排列概念的形成過程

田穎

[摘 要] 排列一節(jié)的內(nèi)容比較簡單，很多時候老師和學(xué)生對該節(jié)內(nèi)容不夠重視. 實際上這節(jié)內(nèi)容里蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，既能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣，又能讓學(xué)生體會到這部分問題處理的靈活性.

[關(guān)鍵詞] 排列；概念；形成過程

有人說，數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)表現(xiàn)出“冰冷的美麗”，而教育形態(tài)卻是一種“火熱的思考”，每天“冰火兩重天”的數(shù)學(xué)魅力在教學(xué)設(shè)計中醞釀，在課堂上生成. 現(xiàn)在以“排列”為載體，從“為什么”“是什么”“怎么做”三個方面分享我的點滴認(rèn)識.

首先，從“為什么這樣設(shè)計”開始.

從學(xué)情、理論、教材三個方面的分析. 學(xué)生已經(jīng)具備了用兩個計數(shù)原理來研究計數(shù)問題的基礎(chǔ)，期待計數(shù)問題的解決方法更加優(yōu)化、多樣化. 排列屬于概念性知識，概念教學(xué)的關(guān)鍵是讓學(xué)生真正經(jīng)歷概括過程，實現(xiàn)的方式是有目的地創(chuàng)設(shè)情境、有邏輯地提出問題. 用情境刺激學(xué)生思考“我有什么”“還需要什么”，當(dāng)學(xué)生從以往的經(jīng)驗出發(fā)，對新問題進行認(rèn)識、理解和假設(shè)時，有邏輯地“問題串”會牽引學(xué)生通過思考肯定或否定自己的假設(shè). 日積月累，才能實現(xiàn)用數(shù)學(xué)的方式助力學(xué)生發(fā)展.

接下來，要明確本節(jié)課的基本內(nèi)容是什么.

本節(jié)課有三級目標(biāo)：課程目標(biāo)、單元目標(biāo)和課堂目標(biāo). 排列是在乘法計數(shù)原理的基礎(chǔ)上歸納概括出來的新概念，也是進一步學(xué)習(xí)組合的重要依據(jù)，這種關(guān)聯(lián)性決定了本節(jié)課的教學(xué)要“瞻前顧后”. 本節(jié)課的重點是歸納得到排列的概念、推導(dǎo)排列數(shù)公式、構(gòu)建排列解決問題；難點是讓學(xué)生在概括的過程中將排列納入自己的認(rèn)知系統(tǒng)，并能通過多角度地思考問題來提升思維的靈活性.

在目標(biāo)指引下，落實該怎么做.

本節(jié)課有五個教學(xué)環(huán)節(jié). 在復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)，先是類比數(shù)列學(xué)習(xí)時的邏輯順序，明晰本節(jié)課在本單元中的邏輯地位，概述本節(jié)課的研究任務(wù).

再回看上節(jié)課例9（課本第9頁）：隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容. 交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn). 那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？由于重復(fù)性工作，使得例9的解答過程煩瑣，那么，為這一類計數(shù)問題尋求更加簡潔的解法就成為一種需要.

在需要的牽引下，開始了概念的獲得過程. 為了增強感受，先從3個例子入手：

例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的安排方法？

例2：從1，2，3，4這四個數(shù)字中，取出三個不同數(shù)字排成一個三位數(shù)，可得到多少個不同的三位數(shù)？

例3：從紅、橙、黃、綠、青、藍、紫七種不同的顏料中選取兩種不同的顏色分別去涂小丑的鼻子和嘴，有多少種涂法？

針對例1學(xué)生的解決方案呈現(xiàn)出不同角度：

方案一：

第一步：從3名不同的同學(xué)中選出1名同學(xué)占據(jù)第1個位置，有3種方法；

第二步：從剩下的2名不同的同學(xué)中再選出1名同學(xué)占據(jù)第2個位置，有2種方法，根據(jù)分步乘法原理：3×2=6.

方案二：

第一步：從3名不同的同學(xué)中選出2名不同的同學(xué)，通過枚舉法有3種方法；

第二步：將已經(jīng)選出的2名不同的同學(xué)排成一列，有2種方法，根據(jù)分步乘法原理：3×2=6.

方案三：

按照甲同學(xué)安排情況分類來解決問題：

甲同學(xué)沒參加活動：2種情況（枚舉）；

甲同學(xué)參加活動：甲同學(xué)參加上午活動2種情況；甲同學(xué)參加下午活動2種情況.

綜上，2+2+2=6.

方案一分兩步安排上午、下午兩個位置，把“上午、下午兩個位置”看作“主體”，把“甲、乙、丙”當(dāng)成“客體”，用乘法原理解決問題；方案三依據(jù)甲參加活動的情況分類，把“甲”看成主體，用加法原理解決問題；方案一和方案二用的都是分步計數(shù)原理，但是方案二的兩個步驟是先取再排，與方案一中步驟的理解不一樣. 馬上學(xué)生提出由于例3中顏色種類為7種，所以方案二實施起來比較麻煩. 這個看似麻煩的方案二為組合的出現(xiàn)埋下了伏筆.

