談高等數(shù)學中的唯物辯證法

【摘要】高等數(shù)學中許多內(nèi)容充分體現(xiàn)了科學的辯證法，許多重要的數(shù)學概念都體現(xiàn)了矛盾的對立統(tǒng)一.本文結合實例闡述高等數(shù)學中處處充滿了唯物辯證法，使學生在掌握和學習高等數(shù)學知識的同時，接受辯證唯物主義思想的教育和啟迪.

【關鍵詞】高等數(shù)學；唯物辯證法

數(shù)學作為一門自然科學，處處蘊含著對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點與辯證的思想方法.例如，常量與變量，有限與無限，連續(xù)與間斷，無窮大與無窮小，直與曲，均勻與非均勻，微分與積分，等等，幾乎無處不有，可以說，對立統(tǒng)一思想貫穿了數(shù)學知識的始終，從極限、導數(shù)到積分都體現(xiàn)出哲學的辯證統(tǒng)一觀點.哲學是一門尋根問底、探索根本原因的學科，數(shù)學亦尋求最本質(zhì)的東西，所以它們有其內(nèi)在的聯(lián)系.高等數(shù)學不僅是一門嚴格的理論，更是一種有用的工具，在其他各學科中融入著數(shù)學，如，物理學中的速度、加速度、電流強度等；化學中的反應速度；生物學中的細菌增長速率；經(jīng)濟學中的邊際成本、邊際收益等；管理學中的最佳經(jīng)濟庫存量，等等，都是通過導數(shù)來完成的.同時，數(shù)學也離不開其他學科，像一些著名的哲學家笛卡兒、羅素、畢達哥拉斯等同時又是數(shù)學家，他們的哲學思想，常常借助著數(shù)學.在數(shù)學教學過程中，結合課程內(nèi)容，適時適宜的、有的放矢闡述和灌輸唯物辯證法基本原理、基本觀念，是必要可行的.一堂好的數(shù)學課，給學生在科學辯證法方面的收獲和啟迪，有時不亞于一堂好的哲學課.學好數(shù)學對幫助學生深刻領會哲學的辯證規(guī)律，掌握辯證唯物主義思想極為有益.

一、關于常量與變量

常量與變量是數(shù)學中兩個重要的基本概念，常量是事物相對靜止狀態(tài)在數(shù)量方面的反映，變量是事物的運動變化狀態(tài)在量的側(cè)面的反映.變量概念的引進，不僅適應了十六、十七世紀在航海、計時、天文觀測、計算行星運行軌跡、建筑等方面的實際需要，而且也推動了數(shù)學本身的發(fā)展.縱觀數(shù)學的發(fā)展史，微積分本來是作為一種計算工具而產(chǎn)生的.十七世紀的歐洲，社會化機器大生產(chǎn)已形成氣候，航海的需要、礦山的開發(fā)、火藥槍炮的制作，提出了一系列的力學和數(shù)學的問題，正是這種現(xiàn)實的需要驅(qū)使牛頓、萊布尼茲等人去尋找解決辦法，也正是這種實際的需要使得微積分誕生了.由于微積分的建立，使數(shù)學從內(nèi)容到方法，從理論到應用都得到不斷的充實和演化，使數(shù)學從常量數(shù)學進入到變量數(shù)學.

對立統(tǒng)一規(guī)律是宇宙的根本規(guī)律.常量與變量這一對矛盾同樣是客觀事物本身所固有的既對立又統(tǒng)一的本性在數(shù)學中的正確反映，它們既互相分離、互相對立、互相否定，又在一定條件下互相依存、互相滲透、互相貫通.下面從幾個方面通過具體實例闡述常量與變量之間的對立統(tǒng)一關系.

（一）常量與變量的相對性

常量在一定條件下具有任意性.常見的一些公式，如，

a2-b2=（a+b）（a-b），

（a+b）2=a2+2ab+b2，

其中a，b均為常數(shù)，但它們又具有任意性，所以公式可以廣泛應用.又如，在不定積分中

∫x2dx=13x3+c，

c是任意常數(shù).

另一方面，變量在一定條件下具有不變性.例如，求二元函數(shù)z=x3+y3+xy2+exy的偏導數(shù)時，把其中一個量視為常量，而把另一個量視為變量，得到

zx=3x2+y2+exy（x為變量，y視為常量），

zy=3y2+2xy+ex（y為變量，x視為常量）.

（二）通過常量來刻畫變量

例如，兩個變量的二次多項式

f（x，y）=ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f

經(jīng)過直角坐標系中的平移或旋轉(zhuǎn)變換

x=x′+a，y=y′+b 或x=x′cosα-y′sinα，y=x′sinα-y′cosα.

經(jīng)整理可得x′，y′的二次多項式

F（x′，y′）=a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+2d′x′+2e′y′+f′，

其中a，b，c，d，e，f與a′，b′，c′，d′，e′，f′諸系數(shù)經(jīng)過變換可能有變化，但可以通過計算證明

Ι1=a+c=a′+c′=Ι1′，

Ι2=abbc=a′b′b′c′=Ι2′，

Ι3=abdbcedef=a′b′d′b′c′e′d′e′f′=Ι3′

是不變量，稱為多項式在正交變換下的基本不變量.

