗(yàn)貝塔分布和似然函數(shù)二項(xiàng)分布構(gòu)造貝葉斯迭代公式,同時(shí)將檢測概率的估計(jì)方法引入BET-PHD的高斯混合濾波器,提出一種貝塔高斯ET-PHD(beta Gaussian ET-PHD,BG-ET-PHD)濾波器。通過引入貝塔分布估計(jì)檢測概率已經(jīng)不是首次。文獻(xiàn)[23]提出一種聚焦點(diǎn)目標(biāo)跟蹤問題、自適應(yīng)估計(jì)檢測概率的BG-PHD濾波器。在PET-PHD濾波器中,作為先驗(yàn)信息的目標(biāo)量測數(shù)目在實(shí)際應(yīng)用中也是事先未知的。相應(yīng)的自適應(yīng)估計(jì)目標(biāo)量測數(shù)目的濾波器稱為伽馬高斯ET-PHD(gamma Gaussian ET-PHD, GG-ET-PHD)[24]。仿真結(jié)果表明,BG-ET-PHD濾波器估計(jì)參數(shù)準(zhǔn)確,能夠獲得比GG-ET-PHD更好的跟蹤性能。

1 研究背景

給定k時(shí)刻的任一擴(kuò)展目標(biāo)xk,假設(shè)該目標(biāo)占據(jù)γk(xk)個(gè)分辨單元,分辨單元之間互相獨(dú)立且檢測概率pD,k(xk)相同[14]。量測的產(chǎn)生過程可以看作一個(gè)分辨單元上的γk(xk)次獨(dú)立重復(fù)檢測實(shí)驗(yàn),并且每次實(shí)驗(yàn)只有兩種結(jié)果:檢測出量測和沒有檢測出量測。顯然,這是統(tǒng)計(jì)學(xué)的多伯努利實(shí)驗(yàn)[21]。因此,擴(kuò)展目標(biāo)的量測數(shù)目應(yīng)該服從二項(xiàng)分布,其最大值為γk(xk),平均值為λk(xk)=γk(xk)pD,k(xk)。

假設(shè)擴(kuò)展目標(biāo)的量測數(shù)目服從二項(xiàng)分布,相應(yīng)的濾波算法稱為BET-PHD[20]。其GM實(shí)現(xiàn)方式要求系統(tǒng)線性高斯,狀態(tài)方程和測量方程分別為

fk|k-1(xk|k-1|xk-1)=N(xk|k-1;Fk-1xk-1,Qk-1)

(1)

gk(zk|xk|k-1)=N(zk;Hkxk|k-1,Rk)

(2)

式中,Fk-1和Hk分別是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣;Qk-1和Rk分別是過程噪聲協(xié)方差和量測噪聲協(xié)方差。

這樣的濾波器稱為BET-GMPHD,下面給出k時(shí)刻BET-GMPHD的預(yù)測強(qiáng)度和更新強(qiáng)度。

Dk|k-1(xk|k-1|Zk-1)=Db,k(xk)+

(3)

如果k時(shí)刻BET-GMPHD的預(yù)測強(qiáng)度是

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

2 BG-ET-PHD

在這一節(jié)中,首先利用貝塔分布是二項(xiàng)分布的共軛先驗(yàn),得到估計(jì)檢測概率的貝葉斯迭代公式。然后,對(duì)包含檢測概率和運(yùn)動(dòng)參數(shù)的增廣狀態(tài)建立貝塔高斯分布模型,得到新的濾波器BG-ET-PHD。

2.1 貝葉斯迭代估計(jì)檢測概率

二項(xiàng)分布的共軛先驗(yàn)貝塔分布[25]是一個(gè)關(guān)于檢測概率pD的二值分布。

(13)

p(pD,k|k-1|Wk-1)=β(pD,k|k-1;pk|k-1,qk|k-1)

(14)

