閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的多角度分析

邢書劍　諸葛晶昌

摘要：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷是《自動控制原理》課程中的重要教學(xué)內(nèi)容之一，為了學(xué)生能夠靈活掌握線性系統(tǒng)的時域分析、根軌跡分析和頻域分析三部分，本文從勞斯表、根軌跡、奈奎斯特軌跡和伯德圖四種角度對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定和不穩(wěn)定三種狀態(tài)的判斷進(jìn)行了分析，使學(xué)生能夠更好掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的問題，為后續(xù)的自動控制系統(tǒng)校正打下良好的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；時域分析；根軌跡；頻域分析

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）29-0092-03

一、引言

《自動控制原理》是高等學(xué)校工科類專業(yè)的重要課程，是一門理論性較強(qiáng)的基礎(chǔ)科學(xué)。通過本課程的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生掌握建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般方法，掌握控制系統(tǒng)分析和綜合的方法，為今后學(xué)習(xí)現(xiàn)代控制理論、航空發(fā)動機(jī)控制、飛機(jī)計算機(jī)控制等課程提供相關(guān)的理論基礎(chǔ)。其中，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是《自動控制原理》課程中非常重要的教學(xué)內(nèi)容之一，很多章節(jié)都是圍繞穩(wěn)定性判斷和分析展開的。然而，各個章節(jié)都是介紹本章知識點，學(xué)生在學(xué)習(xí)之后往往很難前后串聯(lián)，為了使學(xué)生更好的理解和掌握閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的內(nèi)容，能夠全方位的靈活應(yīng)用所學(xué)知識，本文將從時域分析、根軌跡分析及頻域分析三個方面對系統(tǒng)穩(wěn)定性問題進(jìn)行深入分析。

二、系統(tǒng)穩(wěn)定性

系統(tǒng)穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)具有穩(wěn)定性，否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)狀態(tài)可分為穩(wěn)定狀態(tài)、臨界穩(wěn)定狀態(tài)和不穩(wěn)定狀態(tài)三種形式[1-2]。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根都位于S平面的左半平面。因此，在判斷一個閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定時，需要確認(rèn)它的閉環(huán)極點是否都位于S平面的左半平面。

通常，單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

式中，K為比例系數(shù)；m和n分別為自然數(shù)且m≤n；γ表示系統(tǒng)為γ型系統(tǒng)；τ 和T 為時間常數(shù)。

即系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。

由式（3）可知，閉環(huán)特征方程的階數(shù)取決于n，而通過人工計算求解高階方程（n>2）是非常困難的，因此判斷高階系統(tǒng)穩(wěn)定性通常會采用其他手段進(jìn)行，常用的方法為勞斯穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡分析法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及伯德圖判據(jù)幾種方法。

三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以通過對特征方程系數(shù)的適當(dāng)代數(shù)運算得到S平面右半部及虛軸上是否存在閉環(huán)極點。為了便于理解，本文在各種方法的討論中假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)皆為

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知，當(dāng)060時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

四、根軌跡分析法

根軌跡是指當(dāng)K從0到∞連續(xù)變化時，閉環(huán)極點在S平面上對應(yīng)的連續(xù)變化軌跡[3]。式（4）對應(yīng)的根軌跡方程為

=- （6）

根軌跡如圖1所示。可見，當(dāng)060時，系統(tǒng)有一對共軛閉環(huán)極點位于S平面的右側(cè)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

五、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的常用方法之一[4]，本質(zhì)上屬于圖解分析方法，且開環(huán)頻率響應(yīng)很容易計算。若閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式（4），則開環(huán)頻率響應(yīng)為

其幅頻特性和相頻特性分別為

當(dāng)K分別為10，60，80時的奈奎斯特軌跡如圖6所示，可見，當(dāng)K=10<60時，奈奎斯特軌跡不包含（-1，j0）點，且系統(tǒng)的開環(huán)極點全部在S平面左側(cè)，則系統(tǒng)沒有在S平面右側(cè)的閉環(huán)極點，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)K=60時，奈奎斯特軌跡經(jīng)過（-1，j0）點兩次，說明系統(tǒng)有兩個在S平面虛軸上的閉環(huán)極點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)K=80>60時，奈奎斯特軌跡順時針包含（-1，j0）點兩次，則系統(tǒng)有兩個在S平面右側(cè)的閉環(huán)極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

六、伯德圖判定

伯德曲線是頻率特性的另一描述形式[5]，其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別表示為

L（ω）=20lgA（ω）=20lg -20lg -20lg -20lg （10）

φ（ω）=-arctanω-arctan -arctan （11）

當(dāng)K=10，60，80時的伯德曲線分別如圖3所示，對應(yīng)的截止頻率分別為ωc1、ωc2、ωc3?？梢?，K取值不同時的相頻曲線保持不變，而由于K不同將導(dǎo)致在低頻端時的初始對數(shù)幅頻值不同，影響到每種情況下的截止頻率ωc不同，從而使得在0<ω<ωc這一段利用相頻特性曲線判斷穩(wěn)定性的結(jié)果不同。圖3中，K=10時，相頻特性曲線沒有穿越-180°線，所以正穿越次數(shù)N+和負(fù)穿越次數(shù)N-都為0，且開環(huán)不穩(wěn)定極點數(shù)P為0，此時2（N+-N-）=0=P，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；K=60時，交界頻率ωg=ωc，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；K=80時，正穿越次數(shù)N+為0，負(fù)穿越次數(shù)N-為1，則2（N+-N-）=-2≠P，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

七、結(jié)語

閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的前提，本文分別通過勞斯表、根軌跡、奈奎斯特軌跡和伯德圖四個方面對系統(tǒng)的穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定和不穩(wěn)定三種工作狀態(tài)進(jìn)行分析。通過多角度分析使學(xué)生更加清晰《自動控制原理》中時域分析、根軌跡分析和頻域分析三個章節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握知識更加立體，為后續(xù)的自動控制系統(tǒng)校正打下基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]任彥碩.自動控制原理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[2]唐超穎.淺談“欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)”的教學(xué)方法[J]. 教育教學(xué)論壇，2017，（27）：163-164.

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[5]陳鳳祥.自動控制原理之相對穩(wěn)定性概念的教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2017，（3）：207-209.