數(shù)形結合的思想熱點應用舉例

楊文金

數(shù)形結合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域（最值）及求變量的取值范圍等.對這類內容的選擇題、填空題，數(shù)形結合特別有效.數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”，借助各種函數(shù)的圖象和方程的曲線為載體，考查數(shù)形結合的思想方法，在考題形式上，不但有小題，還會有解答題，在考查的數(shù)量上，會有多個小題考查數(shù)形結合的思想方法.復習中應提高用數(shù)形結合思想解題的意識，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點來精確確定圖形間的位置關系.

以形助數(shù)（數(shù)題形解）借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間的關系，把形轉化為數(shù)，即以形作為手段，數(shù)作為目的的解決數(shù)學問題的數(shù)學思想.

以數(shù)輔形（形題數(shù)解）借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的的解決問題的數(shù)學思想.數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合.

1.數(shù)形結合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.

2.運用數(shù)形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：（1）等價性原則.在數(shù)形結合時，代數(shù)性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應.（2）雙方性原則.既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯.（3）簡單性原則.不要為了“數(shù)形結合”而數(shù)形結合.具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線.

3.數(shù)形結合思想解決的問題常有以下幾種：

（1）構建函數(shù)模型并結合其圖象求參數(shù)的取值范圍；（2）構建函數(shù)模型并結合其圖象研究方程根的范圍；（3）構建函數(shù)模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系；（4）構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；（5）構建立體幾何模型研究代數(shù)問題；（6）構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；（7）構建方程模型，求根的個數(shù)；（8）研究圖形的形狀、位置關系、性質等.

4.數(shù)形結合思想在高考試題中主要有以下六個?？键c：

（1）集合的運算及Venn圖；（2）函數(shù)及其圖象；（3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；（5）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；（6）對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點、頂點是關鍵點），做好知識的遷移與綜合運用.

5.數(shù)形結合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度.具體操作時，應注意以下幾點：

（1）準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解；（3）在解答題中數(shù)形結合思想是探究解題的思路時使用的，不可使用形的直觀代替相關的計算和推理論證.

點評：在解決有些解析幾何問題時，如果方法選擇不當，往往導致計算量過大，就不易得到正確的運算結果.利用數(shù)形結合由數(shù)想形，由形想數(shù).具有幾何意義的量：斜率、距離等.數(shù)形結合是靈活解題的一條途徑.

總的來說“數(shù)形結合”思想是解決許多數(shù)學問題的重要思想方法，它可以將抽象數(shù)學問題具體化、準確化、形象化.用好數(shù)形結合可以使我們更深入準確的理解數(shù)學問題.

1.在數(shù)學中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當試題中涉及這些問題的數(shù)量關系時，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關系，達到解題的目的.

2.有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結論，這就要對圖形進行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達到解題的目的.

3.利用數(shù)形結合解題，有時只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象.

4.數(shù)形結合思想是解決高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度.

5.數(shù)形結合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點間的距離公式（或向量的模、復數(shù)的模）；點到直線的距離公式等.

6.是否選擇應用數(shù)形結合的原則是：是否有利于解決問題，用最簡單的辦法解決問題.