基于貝葉斯和蒙特卡羅的多信號(hào)模型擴(kuò)展研究

劉欽文

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第十研究所，成都 610036)

0 引言

測(cè)試性是系統(tǒng)或設(shè)備能及時(shí)準(zhǔn)確地確定其狀態(tài) (可工作、不可工作或性能下降)并隔離其內(nèi)部故障的一種設(shè)計(jì)特性［1］，在提高執(zhí)行任務(wù)的可靠性與安全性，提高系統(tǒng)可用性，減少系統(tǒng)使用保障費(fèi)用等方面具有顯著效果，現(xiàn)已大量應(yīng)用于現(xiàn)代航空航天和武器系統(tǒng)中［2］。

在目前的工程型號(hào)項(xiàng)目中，對(duì)測(cè)試性分析通常采用多信號(hào)模型分析法。多信號(hào)模型 (multi－signal model)是由Somnath Deb等于1994年提出，屬于相關(guān)模型的一種，通過建模分析得到相關(guān)矩陣，并可以據(jù)此對(duì)故障檢測(cè)率、隔離率等測(cè)試性參數(shù)進(jìn)行預(yù)計(jì)分析和進(jìn)行故障診斷。美國(guó)QSI公司基于多信號(hào)模型開發(fā)出測(cè)試性工程和維修系統(tǒng)軟件(TEAMS)在航天衛(wèi)星、航空飛機(jī)和汽車等系統(tǒng)的診斷設(shè)計(jì)、健康管理中得到廣泛應(yīng)用［3］。

但是傳統(tǒng)多信號(hào)模型基于確定性測(cè)試假設(shè)條件，忽略了十幾種存在的不確定性真實(shí)情況，在測(cè)試性模型中，相關(guān)矩陣只有0、1兩種狀態(tài)，故而只能表示故障可檢測(cè)或故障不可檢測(cè)兩種絕對(duì)情況，無法處理故障傳遞和故障檢測(cè)不確定性問題，如果忽略這種不確定性，可能產(chǎn)生不合乎實(shí)際情況的測(cè)試性分析結(jié)果［4］。鑒于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在處理不確定性問題的優(yōu)勢(shì)，且廣泛應(yīng)用于故障診斷推理等領(lǐng)域［5-6］，本文也通過引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)條件概率的方法，對(duì)傳統(tǒng)多信號(hào)模型進(jìn)行擴(kuò)展，以處理測(cè)試不確定性問題。

由于引入條件概率后，故障傳遞和故障檢測(cè)存在不能傳遞以及不能檢測(cè)的情況，這會(huì)引起相關(guān)矩陣的變化，由此計(jì)算測(cè)試性參數(shù)尤其故障隔離率會(huì)有較大困難［4］，對(duì)此筆者提出采用蒙特卡羅法進(jìn)行仿真模擬，將不確定性問題轉(zhuǎn)化為單次試驗(yàn)確定性問題，再使用相關(guān)矩陣分析法進(jìn)行測(cè)試性分析。此外利用貝葉斯具有的參數(shù)學(xué)習(xí)能力，通過樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)學(xué)習(xí)，以消除引入的條件概率可能帶來的主觀誤差。

1 多信號(hào)模型

多信號(hào)模型是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能分析基礎(chǔ)上，以分層有向圖表示信號(hào)流導(dǎo)向和各組成單元 (故障模式)的構(gòu)成及相互連接關(guān)系，并通過定義信號(hào) (功能)以及組成單元(故障模式)、測(cè)試與信號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性來表征系統(tǒng)組成、功能、故障及測(cè)試之間相關(guān)性的一種模型表示方法。

主要包括以下元素:

組元c(component):構(gòu)成系統(tǒng)具有獨(dú)立和相對(duì)完整功能的可替換的功能模塊。

信號(hào)s(signal):系統(tǒng)傳輸特性中能夠清晰描述系統(tǒng)功能的特征屬性。不同信號(hào)之間具有獨(dú)立性，信號(hào)與組元關(guān)聯(lián)。

