一類帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的奇異Kirchhoff型方程正解的存在性

陳 明,張 鵬,廖家鋒

(1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,貴州遵義 563006)

(2.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川南充 637002)

1 引言

考慮如下帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的Kirchhoff型方程

其中??R3是一個(gè)有界開區(qū)域且具有光滑邊界??,0∈?,a,b≥0且a+b＞0,λ＞0,0＜γ＜1,0≤s＜1,6?2s是Hardy-Sobolev臨界指數(shù).

2013年,劉星和孫義靜老師研究了如下問題其中3＜p＜5?2s,0＜γ＜1,a,b,λ＞0,f,g∈C()是非平凡非負(fù)函數(shù).當(dāng)λ＞0充分小時(shí),結(jié)合變分方法和Nehari方法獲得問題(1.2)的兩個(gè)正解,詳見文獻(xiàn)[1].2015年,雷春雨等在文獻(xiàn)[2,3]中分別當(dāng)s=0,p=5和s=0,p=3時(shí)研究了問題(1.2),并獲得了兩個(gè)正解的存在性.當(dāng)s=0,0＜p＜3時(shí),我們研究了問題(1.2),并獲得了一個(gè)正的基態(tài)解,詳見文獻(xiàn)[4].隨后,劉芮琪等在文獻(xiàn)[5]將文獻(xiàn)[4]的結(jié)果推廣至高維空間.與此同時(shí)劉芮琪等將文獻(xiàn)[2]研究的問題推廣至四維空間,并獲得了正解存在性和多解性的結(jié)果,具體可參見文獻(xiàn)[6].

在前期的研究基礎(chǔ)上,本文將研究問題(1.1)正解的存在性.定義問題(1.1)對(duì)應(yīng)的能量泛函I為

其中

記As為Hardy-Sobolev常數(shù)

2 主要結(jié)論以及證明

首先,給出如下一個(gè)重要的引理.

引理2.1假設(shè)a,b≥0且a+b＞0,0＜γ＜1,0≤s＜1,則存在λ?＞0使得對(duì)任意的0＜λ＜λ?,泛函I在空間上都能達(dá)到一個(gè)負(fù)的局部極小值.

證 由H?older不等式和(1.4)式,可推得如下不等式成立

從而根據(jù)(2.1)式和(2.2)式,可得

當(dāng)a＞0時(shí),令

使得

因此,取R1=tmax以及依據(jù)(2.3)式,則存在ρ＞0使得對(duì)任意的0＜λ＜λ′都有

則

容易得到

使得

因此,取R2=以及依據(jù)(2.3)式,則存在ρ＞0使得對(duì)任意的 0＜ λ ＜ λ′′都有

因此,對(duì)任意的a,b≥0且a+b＞0,綜合(2.4)式和(2.5)式,則存在λ?＞0和R,ρ＞0使得對(duì)任意的λ∈(0,λ?)使得

進(jìn)一步,由(2.7)式可推得

由(2.7)式,同時(shí)也可推得

再根據(jù)文獻(xiàn)[8],可得

若uλ=0,可得wn=un,這就意味著wn∈BR.若uλ≠0,由(2.9)式,可得當(dāng)n充分大時(shí)有wn∈BR.從而,由(2.6)式,可推得

故由 (2.8)–(2.12)式,有

這就意味著I(uλ)=m＜0且uλ/≡0,即uλ能量泛函I的一個(gè)非零非負(fù)局部極小值點(diǎn).引理2.1證畢.

下面給出本文的主要結(jié)果及其證明.

定理2.1 假設(shè)a,b≥0且a+b＞0,0＜γ＜1,0≤s＜1,則對(duì)一切的0＜λ＜λ?(λ?為引理2.1中所定義)問題(1.1)都存在一個(gè)正局部極小解.

證 根據(jù)引理2.1,可知在?上uλ≥ 0且uλ/≡ 0.只需證明uλ是問題(1.1)的解.令由于則存在ξ＞0當(dāng)|t|＜ξ時(shí)使得因?yàn)閡?是泛函I在的局部極小值點(diǎn),從而可推得

根據(jù)Lebesgue控制收斂定理,可得

對(duì)任意的x∈?,令

由s→s1?γ是一個(gè)凸函數(shù),則對(duì)任意的x∈?,函數(shù)η是非增的.故當(dāng)t→0+時(shí)η是逐點(diǎn)收斂到(x)φ(x).從而根據(jù)Beppo-Levi定理,可得

這就意味著uλ＞0在?幾乎處處成立.

類似于文獻(xiàn)[4]中定理1的證明,同樣可從(2.16)式可以推得有