幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張明春

【摘要】對于數(shù)學(xué)科學(xué)來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用.隨著計算機多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的同時，也給學(xué)校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機輔助教學(xué)，改善人們的認知環(huán)境——越來越受到重視.從國外引進的教育軟件幾何畫板以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點及其強大的圖形和圖像功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要創(chuàng)作平臺之一.那么，幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師，筆者就此談幾點體會.

【關(guān)鍵詞】曲線與方程；數(shù)形結(jié)合；追蹤；軌跡

一、幾何畫板在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個部分；同時，函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種刻畫，這又決定了它是對學(xué)生進行素質(zhì)教育的重要材料.就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微.”函數(shù)的兩種表達方式——解析式和圖像，兩者之間常常需要對照（如，研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖像之間的關(guān)系等）.為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖為主，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫板快速直觀地顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事半功倍的效果.

具體說來，可以用幾何畫板根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖像，并可以在同一個坐標系中作出多個函數(shù)的圖像，如在同一個直角坐標系中作出函數(shù)y=x2，y=x3和y=x12的圖像，比較各圖像的形狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖像，當(dāng)參數(shù)變化時函數(shù)圖像也相應(yīng)地變化，如，在講函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像時，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A，ω，φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數(shù)圖像之間的關(guān)系；

利用幾何畫板則可以以線段b，T的長度和A點到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1所示），當(dāng)拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時既快速靈活，又不失一般性.

幾何畫板在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途.例如，借助于圖形對不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式a+b≥2ab（a，b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數(shù)圖像），觀察曲線的變化趨勢，并利用幾何畫板的制表功能以“項數(shù)、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念.

二、幾何畫板在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì).從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍.如，兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等.這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)“歪曲真相”的圖形去想象真實情況，這便給學(xué)生認識立體幾何圖形增加了困難.而應(yīng)用幾何畫板將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形.這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮.

像在講二面角的定義時（如圖2所示），當(dāng)拖動點A時，點A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動，即改變二面角的大小，圖形的直觀的變動有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3所示），更可以讓棱錐和棱臺都轉(zhuǎn)動起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺的性質(zhì)的同時，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4所示），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力；在用祖暅原理推導(dǎo)球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識的同時，給人以美的感受，創(chuàng)建一個輕松、樂學(xué)的氛圍.

三、幾何畫板在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，借助形和?shù)的對應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論.而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點、線按不同的方式做運動，曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的.這樣，幾何畫板又以其極強的運算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手.如，它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標方程）的曲線；能對動態(tài)的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關(guān)系.

具體地說，比如，在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）.再比如，在講橢圓的定義時，可以由“到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為定值的點的軌跡”入手——如圖7所示，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求.先讓學(xué)生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，教師演示，如圖7（1）所示，學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”.這時教師用鼠標拖動點B（即改變線段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2）所示，滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹慎起來并認真思索，不難得出圖7（3）所示（|AB|<|F1F2|時）的情形.經(jīng)過這個過程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴密性.

綜上所述，使用幾何畫板進行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識去理解，而是能夠更有實感地去把握.這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率.

【參考文獻】

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