測(cè)試t(test):在系統(tǒng)某個(gè)點(diǎn)檢測(cè)某些信號(hào)的好壞。

測(cè)試點(diǎn)tp(test point):包含測(cè)試的測(cè)試點(diǎn)。

有向連線l(link):由某個(gè)組元指向另一個(gè)組元的有向線段，代表著模塊之間的功能依賴關(guān)系。

故障與測(cè)試之間的相關(guān)性是通過定義模塊關(guān)聯(lián)信號(hào)和測(cè)試關(guān)聯(lián)信號(hào)的聯(lián)系來體現(xiàn)的，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)造故障－測(cè)試相關(guān)矩陣 (即D矩陣)進(jìn)行測(cè)試性分析。近幾年，基于多信號(hào)模型在工程領(lǐng)域的測(cè)試性分析得到了廣泛應(yīng)用［78］，限于篇幅本文不再對(duì)多信號(hào)模型方法進(jìn)行詳述。

2 貝葉斯與參數(shù)學(xué)習(xí)

2.1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

貝葉斯網(wǎng)絡(luò) (Bayesian Networks)又稱為信度網(wǎng)絡(luò)(Belief Networks)，是目前不確定性知識(shí)表達(dá)和推理領(lǐng)域最有效的理論模型之一。是圖論與概率論相結(jié)合的產(chǎn)物，表示變量間概率依賴關(guān)系的有向無環(huán)圖。一般由兩部分組成:1)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它是一個(gè)有向無環(huán)圖 (DAG)，由節(jié)點(diǎn)和連接節(jié)點(diǎn)間的有向邊組成，網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都表示一個(gè)隨機(jī)變量，每條邊都表示節(jié)點(diǎn)間存在相應(yīng)的依賴關(guān)系。2)節(jié)點(diǎn)間的條件概率表 (CPT)，其中的概率值表示了變量間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度［9］。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)為多元隨機(jī)變量x={X1，X2，…，Xn}的概率分布提供了一種圖表示，記做＜G，θ＞。其中G=＜N，E＞為有向無環(huán)圖，圖中節(jié)點(diǎn)Ni∈N，i=1，2，…，n，對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量Xi，圖中的邊ej∈E，j=1，2，…，m，表示隨機(jī)變量間的依賴關(guān)系，若Xi依賴于Xj，即圖中Nj到Ni有一條有向邊，則記Xj為Xi的父節(jié)點(diǎn)，Xi的父節(jié)點(diǎn)集合記為π(Xi)。θ={θ1，θ2，…，θn} 為一組條件概率分布表，其中θi，i=1，2，…，n為隨機(jī)變量Xi的條件概率分布表，Xi的取值格局表示為，j=1，2，…J，其父節(jié)點(diǎn)集合取值格局記做，k=1，2，…，K，則 θi∈RJ×K可以表示為:

2.2 貝葉斯參數(shù)學(xué)習(xí)

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)是指通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)，獲得最能匹配樣本數(shù)據(jù)集的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，這里的樣本數(shù)據(jù)即是一組變量的試驗(yàn)觀測(cè)值。在具有完備的數(shù)據(jù)樣本集情況下，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)常用的方法有最大似然估計(jì)法和貝葉斯估計(jì)法［10］。

二者的主要區(qū)別在于最大似然估計(jì)法只依據(jù)樣本數(shù)據(jù)與參數(shù)的似然程度進(jìn)行預(yù)計(jì)，而貝葉斯估計(jì)法同時(shí)綜合了先驗(yàn)信息和觀測(cè)數(shù)據(jù)，因此既避免只使用先驗(yàn)信息帶來的主觀偏見，又避免只使用后驗(yàn)信息帶來的噪音影響，并且通過將上一次學(xué)習(xí)的后驗(yàn)概率作為新一輪先驗(yàn)概率，在新樣本數(shù)據(jù)下進(jìn)行反復(fù)迭代學(xué)習(xí)。鑒于外場(chǎng)收集測(cè)試性數(shù)據(jù)更符合多次小樣本數(shù)據(jù)的特性，而且可以在各個(gè)階段將試驗(yàn)和使用過程中收集的小樣本數(shù)據(jù)用于參數(shù)學(xué)習(xí)，逐步迭代修正，因此本文采用貝葉斯估計(jì)法進(jìn)行條件概率參數(shù)學(xué)習(xí)。

此方法分析過程是:

