多場耦合粘彈性軸向運(yùn)動(dòng)板減振分析

張超越,滕英元,方 勃

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院,沈陽 110136)

在絕大多數(shù)工程振動(dòng)系統(tǒng)中，振動(dòng)都被認(rèn)為是有害的。機(jī)械振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致軸承磨損過大，緊固件松動(dòng)，結(jié)構(gòu)性或機(jī)構(gòu)性失效和降低效率等。很多方法可以用來減小傳遞到被激振結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，理想的方法是設(shè)計(jì)低噪聲機(jī)械設(shè)備，或者通過加入外部設(shè)備，比如動(dòng)力吸振器來減少振動(dòng)響應(yīng)。其中在振源和接受結(jié)構(gòu)之間引入隔振元件的方法是目前最為關(guān)注的振動(dòng)控制方法，即通過改變傳遞途徑的方式達(dá)到隔離振動(dòng)的目的。被動(dòng)隔振器是一個(gè)承載并且消耗能量的元件，它結(jié)構(gòu)簡單，不需要外部能量，并具一定經(jīng)濟(jì)性優(yōu)勢，因此在很多情況下成為解決工程振動(dòng)傳遞問題的首選方案[1]。目前廣泛采用的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)包括軸向運(yùn)動(dòng)弦線、梁、薄膜以及板等模型。從力學(xué)角度而言，梁模型和板模型為基本模型，它們不但具有陀螺連續(xù)體的共性還具有陀螺連續(xù)體的特性。從數(shù)學(xué)模型角度而言，軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)屬于無窮維陀螺連續(xù)系統(tǒng)，陀螺項(xiàng)的存在對(duì)動(dòng)力學(xué)分析提出重要的理論要求。軸向運(yùn)動(dòng)梁和面內(nèi)運(yùn)動(dòng)板的控方程及其非齊次邊界條件都屬于時(shí)變系統(tǒng)，這給問題的求解帶來諸多技術(shù)困難。因此，研究軸向運(yùn)動(dòng)板的橫向振動(dòng)問題具有深遠(yuǎn)的科學(xué)研究價(jià)值。對(duì)于軸向移動(dòng)板塊，Ling[2]總結(jié)了不同邊界條件下軸向運(yùn)動(dòng)板的穩(wěn)定性分析方法。Tang和Cheng[3，6]用多重尺度的方法研究軸向移動(dòng)板的自由振動(dòng)，計(jì)算了板的非線性固有頻率，并研究了軸向加速粘彈性板的穩(wěn)定性。對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性材料，Yang[4]采用有限差分法研究了軸向運(yùn)動(dòng)板的穩(wěn)定性和非線性振動(dòng)。Zhou和Wang[5]用微分方法(DQM)研究了粘彈性板的穩(wěn)定性,分析了厚板厚度對(duì)板的散度速度的影響。張也弛[7-9]研究了非線性能量阱的靶能量傳遞與參數(shù)設(shè)計(jì)及非線性耦合振子間產(chǎn)生靶能量傳遞的初始條件。陳予恕院士[10]應(yīng)用非線性能量阱對(duì)機(jī)翼極限環(huán)的抑制研究擴(kuò)展到含有復(fù)雜結(jié)構(gòu)非線性機(jī)翼的非定常流中。同年，楊天智和張業(yè)偉等人[11-12]利用非線性消振裝置對(duì)輸液管道的振動(dòng)和受風(fēng)載作用的軸向運(yùn)動(dòng)弦線振動(dòng)進(jìn)行了抑制研究，該裝置易于工程實(shí)現(xiàn)，可靠性高。熊懷[13]等人研究了耦合非線性能量阱的非保守系統(tǒng)的定向能量傳遞現(xiàn)象，獲得了系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)定向能量傳遞時(shí)阻尼必須滿足的條件，并給出非線性能量阱具有吸振能力時(shí)線性振子阻尼的有效范圍。張業(yè)偉[14]等人將NES用于抑制熱沖擊下的軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)，有很好的抑制效果。本文研究的創(chuàng)新點(diǎn)是板是軸向粘彈性板，在氣動(dòng)熱環(huán)境下的動(dòng)力特性與振動(dòng)抑制，所加的NES對(duì)板的橫向振動(dòng)有一定的減振效果。

