基于多元回歸-ARIMA-卡爾曼組合模型的風(fēng)電功率超短期預(yù)測(cè)

文 | 劉震，劉丹，王彥文，孫書貝，劉冰

隨著風(fēng)電并網(wǎng)規(guī)模的快速擴(kuò)大，風(fēng)電的不確定性對(duì)電力系統(tǒng)與電力市場(chǎng)的穩(wěn)定性、充裕性及經(jīng)濟(jì)學(xué)的影響也日益增大，故及時(shí)和準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)風(fēng)電 功率（Wind Power，WP）的 意義重大。風(fēng)電功率預(yù)測(cè)（Wind Power Prediction，WPP）根據(jù)風(fēng)速及相關(guān)因素的歷史數(shù)據(jù)，演化其后續(xù)的過程。具體需要建立數(shù)學(xué)模型來反映WP與相關(guān)因素的關(guān)系，外推WP值。WPP可按時(shí)間尺度分為中長(zhǎng)期、短期和超短期預(yù)測(cè)。用于風(fēng)電場(chǎng)規(guī)劃及年度發(fā)電計(jì)劃的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)以年為時(shí)效；用于檢修計(jì)劃的中期預(yù)測(cè)以周或月為時(shí)效。中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)對(duì)精度的要求不嚴(yán)格，但需要長(zhǎng)時(shí)間的歷史數(shù)據(jù)積累。短期預(yù)測(cè)則要求較高的精度，以減少棄風(fēng)，優(yōu)化常規(guī)電源的日發(fā)電計(jì)劃與冷熱備用，以及調(diào)整檢修計(jì)劃。超短期預(yù)測(cè)則有助于優(yōu)化調(diào)頻及旋轉(zhuǎn)備用容量，以及在線優(yōu)化機(jī)組組合與經(jīng)濟(jì)負(fù)荷調(diào)度。本文主要關(guān)注超短期預(yù)測(cè)。

超短期預(yù)測(cè)方法可以分為物理方法和統(tǒng)計(jì)方法。已有研究表明，對(duì)于超短期風(fēng)電功率預(yù)測(cè)方法應(yīng)采用統(tǒng)計(jì)方法。超短期風(fēng)電功率預(yù)測(cè)中所用到統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法有支持向量機(jī)、卡爾曼濾波法、自回歸滑動(dòng)平均（Auto Regressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型、回歸模型，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）等人工智能算法。

超短期預(yù)測(cè)考核第4h點(diǎn)已是一種趨勢(shì)，以上所提到的單體算法均不能很好擬合超短期第4h點(diǎn)的狀態(tài)?；诖?，本文提出組合算法進(jìn)行超短期預(yù)測(cè)的研究。目前對(duì)組合算法的研究甚少，一般的研究思路是先對(duì)原始序列信號(hào)進(jìn)行分解，再利用一些方法對(duì)子序列進(jìn)行分類，最后對(duì)不同的子序列分別預(yù)測(cè)，再將預(yù)測(cè)值合并。所以說，此類組合方法體現(xiàn)在預(yù)測(cè)的不同階段選取不同的算法進(jìn)行處理，但原始序列相對(duì)單一，從而所攜帶的信息量也相對(duì)較少。本文是從影響目標(biāo)各因素的角度出發(fā)，考慮了天氣預(yù)報(bào)的影響，考慮了序列趨勢(shì)和規(guī)律性的影響，考慮了系統(tǒng)預(yù)測(cè)誤差的影響；選取了多元回歸算法、自回歸滑動(dòng)平均（ARIMA）模型和卡爾曼濾波算法。本文將對(duì)這3種算法分別做獨(dú)立的預(yù)測(cè)工作，得到3組預(yù)測(cè)結(jié)果，并給出3組預(yù)測(cè)結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)；最終將3種算法所得預(yù)測(cè)結(jié)果通過最小方差法做加權(quán)組合，得到一組新的預(yù)測(cè)結(jié)果，并給出相應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