因分析變量參數(shù)為［0～1］之間多狀態(tài)離散變量，服從多項(xiàng)狄里克萊分布 (Dirichlet分布)，選擇Dirichlet分布作為先驗(yàn)分布，根據(jù)以往對(duì)參數(shù)θ的先驗(yàn)知識(shí)S，確定先驗(yàn)分布P(θ|S)，在給定一個(gè)完整的實(shí)例數(shù)據(jù)集合D條件下，計(jì)算后驗(yàn)概率P(θ|S，D)。

那么，在加入數(shù)據(jù)集合D后，參數(shù)θ的后驗(yàn)概率也服從Dirichlet分布，可得:

其中:αijk是超參數(shù)，且

其中:nijk表示數(shù)據(jù)集合D中滿足條件Xi=xji，π (Xi)=π(Xi)k的實(shí)例數(shù)，即所求變量在D中出現(xiàn)的次數(shù)。此時(shí)參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì)為:

3 實(shí)現(xiàn)及驗(yàn)證

3.1 多信號(hào)模型不確定性表示

為考慮系統(tǒng)中故障傳遞和故障檢測(cè)的不確定性，引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的條件概率表 (CPT)概念，用條件概率來表示不確定性問題。通常條件概率表可以分為故障傳遞條件概率表和故障檢測(cè)條件概率表兩類，分別如表1和表2所示。

表1 故障傳遞條件概率表

表2 故障檢測(cè)條件概率表

以故障檢測(cè)條件概率表為例，其中存在4種故障和測(cè)試的不確定性狀態(tài)，可以用條件概率表示為［11］:

1)P00表示F2不發(fā)生時(shí)T1檢測(cè)顯示正常的概率，即能夠正確檢測(cè)到無故障的概率。

2)P01表示F2不發(fā)生時(shí)T1檢測(cè)顯示發(fā)現(xiàn)故障的概率，即虛警的概率。

3)P10表示F2發(fā)生時(shí)T1檢測(cè)顯示正常的概率，即故障漏檢的概率。

4)P11表示F2發(fā)生時(shí)T1檢測(cè)顯示發(fā)現(xiàn)故障的概率，即能夠正確檢測(cè)到故障的概率。

3.2 蒙特卡羅概率抽樣

蒙特卡羅方法 (Monte－Carlo方法)亦稱為概率模擬方法，也稱為隨機(jī)抽樣技術(shù)或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法。它是通過隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)、隨機(jī)模擬來求解工程技術(shù)問題的一種近似解方法。其基本思想是:為了求解一個(gè)問題，首先建立一個(gè)概率模型或隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等于問題的解，然后通過對(duì)模型或過程的觀察或抽樣試驗(yàn)來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，最后給出所求問題的解的近似值［12］。

采用蒙特卡羅方法，可以通過對(duì)各故障模式進(jìn)行失效率分布概率抽樣，在一次仿真試驗(yàn)中得到各個(gè)故障模式的失效時(shí)間MTTF，其中最小者即認(rèn)為是這次仿真試驗(yàn)中故障發(fā)生的故障模式 (模擬實(shí)際使用過程中的故障發(fā)生)［13］。

在單次蒙特卡羅仿真中，對(duì)引入的條件概率同樣采用概率抽樣方式處理，將其轉(zhuǎn)換為確定值 (例如:假設(shè)某故障傳遞的條件概率為0.8，單次仿真時(shí)，可能存在故障能夠傳遞或不能傳遞兩種情況，但是多次仿真的統(tǒng)計(jì)結(jié)果滿足傳遞的概率是80%)。在單次仿真中根據(jù)得到確定傳遞關(guān)系，修正原相關(guān)矩陣，相關(guān)矩陣的變化會(huì)引起檢測(cè)次數(shù)和隔離次數(shù)的變化，從而反映到故障檢測(cè)率和故障隔離率上。

通過單次仿真生成的相關(guān)矩陣，分析故障發(fā)生是否可以檢測(cè)，能夠檢測(cè)則檢測(cè)次數(shù)ND+1;再分析是否能隔離到規(guī)定模糊度的模糊組，能夠隔離到1個(gè)模糊組則NI1+1，能夠隔離到2個(gè)模糊組則NI2+1，能夠隔離到3個(gè)模糊組則NI3+1。