（三）通過變量去研究常量

例如，求極值問題.要做一個體積是常量V的有蓋圓柱形鐵桶，問其底半徑r為多大時，鐵桶的表面積S最小，即所用材料最??？并求出此最小表面積S.

設鐵桶的高為h，由V=πr2hh=Vπr2，

鐵桶表面積S為

S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr，

S′=4πr-2Vr2.

令S′=0得唯一駐點r=3V2π.

由此可知，當r=3V2π時，鐵桶的表面積S最小，所用材料最省，其最小表面積為

Smin=332πV2.

這樣，通過半徑r（變量）來研究表面積S的最小值.

二、關于定積分的概念

定積分概念的建立是唯物辯證法實踐第一的觀點與否定之否定規(guī)律在數(shù)學中的一個例證.定積分概念的引入，都要以曲邊梯形面積的計算為引例，解決這個引例的思想方法是運用哲學上的辯證方法和數(shù)學方法論的原理.這種方法解決問題的關鍵是“以直代曲”的辯證法則，即通過無限細分區(qū)間，以許多小直邊梯形（小矩形），代替相應的小曲邊梯形，將原來無法計算的不規(guī)則面積，轉(zhuǎn)化為無數(shù)個規(guī)則的小矩形面積之和，通過極限手段獲得了任意的不規(guī)則面積的真值.解決問題的全過程，從頭到尾充滿了活生生的科學辯證法，最終將“直”與“曲”這一互為對立的概念，通過靈活運用數(shù)學方法論，使之達到完美的辯證統(tǒng)一，十分巧妙地解決了原來不可思議的計算.另外在分割區(qū)間的做法上，開始是取n個分點的“有限”分割，而一經(jīng)使用極限方法，就使之轉(zhuǎn)為每個子區(qū)間趨于零的無限分割，正因為從“有限”轉(zhuǎn)到“無限”就出現(xiàn)了由量變轉(zhuǎn)為質(zhì)變，所計算的面積就由近似值轉(zhuǎn)為它的精確值，充分體現(xiàn)了哲學上的“量變到質(zhì)變”的辯證法思想.學生明確了這一點，就更深刻地理解了定積分概念的本質(zhì)屬性，為什么是一個特定和式的極限，同時也加深了對“量變到質(zhì)變”的唯物辯證法規(guī)律的理解.

一般地，函數(shù)y=f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，取以下四個步驟：

1.分割：對區(qū)間[a，b]任意插入n-1個分點，把[a，b]分成n個小區(qū)間，記為Δx1，Δx2，…，Δxi，…，Δxn.

2.代替：在每個小區(qū)間上任取一點ξ1，ξ2，…，ξi，…，ξn，得每個點的函數(shù)值f（ξi）與相應小區(qū)間長度Δxi的乘積f（ξi）Δxi（i=1，2，3，…，n）.

3.求和：把這n個乘積相加得

f（ξ1）Δx1+f（ξ2）Δx2+…+f（ξn）Δxn

=∑ni=1f（ξi）Δxi.

4.取極限：當分點無限增大而Δx充分小時，上面和式的極限是一個確定的值，此極限值既不依賴于分割，也不依賴于介點ξi的選擇，這個極限值稱為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分，記為∫baf（x）dx，即

limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi=∫baf（x）dx，

其中λ=max{Δxi}.

這里dx是n→∞時小區(qū)間的長度，它是一個無窮小量，稱為x的微分，乘積f（x）dx也是無窮小量，它是x的另一函數(shù)u=F（x）的微分，記

du=F′（x）dx=f（x）dx.

這里∫baf（x）dx所謂總和已不是有限個常量的和，而是在給定范圍[a，b]內(nèi)無限多個無窮小量的總和，所以恩格斯把積分運算稱為求無窮小總和的運算.

以上四步算法，經(jīng)過兩次否定和肯定，即經(jīng)過了否定之否定這一辯證過程.

由此可知，計算平面圖形的面積，最后歸結為計算這樣一個具有特定結構和式的極限 limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi.人們在實踐中逐步認識到，這種特定結構和式的極限，不僅是計算圖形面積的數(shù)學模型，而且是計算許多實際問題（如變力所做的功、水的壓力、立體的體積等）的數(shù)學形式.因此，無論在理論上或在實踐中，特定結構和式的極限 limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi——定積分∫baf（x）dx具有普遍意義.在教學中，使學生明白以下幾點：① 和的極限；② 變與不變的辯證關系；③ 連續(xù)通過分割離散化，為定積分應用做必要的準備；④ 離散通過取極限成為連續(xù).這樣，從具體例子引入概念，抓住其本質(zhì)屬性，做出辯證的分析，然后為概念的應用打下基礎，使學生的邏輯思維能力得到提高.

總之，高等數(shù)學的課堂教學，隨時隨處可滲透科學辯證法的思想教育，用辯證唯物主義的觀點去分析教材，揭示教材各部分內(nèi)容知識之間的內(nèi)在規(guī)律，使學生在理解掌握數(shù)學知識的同時，接受唯物辯證法的教育和啟迪.做好這種教學教育，不僅對學生學好高等數(shù)學有很大幫助，而且對學習者牢固樹立起辯證唯物主義世界觀，乃至共產(chǎn)主義人生觀都起到有力的促進作用.

【參考文獻】

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