1 基于NES的多場耦合粘彈性軸向運(yùn)動(dòng)板動(dòng)力學(xué)模型

考慮一個(gè)軸向移動(dòng)平板與移動(dòng)速度V0在x方向上如圖1所示,長、寬、厚分別為a,b和h的板。周圍的氣流是不可壓縮的、無粘且無旋，質(zhì)量密度為ρ，流速為Uf。板的應(yīng)變-位移關(guān)系可以表示為

圖1 具有NES軸向板示意圖

(1)

ω=ω(x,y,t)是板的橫向位移，εx,εy,γxy是線應(yīng)變和切應(yīng)變。板的本構(gòu)方程可表示為

(2)

σx，σy和τxy是應(yīng)力分量，E是彈性模量，μ是泊松比，η是粘彈性系數(shù)。板的應(yīng)變能可表示為

(3)

板的總動(dòng)能，包括與橫向振動(dòng)和縱向運(yùn)動(dòng)有關(guān)的動(dòng)能，可表示為

(4)

T是總動(dòng)能，板的質(zhì)量密度是ρ。

外力做功可表示為

(5)

Δp是軸向運(yùn)動(dòng)板與周圍氣流之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的氣動(dòng)力，F(xiàn)(x0,y0)是作用于板上(x0,y0)的外力，熱荷載FT表示為[15]

(6)

α是熱膨脹系數(shù)，ΔT是溫度的變化。

板的簡支邊界條件可表示為

(7)

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法(AMM)，板的橫向位移可寫為

W(x,y)Tq(t)

(8)

其中M和N是x,y方向的模量而上標(biāo)表示矩陣的轉(zhuǎn)置。軸向運(yùn)動(dòng)板的周圍氣流是用線性勢流理論模擬的理想流動(dòng)。根據(jù)參考文獻(xiàn)[16]中應(yīng)用的方法，我們可以得到以下微擾氣動(dòng)力的表達(dá)式

Δp=ρ

(9)

(10)

這里Λ是一個(gè)對(duì)角矩陣。把公式(8)～(10)代入公式(3)～(5)，勢能，動(dòng)能和外力做功表示為

(11)

Mf=ρ

(12)

A={(x,y)|0

在式(12)中，下標(biāo)f的矩陣與流動(dòng)氣流有關(guān)，下標(biāo)V的矩陣與運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，下標(biāo)T的矩陣與溫度變化有關(guān)。

由哈密頓原理

(13)

δ表示變分符號(hào),t1和t2是積分時(shí)間限制。將勢能、動(dòng)能和外界功代入式(12)，可得到軸向運(yùn)動(dòng)板的運(yùn)動(dòng)方程如下

(14)

(15)

這里M,C,K分別是質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣，下標(biāo)f的矩陣表示氣動(dòng)力項(xiàng)，下標(biāo)T的矩陣表示熱效應(yīng)項(xiàng)。R(q)是由幾何非線性引起的立方非線性項(xiàng)。公式(14)是在氣動(dòng)熱環(huán)境下軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性板的動(dòng)力學(xué)模型。它反應(yīng)了軸向運(yùn)動(dòng)板與軸向運(yùn)動(dòng)速度、氣動(dòng)力、熱荷載的關(guān)系。

忽略公式(14)中的立方非線性項(xiàng)和外激勵(lì)力項(xiàng)，可以得到線性系統(tǒng)

(16)

(17)

仍以四邊簡支板為研究對(duì)象，其邊界條件和模態(tài)函數(shù)如上述所示。則可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組

(18)

2 多場耦合粘彈性軸向運(yùn)動(dòng)板仿真分析及減振分析

本文板的結(jié)構(gòu)與材料特性：ρ=7 600 kg/m3，E=70 GPa，μ=0.3，a=1 m,b=0.8 m，h=0.003 m。板的熱膨脹系數(shù)α=4×10-6(1/℃)，周圍氣流的質(zhì)量密度是1.29 kg/m3。NES的質(zhì)量m=1 kg，c=0.1，k=100 N/m。