重復(fù)NT次仿真試驗(yàn)后，得到成功檢測(cè)故障次數(shù)ND，以及隔離到1個(gè)模糊組的次數(shù)NI1，2個(gè)模糊組的次數(shù)NI2，3個(gè)模糊組的次數(shù)NI3。

由故障檢測(cè)率和故障隔離率的定義計(jì)算故障檢測(cè)率和故障隔離率。

3.3 程序?qū)崿F(xiàn)

通過MATLAB編輯程序，實(shí)現(xiàn)含條件概率表的多信號(hào)模型FDR和FIR值計(jì)算過程。程序算法如下:

第一步:從EXCEL中導(dǎo)入數(shù)據(jù)，構(gòu)造故障傳遞矩陣。此處將其定義為T矩陣，該矩陣直接從多信號(hào)流模型生成，反映了故障傳遞的關(guān)系以及測(cè)試的關(guān)系，矩陣中的行對(duì)應(yīng)故障模式，矩陣中的列則包含故障模式、測(cè)試點(diǎn)以及失效率和隔離層次信息。假設(shè)多信號(hào)模型有m個(gè)故障模式、n個(gè)測(cè)試點(diǎn)，則T矩陣的行數(shù)為m，列數(shù)為m+n+2。

第二步:根據(jù)T矩陣，生成D矩陣。首先根據(jù)故障模式數(shù)量m和測(cè)試點(diǎn)數(shù)量n，定義一個(gè)全為0的m×n矩陣，即D矩陣，然后循環(huán)依次查詢T矩陣中各行對(duì)應(yīng)的故障模式列和測(cè)試點(diǎn)列的元素，存在傳遞關(guān)系 (不為0)，則設(shè)置對(duì)應(yīng)D矩陣元素為1。

第三步:進(jìn)行蒙特卡羅仿真，設(shè)置仿真次數(shù)為NT。依次查詢T矩陣中含條件概率的元素，并根據(jù)概率值進(jìn)行概率抽樣，單次仿真結(jié)果若為0，則需要修改D矩陣，形成新的D矩陣 (定義為D1矩陣)，仿真結(jié)果若為1，則直接復(fù)制D矩陣為D1矩陣。

第四步:根據(jù)D1矩陣，分析是否可檢測(cè)以及可檢測(cè)后能隔離到的模糊組大小，分別填入D1矩陣中擴(kuò)展TD列和TI列，形成擴(kuò)展D1矩陣。

第五步:對(duì)各故障根據(jù)失效率信息進(jìn)行概率抽樣，得到各故障模式故障前時(shí)間MTTF，比較各MTTF值大小，最小值對(duì)應(yīng)故障模式即認(rèn)為是該次仿真試驗(yàn)中發(fā)生的故障。查詢擴(kuò)展D1矩陣中對(duì)應(yīng)的TD是否為1，若為1，表示故障可以檢測(cè)，則ND+1，若為0，表示故障不可被檢測(cè)，查詢TI數(shù)值，若為1，則NI1+1，若為2，則NI2+1，若為3，則NI3+1。

第六步:仿真次數(shù)全部完成后，計(jì)算FDR和FIR值。

3.4 算例驗(yàn)證

以圖1所示的多信號(hào)模型為例進(jìn)行說明，模型圖中表示一個(gè)外場(chǎng)可更換單元 (LRU)中由兩個(gè)內(nèi)場(chǎng)可更換單元(SRU)組成，SRU1中包含4個(gè)故障模式 (F1～F4)和1個(gè)測(cè)試點(diǎn) (T3)，SRU2中包含3個(gè)故障模式 (F5～F7)和2個(gè)測(cè)試點(diǎn) (T1、T2)，其中的連線表示故障的傳遞關(guān)系。

圖1 多信號(hào)流模型圖

通過模型圖可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)矩陣，見表3，即將某個(gè)故障模式對(duì)應(yīng)能夠檢測(cè)的測(cè)試點(diǎn)用1表示，不能檢測(cè)用0表示，由此得到故障－測(cè)試的相關(guān)矩陣，反映了模型圖中的連接關(guān)系。

正如前文所述，基于傳統(tǒng)多信號(hào)模型形成的相關(guān)矩陣只有0、1兩種狀態(tài)，故而只能表示故障可檢測(cè)或故障不可檢測(cè)兩種絕對(duì)情況，無法處理故障傳遞和故障檢測(cè)不確定性問題。

