以極限和連續(xù)的概念為例淺談高職數(shù)學(xué)的教學(xué)技巧

曾大恒　劉淑貞

摘要：極限與連續(xù)是微積分最為基礎(chǔ)的概念，也是高等數(shù)學(xué)必教必學(xué)的內(nèi)容之一。對(duì)于高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果按照本科層次的教學(xué)方法開(kāi)展教學(xué)，往往使原本枯燥和抽象的高等數(shù)學(xué)知識(shí)更加難于理解和掌握。如何針對(duì)高職學(xué)生特點(diǎn)和課程定位生動(dòng)講解高等數(shù)學(xué)的基本概念，筆者從自身教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，以極限和連續(xù)的概念為例，提供了可供參考的教學(xué)方法和技巧，對(duì)高職數(shù)學(xué)的教學(xué)具有一定指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：高職數(shù)學(xué)；極限與連續(xù)；教學(xué)技巧

中圖分類號(hào)：G718.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）29-0168-03

一、無(wú)需過(guò)于追求數(shù)學(xué)的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性

高職院校的數(shù)學(xué)教師大多從本科院校畢業(yè)且具有碩士以上的學(xué)歷學(xué)位，在開(kāi)展高職數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，許多教師往往從自身所學(xué)專業(yè)出發(fā)，跳不出教材，跳不出數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，習(xí)慣于按照傳統(tǒng)的方式進(jìn)行傳授。例如，在講述“函數(shù)極限的概念”時(shí)，總喜歡用“ε-δ”語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)極限的定義；在講述 “函數(shù)連續(xù)的概念”時(shí)，總離不開(kāi)先講連續(xù)的“第一定義”再過(guò)渡到連續(xù)的“第二定義”。

高職教育以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)。在高職工科類的專業(yè)人才培養(yǎng)方案中，《高等數(shù)學(xué)》僅是一門公共基礎(chǔ)課和素質(zhì)教育課，課程開(kāi)設(shè)時(shí)量一般不超過(guò)職業(yè)素養(yǎng)課程（公共基礎(chǔ)課和素質(zhì)教育課）總學(xué)時(shí)的1/6，開(kāi)設(shè)《高等數(shù)學(xué)》的主要目的是為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)也為培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)發(fā)揮一定的作用。根據(jù)高職人才的培養(yǎng)目標(biāo)、《高等數(shù)學(xué)》在人才培養(yǎng)中的定位以及課程的教學(xué)時(shí)量安排，決定了該課程的教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循“以應(yīng)用為目的、理論適度夠用”的原則，要求教師必須打破傳統(tǒng)的學(xué)科教學(xué)模式，教學(xué)中無(wú)需過(guò)多地強(qiáng)調(diào)知識(shí)的系統(tǒng)性、邏輯的合理性和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

同時(shí)，受國(guó)內(nèi)高考制度的影響，高職院?？偸桥旁诟呖甲詈笠慌浫。_(dá)到或超過(guò)本科錄取分?jǐn)?shù)的考生很少愿意選擇填報(bào)高職院校。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，高職學(xué)生的文化基礎(chǔ)（尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）普遍較弱，學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)習(xí)慣等綜合素質(zhì)可見(jiàn)一斑。對(duì)于很多抽象的數(shù)學(xué)概念，如果按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法講授，教師講得神采飛揚(yáng)，絕大多數(shù)學(xué)生往往黯然神傷，上課打瞌睡或干其他事情的現(xiàn)象比比皆是，上課氣氛經(jīng)常十分沉悶，久而久之，學(xué)生總會(huì)感覺(jué)高等數(shù)學(xué)特別難學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)越來(lái)越?jīng)]有信心，教學(xué)效果可想而知。如何讓高職院校的課堂成為有效課堂，如何讓高職院校的學(xué)生學(xué)中有樂(lè)、學(xué)有所獲，迫切需要高職院校的教師結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)，打破傳統(tǒng)模式，創(chuàng)新教學(xué)方法，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念。