單體算法原理

一、多元回歸算法原理

回歸分析是預(yù)測(cè)最常用的方法之一。在實(shí)際工作中，某種現(xiàn)象或結(jié)果的產(chǎn)生通常與某些因素有關(guān)，我們通過數(shù)據(jù)分析可以看出其中存在的某種趨勢(shì)和規(guī)律。

假設(shè)存在一個(gè)因變量y，n個(gè)自變量 （x1，x2， ，xn），則可建立它們之間的回歸方程：

其中β0，β1，β2， ，βn為待定系數(shù)B，稱為回歸系數(shù)。若實(shí)驗(yàn)測(cè)得m組相互獨(dú)立的數(shù)據(jù)，假設(shè)每次觀測(cè)時(shí)的隨機(jī)誤差ε為白噪聲，即ε～N（0，σ2）。為了求解系數(shù)B，則可利用最小二乘法來計(jì)算回歸系數(shù)，使得殘差平方和達(dá)到最小，求得待定系數(shù)為：

二、ARIMA方法原理

時(shí)間序列分析的主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測(cè)，時(shí)間序列中的時(shí)間可以是年份、季度、月份或其他任何時(shí)間形式；其次，其預(yù)測(cè)時(shí)效一般不會(huì)太長(zhǎng)，且隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增加，預(yù)測(cè)精度逐漸下降。時(shí)間序列模型主要包括穩(wěn)定模型和非穩(wěn)定模型。常用的穩(wěn)定模型有自回歸（Auto Regressive，AR）模型、滑動(dòng)平均（Moving Average，MA）模型、自回歸滑動(dòng)平均（ARIMA）模型幾種。非穩(wěn)定模型可以經(jīng)過差分或相應(yīng)變換處理，將其轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)序列，然后再使用上述常用的時(shí)間序列模型；一般對(duì)于非平穩(wěn)序列比較常用的有差分自回歸滑動(dòng)平均（ARIMA）模型等。其中，ARIMA（p，d，q）模型的表達(dá)式為：

式中，｛Xt｝（t＝1，2，3， ）為時(shí)間序列；｛εt｝是均值為0、方差為σ2的白噪聲過程；?i（i＝1，2， ，p）和θi（i＝1，2， ，q）為模型的系數(shù)；B為滯后算子；k＝1－B；?（B）＝1－?1B－?2B2－ －?pBp；θ（B）＝ 1 －θ1B－θ2B2－ －θqBq。

在模型建立時(shí)，首先，根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)ρk和偏相關(guān)系數(shù)?kk進(jìn)行模型定階；同時(shí)，選取最小信息準(zhǔn) 則（Akaike Information Criterion，AIC）和BIC進(jìn)行模型定階，確定出p，q。通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)得出模型系數(shù)估計(jì)值，得出模型表達(dá)式。

三、卡爾曼方法原理

卡爾曼于1960年提出卡爾曼濾波算法，后來，此算法在許多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。卡爾曼濾波的本質(zhì)是通過觀測(cè)值重新構(gòu)建了系統(tǒng)狀態(tài)變量；通過以預(yù)測(cè)－觀測(cè)－修正的流程依次迭代實(shí)現(xiàn)。所以，卡爾曼算法是一種動(dòng)態(tài)修正的算法。

在卡爾曼濾波算法中，分為狀態(tài)方程和測(cè)量方程，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中，x（k）為在k時(shí)刻的狀態(tài)向量；z（k）為k時(shí)刻的觀測(cè)向量；Φ（k＋1，k）和H（k＋1）分別為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和輸出轉(zhuǎn)移矩陣；Γ（k＋1，k）為激勵(lì)轉(zhuǎn)移矩陣；ω（k）和v（k）分別為系統(tǒng)噪聲以及測(cè)量噪聲，假定為相互獨(dú)立且服從高斯分布的白噪聲；對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為W（k）和V（k）。

