一類Block型李超代數(shù)的超導子

陳 丹，遠繼霞，唐孝敏

(黑龍江大學數(shù)學科學學院數(shù)學系，黑龍江 哈爾濱 150080)

為了簡化相對論的費米子與玻色子的統(tǒng)一理論，1974年Wess和Zumino提出了超對稱性，將普通時空滿足的Poincaré李代數(shù)擴充為超Poincaré代數(shù).于是將有限個不同內(nèi)部量子數(shù)的玻色子和費米子放在李超代數(shù)的一個不可約表示中，從而拉開了李超代數(shù)研究的序幕.[1-2]眾所周知，李代數(shù)與李超代數(shù)有著密切的關(guān)系，李超代數(shù)的偶部恰為一個李代數(shù).李超代數(shù)是在李代數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一個代數(shù)學分支.[3-4]李超代數(shù)分為特征零李超代數(shù)和特征p李超代數(shù).關(guān)于特征零李超代數(shù)的研究，目前已取得了相當豐富的成果.李超代數(shù)的研究主要分三個方面：結(jié)構(gòu)、分類和表示.關(guān)于李超代數(shù)的研究經(jīng)歷了一系列的發(fā)展，特別是在單李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示方面.

李超代數(shù)在Killing理論、特征零單李超代數(shù)的分類理論[5]、表示理論以及向量場李超代數(shù)理論等方面都有著系統(tǒng)的發(fā)展.李超代數(shù)與李代數(shù)的密切聯(lián)系及其在數(shù)學物理領(lǐng)域的重要作用，使李超代數(shù)及其相關(guān)課題的研究成為數(shù)學中較為活躍的領(lǐng)域之一[6-7].在李超代數(shù)領(lǐng)域里，特征0的代數(shù)閉域中存在著更多的有限維單李超代數(shù)和線性無限維單緊李超代數(shù)[8].由于李超代數(shù)的偶部是一個李代數(shù)，所以李超代數(shù)的研究方法常借鑒于李代數(shù)的研究方法.

近20年來，Block型李代數(shù)引起了越來越多學者的關(guān)注，并在結(jié)構(gòu)理論和表示理論方面取得了一定的成就.Block型李代數(shù)可以通過滿足特定條件的代數(shù)對(A，D)來構(gòu)造，而對Block型李超代數(shù)的研究尚未實現(xiàn)，因此對滿足特定條件的代數(shù)來構(gòu)造Block型李超代數(shù)，進而研究其結(jié)構(gòu)具有重要意義.

1 預備知識

[x，y]=-(-1)|x||y|[y，x]，x，y∈g，

(-1)|z||x|[x，[y，z]]+(-1)|x||y|[y，[z，x]]+(-1)|y||z|[z，[x，y]]=0，x，y，z∈g.

則稱g是C上的李超代數(shù).

例1.1設(shè)SB(q)是復數(shù)域C上的一個代數(shù)，其基為{Lα，i，Gβ，j|α，β，i，j∈Z}，運算定義如下：

[Lα，i，Lβ，j]=(β(i+q)-α(j+q))Lα+β，i+j，

[Lα，i，Gβ，j]=(β(i+q)-α(j+q))Gα+β，i+j，

[Gα，i，Gβ，j]=2Lα+β，i+j.

易證，SB(q)為一個李超代數(shù).

SB(q)α，i=span{Lα，i，Gα，i|i∈Z，α∈H*}.

設(shè)V和W是復數(shù)域上Z-階化向量空間且齊次分支個數(shù)有限，則V和W的Z-階化誘導為

其中

Homa(V，W)={f∈Hom(V，W)|f(Vb)?Wa+b，b∈Z}.

(1) (δx+ηy)v=δ(xv)+η(yv)，δ，η∈C，x，y∈g，v∈V；

(2)x(δv+ηw)v=δ(xv)+η(xw)，δ，η∈C，x∈g，v，w∈V；

(3) 若x∈gλ，v∈Vμ其中λ，μ∈Z2，則xv∈Vλ+μ；

(4) [x，y]v=x(yv)-(-1)|x||y|y(xv)，x，y∈hg(g)，v∈V.

則稱V是一個g-模.

設(shè)V和W均為g-模，并且非零階Z-階化的個數(shù)有限，則V和W的模結(jié)構(gòu)誘導了如下Hom(V，W)的g-模結(jié)構(gòu)：x·f(v)=x·(f(v))-(-1)|x||f|f(x，v)，?x∈g，v∈V.