二、高職數(shù)學(xué)的教學(xué)技巧

（一）靈活運(yùn)用類比教學(xué)法，將復(fù)雜內(nèi)容條理化

把兩個(gè)屬性相近或類似的教學(xué)內(nèi)容對(duì)照進(jìn)行分析、理解，使復(fù)雜的概念變得條理清晰、簡(jiǎn)單易懂，這種方法稱為類比教學(xué)法。類比教學(xué)法對(duì)于引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、幫助學(xué)生理解抽象概念、發(fā)展學(xué)生的求異性思維以及培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性具有重要意義。以函數(shù)極限的概念為例：

根據(jù)自變量的不同變化趨勢(shì)，函數(shù)y=f（x）的極限分為兩種情形：x→∞和x→x■。在x→∞的情形中，存在自變量趨于負(fù)無(wú)窮大和自變量趨于正無(wú)窮大兩種情形；在x→x■的情形中，同樣存在自變量從左邊趨向于

x■（即x→x■■）和從右邊趨向于x■（即x→x■■）兩種情形。運(yùn)用類比教學(xué)法，很容易厘清這一復(fù)雜概念。

講解時(shí)，可列舉三個(gè)不同函數(shù)：（1）y=arctanx；（2）y=arccotx；（3）y=■；分別作出它們的圖形，通過(guò)觀察圖像，不難得出：要使■f（x）存在，當(dāng)且僅當(dāng)■f（x）和■f（x）均存在且相等，即■f（x）=A，■f（x）=B且A=B。

有了對(duì)函數(shù)y=f（x）在x→∞時(shí)極限概念的理解，講函數(shù)y=f（x）當(dāng)x→x■時(shí)的極限概念時(shí)，可以把x→x■■與x→-∞、x→x■■與x→+∞、x→x■與x→∞分別加以對(duì)照，通過(guò)舉例、作圖、觀察等手段不難得出：■f（x）存在的充要條件是■f（x）和■f（x）均存在且相等，即■f（x）=A，■f（x）=B且A=B。

（二）充分發(fā)揮圖形的作用，將抽象內(nèi)容直觀化

數(shù)學(xué)本身就是一門研究“數(shù)形關(guān)系”的學(xué)問(wèn)。大家知道，幾何離不開(kāi)圖形，其實(shí)代數(shù)和圖形也同樣是分不開(kāi)的。教學(xué)中充分發(fā)揮圖形的作用，經(jīng)常會(huì)使抽象的問(wèn)題變得尤為直觀、簡(jiǎn)單。以函數(shù)連續(xù)的概念為例：

我們借助函數(shù)圖形，很容易直接觀察出“不連續(xù)函數(shù)”的特點(diǎn)，然后進(jìn)行原因分析，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：

圖1中，函數(shù)圖像在x■處不連續(xù)。原因分析：函數(shù)的極限值存在，函數(shù)值不存在；

圖2中，函數(shù)圖像在x■處不連續(xù)。原因分析：函數(shù)的極限值存在，函數(shù)值也存在，但極限值和函數(shù)值不相等；

圖3中，函數(shù)圖像在x■處不連續(xù)。原因分析：其函數(shù)值存在，但極限值不存在（左極限存在，右極限存在，左右極限不相等）。

由此直接得出結(jié)論：要使函數(shù)在x■處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）函數(shù)在x■及其附近有定義，即f（x■）存在；（2）函數(shù)在x■處極限存在，即■f（x）存在；（3）函數(shù)在x■處的極限等于函數(shù)在x■處的函數(shù)值，即■f（x）=f（x■）。以上通過(guò)發(fā)揮函數(shù)圖形的作用，非常清楚直觀地講解了函數(shù)連續(xù)的要點(diǎn)。

數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性、復(fù)雜性和特殊性，是造成高職學(xué)生難理解、難接受、難內(nèi)化的原因之一。利用圖形的直觀性幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以把很多數(shù)學(xué)知識(shí)化難為易、化抽象為具體，使學(xué)生恍然大悟，豁然貫通。一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師教學(xué)經(jīng)常是尺不離手，圖文并茂，作圖標(biāo)準(zhǔn)，信手拈來(lái)。因此，作為起主導(dǎo)作用的數(shù)學(xué)教師，應(yīng)時(shí)刻滲透用圖形教學(xué)的理念，隨時(shí)展示圖形語(yǔ)言的優(yōu)越性，體現(xiàn)圖形語(yǔ)言的價(jià)值所在。

