把握方程特性，合理轉(zhuǎn)化解題

陳尚品

[摘 要] 坐標系與參數(shù)方程綜合題是高考選做部分的重要題型，對于該類題首先需要理解不同坐標系下對應方程的表達形式，充分掌握方程之間的轉(zhuǎn)化方法，對于其中涉及線段的最值問題需要結(jié)合幾何知識，利用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或方程問題來求解.

[關鍵詞] 坐標系；參數(shù)方程；三角函數(shù)；最值；思維

坐標系與參數(shù)方程是高中的選修知識，但同樣是高考的重點題型，利用不同坐標系建立起的參數(shù)方程、極坐標方程往往對于函數(shù)曲線、定點坐標有著鮮明的特征表達，由此演變的綜合題對于學生的推理、運算能力有著良好的考查作用，對該類題的深入分析對于提升學生的解題能力有著積極的促進作用.

真題解析，試題分析

1. 真題呈現(xiàn)

（2017年全國卷Ⅰ文數(shù)第22題） 在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為x=a+4t，y=1-t（t為參數(shù)）.

2. 試題解析

3. 試題點評

本題目為典型的坐標系與參數(shù)方程的綜合題，主要考查學生參數(shù)方程與普通方程之間的互化、點到直線的距離以及函數(shù)求最值等知識，上述一問求解過程充分利用同角三角函數(shù)基本關系中的平方關系，實現(xiàn)了參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，通過方程的聯(lián)立求解來求交點；二問則是借助參數(shù)方程表述點的便利性，結(jié)合點到直線的距離公式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的最值來求解. 求解該類問題需要準確把握方程互化之間的轉(zhuǎn)化公式，利用三角函數(shù)的關系來解決，對于其中關于線段的最值問題，則可以利用弦長公式、點到直線的距離公式來表述問題，借助函數(shù)思想和方程思想來轉(zhuǎn)化求解.

試題銜接，思路剖析

坐標系與參數(shù)方程是高考的重點知識，參數(shù)方程、極坐標方程、普通方程之間的互化是其中常見的基本問題，求解時需要借助互化公式來解決. 對于其中涉及線段的最值問題則可以利用轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合幾何知識和代數(shù)知識，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的有界性和求最值的便利性解題，也可以將其轉(zhuǎn)化為方程問題，通過解方程的方式來求解.

上述問題均為坐標系與參數(shù)方程的綜合題，都充分利用了互化公式來求解，求線段的最值則充分利用幾何知識來表述問題，結(jié)合代數(shù)知識來求解. 試題1分別借助同角三角函數(shù)的平方關系和極坐標轉(zhuǎn)化公式，將參數(shù)方程、極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的最值知識來求解；試題2則是利用轉(zhuǎn)化公式將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程，利用幾何的垂徑定理和點到直線的距離公式建立方程來解題. 坐標系與參數(shù)方程的綜合題實際上是代數(shù)知識和幾何知識相結(jié)合的問題，是對學生坐標理解、知識綜合運用的考查.

解后反思，教學思考

1. 牢固基礎知識，把握知識重難點

上述坐標系與參數(shù)方程的考題考查了參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的互化、點到直線的距離、弦長公式、函數(shù)最值等知識，屬于數(shù)學的基礎知識，對于學生數(shù)學能力的提升極為重要，如果對于基礎知識理解不夠透徹，公式掌握不夠牢固，解法運用不夠靈活，就難以正確選擇解題方向，更無法探索解題思路，尤其是對于結(jié)合了眾多基礎知識的綜合題，尤其需要學生注重基礎知識的學習，在高中復習的教學階段，更需要教師進行針對性指導，指導學生關注知識的易錯點，理解知識的難點.

2. 總結(jié)知識規(guī)律，簡化解決問題

數(shù)學不僅是一門理性的學科，還存在一定的規(guī)律結(jié)構(gòu)，無論是問題結(jié)構(gòu)還是解題過程都有著一定的知識規(guī)律，對于坐標系與參數(shù)方程問題，設問無非就是對于參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程互化的考查以及相關幾何問題的求解，方程的互化需要學生掌握互化的規(guī)律公式，對于其中求線段的最值問題則可以采用弦長公式、點到直線的距離公式、垂徑定理等規(guī)律公式. 因此，對于該部分內(nèi)容的學習應注重知識規(guī)律的總結(jié)，總結(jié)相應的解題技巧，學習簡化問題的方法，通過知識規(guī)律的有效總結(jié)來實現(xiàn)問題的簡便作答.

3. 重視解題思維，學習數(shù)學思想

數(shù)學的解題過程透露著解題的思維過程，尤其是高考題，是對學生邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考核，即使考題的形式不同，但是問題的復合形式，設問角度以及解題的基本思路是大致相同的，具有良好的數(shù)學素養(yǎng)是解決問題的關鍵. 另外，上述參數(shù)方程的解題過程還滲透了轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想和方程思想，合理地運用解題思想可以有效幫助學生理清問題結(jié)構(gòu)，對于探求解題思路極為有利，熟練掌握解題思想是發(fā)展學生解題思維的重要條件，在教學中應進行著重講解.

寫在最后

坐標系與參數(shù)方程雖是高考的選做內(nèi)容，但依然是高考的重點題型，其中的方程互化以及線段的最值求解有著多重考查形式，合理利用轉(zhuǎn)化公式，結(jié)合相應的幾何知識，將問題轉(zhuǎn)化為較為具體的函數(shù)問題或方程問題是該類題的解題思路. 在教學中應注重基礎知識的學習，把握教學內(nèi)容的重難點；注意知識規(guī)律的總結(jié)歸納，掌握相應的解題技巧；關注解題過程，注重解題思維的培養(yǎng)，提煉數(shù)學思想，促進學生綜合能力的提升.