假設(shè)給定初始狀態(tài)向量x（0）＝［0］，則是由下面的遞推公式?jīng)Q定的，即：

式中，K（k＋1）為卡爾曼增益（Kalman Gain），其計(jì)算公式如下：

為了使濾波器不斷更新下去，還要更新k＋1時(shí)刻下狀態(tài)x（k＋1）的協(xié)方差：

組合算法原理

組合預(yù)測(cè)方法的基本思想是將不同的預(yù)測(cè)方法結(jié)合起來，組合預(yù)測(cè)方法能夠利用每個(gè)單體預(yù)測(cè)方法的信息；組合預(yù)測(cè)方法一般能增加系統(tǒng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

本文選取了三種單體算法，分別為多元回歸算法、時(shí)間序列算法以及卡爾曼濾波算法，考慮因變量和自變量之間影響因素，選擇了多元回歸算法；從預(yù)測(cè)的時(shí)效性考慮選用了時(shí)間序列算法（ARIMA）；從動(dòng)態(tài)修正的思想和系統(tǒng)誤差的角度考慮使用了卡爾曼濾波算法。

目前常用的組合預(yù)測(cè)方法包括最小方差法、無約束（約束）最小二乘方法、Bayes方法等。在實(shí)際應(yīng)用和理論研究中使用最多的是最小方差法，一般采用絕對(duì)誤差作為準(zhǔn)則來計(jì)算組合預(yù)測(cè)方法的權(quán)重系數(shù)。

假設(shè)第i個(gè)單體模型的誤差為ei，方差為Var（ei）；組合預(yù)測(cè)模型的誤差為e，方差為Var（e），則：

組合預(yù)測(cè)的方差可以寫成：

要使得Var（e）達(dá)到最小，可以轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題來求解：

對(duì)這類約束優(yōu)化問題一般采用拉格朗日乘數(shù)法來求解，最終得出：

可以證明Var（e）min≤min（Var（ei）），所以說，一般組合預(yù)測(cè)方法的效果會(huì)優(yōu)于每種單體算法的效果。

實(shí)例分析

本文以中國(guó)云南省某8個(gè)風(fēng)電場(chǎng)2016年的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)為例，數(shù)據(jù)主要包括實(shí)際功率和短期預(yù)測(cè)功率；實(shí)際功率數(shù)據(jù)是指現(xiàn)場(chǎng)實(shí)時(shí)的出力；短期預(yù)測(cè)功率數(shù)據(jù)由功率預(yù)測(cè)廠家提供；每種數(shù)據(jù)的分辨率均為15min，一天有96條記錄。

一、評(píng)價(jià)指標(biāo)的選取

根據(jù)國(guó)家能源局2011年對(duì)現(xiàn)行風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)電功率預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的管理規(guī)定：風(fēng)電實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)（超短期預(yù)測(cè)）考核指標(biāo)一般僅采用準(zhǔn)確率指標(biāo)，實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)一般只是指未來15min～4h的預(yù)測(cè)。

（1）均方根誤差RMSE：

（2）準(zhǔn)確率r1：

式中，r1為預(yù)測(cè)計(jì)劃曲線準(zhǔn)確率；PMk為k時(shí)段的實(shí)際平均功率；PPk為k時(shí)段的預(yù)測(cè)平均功率；N為日考核總時(shí)段數(shù)（取96點(diǎn)－免考核點(diǎn)數(shù)）；Cap為風(fēng)電場(chǎng)開機(jī)容量。

月（年）平均風(fēng)電預(yù)測(cè)計(jì)劃曲線準(zhǔn)確率（%）為日平均預(yù)測(cè)計(jì)劃曲線準(zhǔn)確率的算術(shù)平均值。

二、結(jié)果分析

（一）各單體算法訓(xùn)練樣本量的選取

本文將采用的3種單體算法分別進(jìn)行研究，首先對(duì)其最優(yōu)訓(xùn)練樣本量進(jìn)行選擇和測(cè)試。測(cè)試訓(xùn)練樣本量的選取從4h訓(xùn)練數(shù)據(jù)至40h訓(xùn)練數(shù)據(jù)，時(shí)間跨度為4h。分別對(duì)未來15min、1h、2h、3h以及4h時(shí)刻（分別對(duì)應(yīng)第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)以及第五個(gè)點(diǎn)）的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。以卡爾曼算法為例，圖1為卡爾曼算法五個(gè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)均方根誤差與訓(xùn)練樣本量之間的關(guān)系。