2.1 空氣速度對(duì)板振動(dòng)的影響

在區(qū)間Uf∈[25,125]m/s范圍內(nèi)，其它參數(shù)分別為m=1 kg，k=100 N/m，c=0.1，T=2.5℃，研究空氣流速對(duì)板振動(dòng)的影響。圖2為不同空氣速度對(duì)板振動(dòng)的影響。由圖2可以看出，在所研究的區(qū)間內(nèi)，板的橫向振動(dòng)隨空氣流速的增大而增大。

2.2 外界溫度對(duì)板振動(dòng)的影響

在區(qū)間T∈[2.5,10]℃，其它參數(shù)分別為Uf=25 m/s，m=1 kg，k=100 N/m，c=0.1，研究外界溫度對(duì)板振動(dòng)的影響。圖3為不同外界溫度對(duì)振動(dòng)的影響。由圖3可以看出，板的橫向振動(dòng)隨溫度變化的增大而增大。

圖2 不同空氣速度對(duì)板振動(dòng)的影響

2.3 NES質(zhì)量對(duì)板振動(dòng)的影響

在區(qū)間m∈[0.5,1.5]kg范圍內(nèi)，其它參數(shù)分別為T=2.5 ℃，Uf=25 m/s，k=100 N/m，c=0.1，研究NES質(zhì)量對(duì)板振動(dòng)的影響。圖4為系統(tǒng)的位移時(shí)間響應(yīng)隨NES質(zhì)量的影響。由圖4可以看出，在所研究的區(qū)間內(nèi)，板的橫向振動(dòng)隨NES質(zhì)量的增大而減小。

圖3 不同外界溫度對(duì)板振動(dòng)的影響

2.4 NES剛度系數(shù)對(duì)板振動(dòng)的影響

在區(qū)間k∈[100,900]N/m范圍內(nèi)，其它參數(shù)分別為T=2.5 ℃，Uf=25 m/s，m=1 kg，c=0.1，研究NES剛度系數(shù)對(duì)板振動(dòng)的影響。圖5為系統(tǒng)的位移時(shí)間響應(yīng)隨NES剛度系數(shù)變化的影響。由圖可以看出，在所研究的區(qū)間內(nèi)，板的橫向振動(dòng)隨NES剛度的增大而增大。

圖5 不同NES剛度系數(shù)對(duì)板振動(dòng)的影響

2.5 NES阻尼系數(shù)對(duì)板振動(dòng)的影響

在區(qū)間c∈[0.1,1]范圍內(nèi)，其它參數(shù)分別為T=2.5 ℃，Uf=25 m/s，m=1 kg，k=100 N/m，研究NES阻尼系數(shù)對(duì)板振動(dòng)的影響。圖6為系統(tǒng)的位移時(shí)間響應(yīng)隨NES阻尼系數(shù)變化的影響?？梢钥闯?，在所研究的區(qū)間內(nèi)，板的橫向振動(dòng)隨NES阻尼系數(shù)的增大而減小。

圖6 不同NES阻尼系數(shù)對(duì)板振動(dòng)的影響

3 結(jié)論

本文基于von Karman非線性板理論和線性勢流理論,根據(jù)哈密頓原理建立了氣動(dòng)熱環(huán)境下具有NES的粘彈性板動(dòng)力學(xué)模型。通過數(shù)值仿真，得到位移時(shí)間響應(yīng)曲線，并研究了外界溫度,空氣速度,NES質(zhì)量、剛度、阻尼對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)板振動(dòng)的影響。研究結(jié)果表明，在給定參數(shù)范圍內(nèi)，NES對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)板的振動(dòng)可以達(dá)到很好的振動(dòng)抑制效果。雖然本文的研究偏重理論基礎(chǔ)，但由于NES具有簡單容易應(yīng)用的特性，所以本文的研究對(duì)于航天工程中結(jié)構(gòu)上敏感部件的振動(dòng)抑制具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。