相應(yīng)地,k時(shí)刻似然函數(shù)p(Wk|pD,k|k-1)是二項(xiàng)分布Bin(γk|k-1,|Wk|,pD,k|k-1),表達(dá)式為

p(Wk|pD,k|k-1)=p(|Wk||pD,k|k-1)=

C(γk|k-1,|Wk|)(pD,k|k-1)|Wk|(1-pD,k|k-1)γk|k-1-|Wk|

(15)

通過貝葉斯準(zhǔn)則[25],檢測概率pD,k的后驗(yàn)分布為

p(pD,k|Wk)∝p(pD,k|k-1|Wk-1)p(Wk|pD,k|k-1)=

β(pD,k;pk,qk)·Lβ

(16)

式中

pk=|Wk|+pk|k-1,qk=γk|k-1+qk|k-1-|Wk|

(17)

≈

β(pD,k|k-1;pk|k-1,qk|k-1)

(18)

μβ,k|k-1

(19)

(20)

假設(shè)1參考關(guān)于gamma預(yù)測分布假設(shè)[24,26],有理由相信假設(shè)1同樣合理。一般情況下,相比k-1時(shí)刻的后驗(yàn)分布,變量k時(shí)刻的先驗(yàn)分布均值不變,協(xié)方差增大[24]。為了確保pk|k-1>0和qk|k-1>0,預(yù)測協(xié)方差選擇為

,μβ,k-1(1-μβ,k-1))

2.2 BG-ET-PHD濾波器

一般,假設(shè)pD,k(xk)與擴(kuò)展目標(biāo)xk無關(guān)[27],即pD,k(xk)=pD,k。將pD,k作為增廣變量,令ξk=(pD,k,xk)表示擴(kuò)展目標(biāo)xk的增廣狀態(tài),k時(shí)刻ξk服從貝塔高斯分布,即

p(ξk|Wk)=p(pD,k|Wk)p(xk|Wk)=

β(pD,k;pk,qk)N(xk;mk,Pk)=BG(ξk;ζk)

(21)

式中,p(pD,k|Wk)服從貝塔分布β(pD,k;pk,qk),在線性系統(tǒng)下p(xk|Wk)服從高斯分布N(xk;mk,Pk),ζk={pk,qk,mk,Pk}。

(1) 預(yù)測等式

定理1假設(shè)在k-1時(shí)刻BG-ET-PHD濾波器的更新強(qiáng)度是一個(gè)貝塔高斯的混合形式

(22)

那么k時(shí)刻BG-ET-PHD的預(yù)測強(qiáng)度為

(23)

式中

(24)

(25)

并且

證明對(duì)于k時(shí)刻的存活目標(biāo),相應(yīng)的目標(biāo)PHD強(qiáng)度[27]為

(26)

假設(shè)pS,k(ξk|k-1)與狀態(tài)ξk|k-1無關(guān)[27],即pS,k(ξk|k-1)=pS,k,p(ξk|k-1|ξk-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,可分解為

p(ξk|k-1|ξk-1)=p(pD,k|k-1|pD,k-1)p(xk|k-1|xk-1)

(27)

其中,p(xk|k-1|xk-1)=N(xk|k-1;Fk-1xk-1,Qk)。

將Dk-1(ξk-1|Wk-1)代入式(26),得到

(28)

式(28)分別使用了文獻(xiàn)[1]的結(jié)論

和假設(shè)1。

證畢

(2) 更新等式

定理2如果BG-ET-PHD濾波器的預(yù)測強(qiáng)度是一個(gè)貝塔高斯混合,表示為

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

證明將ξk取代xk,通過文獻(xiàn)[20]的推導(dǎo)過程,可以推導(dǎo)得到

Dk(ξk|Zk)=L(Zk|ξk|k-1)Dk|k-1(ξk|k-1|Zk-1)

(45)

式中

(46)

wρ見式(11)；dW見式(12)。

(47)