（三）生動(dòng)運(yùn)用比喻教學(xué)法，將枯燥內(nèi)容形象化

比喻是用相似的事物打比方的一種修辭手法。被比方的事物叫“本體”，用來(lái)打比方的事物叫“喻體”，比喻就是用“喻體”來(lái)映射“本體”，其目的在于將事物表達(dá)得更生動(dòng)形象。

課堂上，利用形象貼切的比喻開(kāi)展教學(xué)，經(jīng)常能使枯燥難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)變得豐富多彩、生動(dòng)有趣，從而增強(qiáng)學(xué)生的自信心，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

例如，如何理解什么是初等函數(shù)——由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次復(fù)合或者有限次四則運(yùn)算并用一個(gè)表達(dá)式表達(dá)的函數(shù)——這一概念?？梢栽O(shè)想用“廚師炒菜”作比喻：將“六種基本初等函數(shù)”比作是“需要加工的原材料”，把“有限次復(fù)合或有限次四則運(yùn)算”比作是“烹、煎、煮、炸”的加工過(guò)程，“用一個(gè)表達(dá)式表達(dá)”好比是“用一個(gè)盤子”裝著，“端出的這道菜”就是“初等函數(shù)”。

又如，什么是“連續(xù)”？首先可以告訴學(xué)生，通俗地說(shuō)“連續(xù)”就是“連綿不斷”的意思。然后用一個(gè)比喻形象說(shuō)明：我們從小都見(jiàn)過(guò)大人們織毛衣，用到的毛線如果是“連續(xù)”的，就可以將這根毛線從頭織到尾；如果這根毛線在中間某一點(diǎn)（x■，y■）上被蟲子咬斷且吃掉了（如圖1），毛線是“不連續(xù)”的；被蟲子咬斷后沒(méi)有吃掉而是落在（x■，y■）的下方（如圖2），毛線也是“不連續(xù)”的；毛線被蟲子咬斷并且將咬斷后的線頭搬動(dòng)了一個(gè)位置（如圖3），毛線更是“不連續(xù)”的。一個(gè)比喻，三種情形，一目了然。

再如，在理解“函數(shù)y=f（x）在x■處的極限與函數(shù)在x■處是否有定義之間的關(guān)系”時(shí)，可以設(shè)想教室入口的墻壁是北緯30°，現(xiàn)有一只螞蟻沿著與墻垂直的線路向墻壁移動(dòng)，當(dāng)螞蟻慢慢靠近墻壁時(shí)，我們說(shuō)螞蟻會(huì)越來(lái)越接近北緯30°（即以北緯30°為極限）?，F(xiàn)假如門口的這堵墻被拆掉了，螞蟻仍沿著同樣的線路移動(dòng)，當(dāng)螞蟻越來(lái)越靠近墻壁原來(lái)所處的位置時(shí)，還是會(huì)以北緯30°為極限。也就是說(shuō)，當(dāng)螞蟻向門口墻壁移動(dòng)時(shí)，螞蟻移動(dòng)的極限值（北緯30°）與墻壁是否存在是沒(méi)有直接關(guān)系的。

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，比喻的例子很多。實(shí)踐證明，比喻教學(xué)法不失為一種好用的教學(xué)方法。凡是比喻教學(xué)法使用恰當(dāng)?shù)牡胤剑瑢W(xué)生就掌握得好。因此，需要我們數(shù)學(xué)教師在備課過(guò)程中善于思考、善于總結(jié)，才能把書本上很多枯燥難學(xué)的概念、知識(shí)做出恰當(dāng)?shù)谋扔?，使其與生活中的事物聯(lián)系起來(lái)，從而使它們變得生動(dòng)形象，易于理解，易于接受。

學(xué)無(wú)定式，教無(wú)常法。作為高職教師的教學(xué)，要得到良好的教學(xué)效果，教師不但要具有豐富和淵博的專業(yè)知識(shí)，更要有一套行之有效的教學(xué)方法和技巧，就二者來(lái)說(shuō)，后者更為重要。

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