一類不等式的巧思妙解

邊紅霞

(河北省易縣中學(xué) 074200)

函數(shù)與不等式是高考考查的重要內(nèi)容，此類問(wèn)題解決的基本途徑是，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的性質(zhì),從而使問(wèn)題得解.

例1 (2011年遼寧卷11題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(-1)=2，對(duì)任意的x∈R，f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為( ).

A.(-1,1) B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

分析根據(jù)所求及導(dǎo)數(shù)不等式f′(x)>2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-2x-4(x∈R)，∵g′(x)=f′(x)-2，由條件f′(x)>2，則g′(x)>0，g(x)是增函數(shù).又∵g(-1)=2+2-4=0，f(x)>2x-4的解集即為使得g(x)>0，即g(x)>g(-1)，由g(x)是增函數(shù)，∴x>-1，選B.

評(píng)析因?yàn)閒′(x)>2，可以得到函數(shù)f(x)-2x是增函數(shù)，但所求不等式為f(x)>2x+4，因此函數(shù)f(x)-2x-4也為增函數(shù)，于是構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-2x-4根據(jù)其單調(diào)性，脫去函數(shù)符號(hào)f，得到不等式的解.

題目所求為抽象不等式，沒(méi)有具體解析式，但是條件中有導(dǎo)數(shù)不等式，因此從條件出發(fā)，以所求為目標(biāo)，鋪路搭橋，將所求不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，脫去函數(shù)的符號(hào)f，解決了不等式問(wèn)題.

例2 設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)數(shù)，f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的范圍是( ).

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0.1)∪(1,+∞)

函數(shù)、方程、不等式之間有密切的聯(lián)系，往往相互轉(zhuǎn)化，三者以函數(shù)為中心，達(dá)成求解意向，并且在解決的過(guò)程中，函數(shù)的性質(zhì)和圖象又會(huì)提供豐富的資源，使問(wèn)題的解答更加巧妙.這道題充分利用了函數(shù)的奇偶性，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題直觀形象地表達(dá)出來(lái)，從而迅速得解.

例3 已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對(duì)任意的x∈R滿足f′(x)-f(x)<0，則下列結(jié)論正確的是( ).

A.2f(ln2)>3f(ln3) B.2f(ln2)<3f(ln3)

C.3f(ln2)>2f(ln3) D.3f(ln2)<2f(ln3)

故選C.

例4 定義在R上的函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，若f′(x)+f(x)>1,f(0)=2018，則不等式exf(x)>ex+2017(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集是 .

分析構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)-ex-2017，∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex(f(x)+f′(x))-ex>0，∴g(x)是增函數(shù)，而g(0)=e0f(0)-e0-2017=0，∴x>0時(shí)，g(x)>0,即exf(x)>ex+2017，故答案為(0，+∞).

評(píng)析所求不等式中有函數(shù)exf(x)，其導(dǎo)數(shù)為ex(f(x)+f′(x))，從而聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，g(x)=exf(x)-ex-2017，這樣將條件和所求取得聯(lián)系，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，為了充分利用條件，要對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行恒等變形，通過(guò)發(fā)展條件，轉(zhuǎn)化結(jié)論，拉近已知與所求的距離，使他們形成有效對(duì)接，達(dá)到解題目的.本題就是將結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，形成兩個(gè)函數(shù)值比較大小的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造函數(shù)，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)不等式，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性得以解決.

從以上可以看出，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要樹立目標(biāo)意識(shí)，咬定目標(biāo)不放松，善于對(duì)題目進(jìn)行整體分析，并把已知作為基本素材，搭建向目標(biāo)邁進(jìn)的橋梁，在前進(jìn)的路途中，要有大局意識(shí)，綜合考量，偶遇險(xiǎn)灘，也不必驚慌，時(shí)刻把準(zhǔn)方向，以基本技能為槳，以所學(xué)知識(shí)為綱，這樣便能夠順利到達(dá)題目的彼岸!