由圖1可以看出，第一個(gè)點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)的均方根誤差隨著訓(xùn)練樣本量的增加，基本上是逐漸增大的；而到第三個(gè)點(diǎn)時(shí)，此規(guī)律就沒有這么明顯；第四和第五個(gè)點(diǎn)的均方根誤差隨著訓(xùn)練樣本量的增加，幾乎沒有明顯變化，呈現(xiàn)出相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。因?yàn)榭柭惴ǖ脑砭褪切拚到y(tǒng)誤差，所以對(duì)鄰近時(shí)刻的數(shù)據(jù)比較敏感。綜合穩(wěn)定性和各單體算法的原理，將3種單體算法的訓(xùn)練樣本量設(shè)定為32（8h）個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

（二）各單體算法的實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

本文選取的自變量為短期預(yù)測(cè)功率和時(shí)間向前推4h歷史實(shí)際功率，因變量為當(dāng)前歷史實(shí)際功率。同時(shí)，對(duì)回歸模型殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的這一假設(shè)進(jìn)行了驗(yàn)證。圖2是多元回歸殘差的分布圖，從圖中可以看出殘差基本是以0為中心，向左右兩邊均勻分布的。

圖1 卡爾曼算法預(yù)測(cè)結(jié)果（不同預(yù)測(cè)點(diǎn)）的誤差和訓(xùn)練樣本量之間的關(guān)系

圖2 多元回歸模型所得殘差頻數(shù)分布直方圖

圖3 多元回歸模型所得預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際功率曲線圖

圖3展示了回歸模型的預(yù)測(cè)效果，可以看出，回歸模型的預(yù)測(cè)在整體上是把握了整體趨勢(shì)的變化；但在局部點(diǎn)上還是存在較大的差異。風(fēng)電功率預(yù)測(cè)誤差主要分為兩種，第一種是縱向誤差，第二種為橫向誤差；其中縱向誤差主要描述了某一時(shí)段的預(yù)測(cè)結(jié)果在豎直方向與實(shí)際結(jié)果的差別，可以用偏大或偏小來衡量；而橫向誤差則主要描述預(yù)測(cè)結(jié)果在水平時(shí)間軸上與實(shí)際結(jié)果的差別?？梢娀貧w模型的優(yōu)點(diǎn)就是降低了橫向誤差，但對(duì)縱向誤差并沒有明顯的效果。

圖4為訓(xùn)練數(shù)據(jù)經(jīng)過平穩(wěn)化后的ACF和PACF圖，從圖中可以看出，ACF和PACF都是1階截尾的，所以可以初步確定模型為ARMA（1，1）。

最后，對(duì)未來4h的實(shí)際出力進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖5是ARIMA算法所得的超短期預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際出力的對(duì)比圖，可以看出，該模型能夠降低預(yù)測(cè)功率和實(shí)際功率的縱向誤差，較好地?cái)M合未來4h實(shí)際功率的縱向波動(dòng)。

卡爾曼算法主要從動(dòng)態(tài)修正的思想和系統(tǒng)誤差這一方向來解決問題?？柭惴ǖ妮斎霐?shù)據(jù)為歷史實(shí)際功率和短期預(yù)測(cè)功率，通過實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)修正短期預(yù)測(cè)功率。圖6展示了卡爾曼算法的修正效果，從圖中可以看出，經(jīng)過卡爾曼算法對(duì)誤差的動(dòng)態(tài)修正，使得超短期的預(yù)測(cè)更能“貼近”實(shí)際功率。因此，與多元回歸模型不同的是卡爾曼算法對(duì)降低縱向誤差有著顯著的效果。