定義1.3[9]設(shè)g是復數(shù)域上的一個超代數(shù)，V是一個g-模.D∈Hom(g，V)，若滿足

D(xy)=(-1)|D||x|x·D(y)-(-1)|D(x)||y|y·D(x)，

則稱D為一個g到V的超導子.當V=g時，稱D為g的一個超導子.

ad(g)?Der(g)，[D，ad(g)]=ad(Dg)，

則稱ad(g)為g的內(nèi)超導子集合.集合Der(g)/ad(g)中的元素稱為外超導子.

定義1.4[10]商空間

H1(g)=Der(g)/ad(g)

被稱為g的系數(shù)在伴隨模上的一階上同調(diào)群.易證，一階上同調(diào)群是一個超代數(shù)，即

定義1.5[11]設(shè)H是作用在復向量空間V上的線性李超代數(shù)，φ是定義在H上的取復數(shù)值的函數(shù).如果V中存在非零向量ξ，使得Aξ=φ(A)ξ對任意A∈H成立，則函數(shù)φ稱為H的一個權(quán)，ξ稱為H的對應(yīng)于權(quán)φ的權(quán)向量.下文將零權(quán)記為θ.

定義1.6[11]設(shè)α∈H*且D∈Der(g)，若滿足D(gα)?gα，則稱D為零權(quán)導子.

3 超導子代數(shù)及其一階上同調(diào)群

引理3.1[12]設(shè)g是一個有限維Z-階化李超代數(shù)，V是一個g-模，則一個具有非零權(quán)的權(quán)導子φ∈Der(g，V)是內(nèi)導子.特別地，當g=V時結(jié)論同樣成立.

證明設(shè)φ∈DerD(g，V)，D≠θ.則存在t∈T使得D(t)≠0.因此，對任意的x∈g，都有

d(t)φ(x)=(t·φ)(x)=t·(φ(x))-φ([t，x])=x·(φ(t)).

這說明φ(x)=x·(D(t)-1φ(t))，即φ是一個內(nèi)導子.

上述引理表明研究超導子時除內(nèi)導子以外，只需研究零權(quán)導子θ即可.

D(Lβ，j)=aβ，jGβ，i+j，D(Gβ，j)=bβ，jLβ，i+j，

(1)

其中β，j∈Z，aβ，j，bβ，j∈C.

引理3.2采取(1)式中的符號.對任意j∈Z，都有D(L0，j)=0.

證明用D分別作用在如下兩個等式：

引理3.3采取(1)式中的符號.對任意α，γ，j，k∈Z，都有aα，k=aα，j+k，bγ，k=bγ，j+k.

證明用D作用在等式

上，可得

由于a0，j=0，因此

也就是bγ，k=bγ，j+k.

引理3.4采取(1)式中的符號.對任意β，j∈Z，都有

證明用D作用在等式

[Lγ，j，Lfγ，k]=(fγ(j+q)-γ(k+q))L(f+1)γ，j+k

兩端，整理系數(shù)得faγ，j=afγ，j+k=afγ，j，因此aβ，j=βa1，0.

令D1：g→g是一個線性映射，其在g的基底上作用為

D1(Lβ，j)=0，D1(Gβ，j)=Lβ，i+j，β，i，j∈Z.

(2)

D(Lβ，j)=aβ，jLβ，i+j，D(Gβ，j)=bβ，jGβ，i+j，

(3)

其中aβ，j，bβ，j∈C，β，i，j∈Z.

引理3.5采取(3)式中的符號.對任意β≠0，且β，j∈Z，都有aβ，j=bβ，j.

證明用D分別作用在如下兩個等式兩端：

2bβ，jGβ，i+j+2b0，0Gβ，i+j=2aβ，jGβ，i+j.

故有

2bβ，j+2b0，0=2aβ，j.

這表明aβ，j=bβ，j.

引理3.6采取(3)式中的符號.則對β≠0及β，γ，j，k∈Z，都有aβ，j=βa1，0+ja0，1.

證明用D分別作用如下兩個等式兩端：

可得

令d1：g→g是一個線性映射，其在g的基底作用為

d1(Lβ，j)=0，d1(Gβ，j)=Gβ，i+j，β，i，j∈Z.

(4)

D′(Lβ，j)=0，D′(Gβ，j)=0.

由定理3.1和定理3.2可得如下結(jié)論：