將Dk|k-1(ξk|k-1|Zk-1)的貝塔高斯混合形式代入式(45)的無量測更新部分

(1-pD)γ(x)Dk|k-1(ξk|k-1|Zk-1)=

(48)

對(duì)于式(45)的量測更新部分,有

(49)

式中,φW還可以表示為

γk,|W|,pD,k)W

(50)

假設(shè)2

(51)

(52)

將Dk|k-1(ξk|k-1|Zk-1)的貝塔高斯混合形式代入φWDk|k-1(ξk|k-1|Zk-1),得到

(53)

式(53)主要采用了以下兩個(gè)分布乘積公式。首先,根據(jù)式(16)可以得到

(54)

然后,利用兩個(gè)高斯分布的乘積公式[1]得到

(55)

將式(53)代入式(49),得到式(30)的量測更新部分。

證畢

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 場景1

(56)

式中

圖1 場景1的目標(biāo)真實(shí)軌跡Fig.1 True target trajectories for scenario 1

圖2 檢測概率的估計(jì)值Fig.2 Estimated value of detection probability

圖3 最大量測數(shù)目的估計(jì)值Fig.3 Estimated value of maximum measurement number

3.2 場景2

圖4 場景2的目標(biāo)真實(shí)軌跡Fig.4 True target trajectories for scenario 2

圖不同的BET-PHD的目標(biāo)數(shù)目估計(jì)Fig.5 Target number estimation of BET-PHD under different

3.3 場景3

采用最多同時(shí)存在10個(gè)目標(biāo)的場景3評(píng)估兩種GG-ET-PHD和BG-ET-PHD濾波器性能,目標(biāo)真實(shí)軌跡如圖6所示。其中,在第40～80 s,目標(biāo)6和目標(biāo)7相差10 m同向平行運(yùn)動(dòng)。

圖6 場景3的目標(biāo)真實(shí)軌跡Fig.6 True target trajectories for scenario 3

圖7給出了兩種濾波器100次蒙特卡羅平均得到的目標(biāo)數(shù)目估計(jì)和最佳子模式分配(optimal sub-pattern assignment, OSPA)距離誤差。可以看到,在平行運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段(第40～80 s),相比Poisson模型的GG-ET-PHD濾波器,基于二項(xiàng)分布的BG-ET-PHD濾波器能夠獲得較為準(zhǔn)確的目標(biāo)數(shù)目估計(jì)和較小的OSPA誤差。這意味著基于二項(xiàng)分布模型的濾波器能更好地處理鄰近擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤問題。同時(shí),還可以看出,BG-ET-PHD濾波器參數(shù)估計(jì)值與真實(shí)值之間的較小誤差沒有影響濾波器的跟蹤性能。此外,從圖7(b)可以看出,GG-ET-PHD和BG-ET-PHD濾波器在目標(biāo)新生時(shí)刻獲得的OSPA誤差距離較大。這是因?yàn)檫@兩個(gè)濾波器延遲一個(gè)時(shí)間步長估計(jì)新生目標(biāo)的數(shù)目和狀態(tài),導(dǎo)致新生時(shí)刻新生目標(biāo)的OSPA誤差較大。

圖7 兩個(gè)ET-PHD濾波器的跟蹤性能對(duì)比Fig.7 Tracking performance of two ET-PHD filters

4 結(jié) 論

針對(duì)基于二項(xiàng)分布的BET-PHD濾波算法中檢測概率和量測數(shù)目最大值在實(shí)際應(yīng)用中未知的問題,本文提出基于貝塔高斯混合分量的BG-ET-PHD濾波器。該濾波器能夠自適應(yīng)估計(jì)各個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)的檢測概率和量測數(shù)目最大值。仿真結(jié)果表明BG-ET-PHD濾波器能夠準(zhǔn)確估計(jì)未知參數(shù),能獲得比基于泊松模型的GG-ET-PHD濾波器更好的跟蹤性能。