（三）組合算法的實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

通過對(duì)每個(gè)單體算法的分析與驗(yàn)證，給出了本文選取此3種算法的依據(jù)。將這3種算法通過最小方差組合算法進(jìn)行組合。

圖4 平穩(wěn)數(shù)據(jù)的ACF和PACF圖

圖5 ARIMA超短期功率預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際功率曲線圖

圖6 卡爾曼模型所得預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際功率以及短期預(yù)測(cè)功率曲線圖

圖7 各單體算法和組合算法預(yù)測(cè)誤差對(duì)比圖

圖7是3種單體算法和組合算法預(yù)測(cè)誤差的對(duì)比圖。其中ARIMA算法和卡爾曼算法所得誤差的變化較劇烈；組合算法在每個(gè)點(diǎn)上的誤差幾乎都能達(dá)到最小。通過計(jì)算得組合預(yù)測(cè)誤差的方差為4.2519，ARIMA算法誤差的方差12.7935，多元回歸算法誤差的方差為6.2052，卡爾曼算法誤差的方差為11.8062。所以，可以驗(yàn)證Var（e）min≤min（Var（ei））。

圖8是各單體算法和組合算法的超短期預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖?？梢娮钚》讲罱M合算法所得預(yù)測(cè)結(jié)果均優(yōu)于3種單體算法預(yù)測(cè)結(jié)果。

本文采用云南省份8個(gè)風(fēng)電場(chǎng)近半年的數(shù)據(jù)對(duì)每種算法進(jìn)行訓(xùn)練，每種方法選取不同的預(yù)測(cè)長(zhǎng)度進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)長(zhǎng)度分為 15min、1h、2h、3h、4h。表1展示了不同預(yù)測(cè)長(zhǎng)度下每種算法的預(yù)測(cè)誤差和準(zhǔn)確率。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)小于2h時(shí)，單體算法ARIMA算法表現(xiàn)最優(yōu)；當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)在2～4h時(shí)，組合算法表現(xiàn)最優(yōu)。

圖8 各單體算法和組合算法的超短期功率預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

表1 不同預(yù)測(cè)步長(zhǎng)不同算法的預(yù)測(cè)誤水平

結(jié)論

風(fēng)電場(chǎng)的輸出功率在一定程度上呈現(xiàn)隨機(jī)性和波動(dòng)性的特點(diǎn)，并且隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)的變大，這種隨機(jī)性和波動(dòng)性的特點(diǎn)表現(xiàn)尤為突出。單體算法會(huì)導(dǎo)致某些預(yù)測(cè)點(diǎn)存在較大的誤差，組合算法會(huì)在某種程度上降低誤差。單體預(yù)測(cè)算法是組合算法的基礎(chǔ)，其預(yù)測(cè)結(jié)果的好壞直接影響組合預(yù)測(cè)的效果，本文將不同的輸入信息分別輸入到3種單體算法中，并利用了單體算法自身的預(yù)測(cè)優(yōu)勢(shì)，有效避免了采用相似的單體預(yù)測(cè)算法進(jìn)行組合帶來的模型冗余。在預(yù)測(cè)時(shí)段較長(zhǎng)時(shí)，本文提出組合算法彌補(bǔ)了單體算法建模預(yù)測(cè)的不足。在進(jìn)行超短期預(yù)測(cè)時(shí)，多元回歸算法能較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出實(shí)際功率未來4h的變化趨勢(shì)，但在縱向上多元回歸所產(chǎn)生的預(yù)測(cè)功率和實(shí)際功率還存在較大的誤差；ARIMA算法能夠較好地?cái)M合未來4h實(shí)際功率的縱向波動(dòng)，從而在多元回歸算法的基礎(chǔ)上，降低預(yù)測(cè)功率和實(shí)際功率的縱向誤差，卡爾曼算法能較好地對(duì)未來4h的實(shí)際功率預(yù)測(cè)值進(jìn)行動(dòng)態(tài)修正。針對(duì)西北和部分南方區(qū)域，超短期考核第4h點(diǎn)，組合算法表現(xiàn)較優(yōu)。