接著，學(xué)生們開始?xì)w納概括這3個例子具備的共同特征，開始了一般化的過程. 經(jīng)過分組討論，學(xué)生分享了他們的想法，學(xué)生把“人”“數(shù)字”“顏料”抽象為“元素”，并看到3個例子中的備選元素和取出元素都是不同的，還體會到取出的元素排列順序不同結(jié)果也不同. 基于這三點，逐步完善地表達出“從n個不同的元素中取出m個不同的元素按照一定的順序排成一列，共有多少種排法”這個一般問題，并利用方案一分步安排m個位置，用乘法原理解決問題. 這是學(xué)生在經(jīng)歷了比較、類化、歸納、一般化的過程后取得的豐碩成果，對于學(xué)生來講，排列和排列數(shù)公式可以說是”千呼萬喚始出來”.

“千呼萬喚始出來，猶抱琵琶半遮面.”所以沒有馬上進入應(yīng)用環(huán)節(jié)，除了進一步明確什么是排列，對排列數(shù)公式進行完善化的補充，筆者拋出了由5個問題組成的問題串，辨析排列和乘法原理間的關(guān)系.

問題1：滿足什么條件時兩個排列才相同？

問題2：排列數(shù)概念與分步乘法計數(shù)原理有何關(guān)系？

問題3：舉例說明什么問題能利用分步乘法計數(shù)原理，但是不屬于排列問題？

問題4：舉例說明當(dāng)問題既能用分步乘法計數(shù)原理，又能用排列模型來解決時，排列的優(yōu)勢是什么？

問題5：如果用兩個詞來概括排列的特征，你會用哪兩個詞？

在問題串的牽引下，學(xué)生舉例、辨析. 每一次舉例都是對排列認(rèn)識的一次加深，每一次辨析都是讓排列這個新概念能從乘法原理中游離出來所做的一次努力. 經(jīng)歷了這個過程，排列已經(jīng)悄悄進入學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)，成為解決問題的新工具.

“理在用時方知妙”，學(xué)生開始嘗試借助排列解決問題.

練習(xí)1：（1）從5本不同的書中選出3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

（2）從5種不同的書中選出3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

（3）從1，2，3這3個數(shù)字中每次取出2個不同的數(shù)相乘，有多少種不同的積？

（4）從1，2，3這3個數(shù)字中每次取出2個不同的數(shù)相除，有多少種不同的商？

練習(xí)2：上節(jié)課的例9.

練習(xí)3：用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

第一個練習(xí)，在對比中辨別排列；把上節(jié)課的例9作為第二個練習(xí)，利用排列簡化了解題方法；在第三個練習(xí)中，一方面，繼續(xù)使用兩個計數(shù)原理和排列解決問題，另一方面，學(xué)生用不同的解法表達“條條大路可通羅馬”，而為什么選擇這條路？值得我們細(xì)細(xì)品味.

有的學(xué)生把安排位置當(dāng)作“主體”，并優(yōu)先安排“百位”，這時要追問，優(yōu)先安排十位或個位不可以嗎？學(xué)生在比較之后體會出優(yōu)先安排受限位置，解決方法會比較簡單；同樣的，學(xué)生體會出，當(dāng)把元素作為“主體”時，抓住受限元素“0”有沒有被選出來分類，問題的研究會簡潔明快. 這時“優(yōu)先原則”就不再是一句口號，而是學(xué)生寶貴的體驗和經(jīng)驗.

另外，有的學(xué)生拋開限制條件，把從10個不同的數(shù)字中取出3個數(shù)的排列數(shù)當(dāng)作整體，要研究問題的對立面就是0在百位時三位數(shù)的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)對立面的研究很方便，就借助間接法解決了問題.

能從不同角度解決問題是思維靈活性的體現(xiàn)，但是換角度看問題的抓手在哪里？根據(jù)本節(jié)課的知識，結(jié)合練習(xí)3的體驗，在計數(shù)問題中，變換角度的抓手有兩個：一個是變換“主體”和“客體”，另一個是跳出問題從整體中尋找問題的對立面，相信這點經(jīng)驗是學(xué)生寶貴的財富.

同時，本節(jié)課的教學(xué)過程會讓學(xué)生體會出排列是乘法原理的重要應(yīng)用，兩個計數(shù)原理是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法，分類和分步是把復(fù)雜問題分解和簡化的有效途徑.

接下來是課堂小結(jié)：一方面請學(xué)生反思概念的獲得過程，歸納概念形成的“一般套路”；另一方面，詢問學(xué)生針對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，還有什么困惑. 當(dāng)問到困惑時，一個學(xué)生提問：反思解決3道例題的方案二，方案二的第一步里是不是藏著另外一個計數(shù)模型：“從n個不同的元素中取出m個不同的元素，有多少種取法”，他還說，這個模型在生活中經(jīng)常碰到，應(yīng)該有研究價值吧？學(xué)生的這個問題，不正是下節(jié)課的起點嗎？