現(xiàn)以該多信號(hào)模型舉例說明條件概率表在多信號(hào)模型中的應(yīng)用方法，通過專家分析知故障傳遞F1→F2，故障傳遞F2→F5，以及故障檢測(cè)F5→T1存在不確定性問題，各自的條件概率表如表4～表6所示。

表3 相關(guān)矩陣表格

表4 F1→F2條件概率表

表5 F2→F5條件概率表

表6 F5→T1條件概率表

各故障失效率如表7所示，故障隔離層次為SRU級(jí)。

表7 故障失效率數(shù)據(jù)

分別對(duì)含CPT的多信號(hào)模型和不含CPT的多信號(hào)模型兩種情況進(jìn)行程序分析，分析結(jié)果對(duì)比如表8所示?？芍诓缓珻PT情況下，即傳統(tǒng)多信號(hào)模型時(shí)，該分析程序得到結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相符，在含CPT情況下，因增加了測(cè)試不確定性，F(xiàn)DR值和FIR值會(huì)有變化。

表8 計(jì)算結(jié)果對(duì)比情況

此外，筆者通過多個(gè)復(fù)雜算例對(duì)程序進(jìn)行了驗(yàn)證，分析結(jié)果表明了程序的有效性。

3.5 參數(shù)學(xué)習(xí)

因在傳統(tǒng)多信號(hào)流模型中引入條件概率來表示故障傳遞和故障測(cè)試的不確定性，而引入的條件概率值在缺乏統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)初期只能人為賦予，由此可能會(huì)帶來較大誤差，所以隨著設(shè)計(jì)深入，通過試驗(yàn)以及使用過程中收集的故障測(cè)試反饋數(shù)據(jù)應(yīng)能用于迭代修正模型。

如前文所述，將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)方法用于該條件概率的學(xué)習(xí)和修正，鑒于外場(chǎng)收集測(cè)試性數(shù)據(jù)更符合多次小樣本數(shù)據(jù)的特性，而且可以在各個(gè)階段將試驗(yàn)和使用過程中收集的小樣本數(shù)據(jù)用于參數(shù)學(xué)習(xí)，逐步迭代修正，而不用花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間收集大量樣本數(shù)據(jù)后再進(jìn)行參數(shù)學(xué)習(xí)，因此選用貝葉斯估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)學(xué)習(xí)。

還是以5.4節(jié)不確定性多信號(hào)模型為例進(jìn)行說明，假設(shè)F2→F5故障傳遞概率實(shí)際為0.6，并且通過蒙特卡羅生成模擬樣本數(shù)據(jù)，使用貝葉斯估計(jì)法進(jìn)行條件概率參數(shù)學(xué)習(xí)，分別選取5組每組100個(gè)樣本數(shù)據(jù)和5組每組30個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，得到條件概率估計(jì)值見圖2，其中橫坐標(biāo)表示樣本數(shù)據(jù)采樣次數(shù)，初始值為先驗(yàn)概率，兩條曲線表示不同樣本大小下得到的結(jié)果值 (含圓圈線條表示100個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本，含方框線條代表30個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本)。

圖2 F2到F5故障傳遞條件概率參數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)果

從圖可知，進(jìn)行貝葉斯估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，由于同時(shí)考慮先驗(yàn)概率和樣本數(shù)據(jù)的影響，在沒有樣本數(shù)據(jù)時(shí)，采用先驗(yàn)概率值，即對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)為0的數(shù)據(jù)，隨著不斷的加入樣本進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)，每次學(xué)習(xí)后的后驗(yàn)概率作為下一次學(xué)習(xí)的先驗(yàn)概率，因此可以反復(fù)迭代，隨著迭代次數(shù)增加，結(jié)果值逐步收斂到真實(shí)值。并且從100樣本數(shù)據(jù)和30樣本數(shù)據(jù)對(duì)比可知，樣本數(shù)據(jù)越充分得到的結(jié)果收斂性越好。

4 結(jié)論

通過引入蒙特卡羅仿真和貝葉斯條件概率，解決了傳統(tǒng)多信號(hào)流模型絕對(duì)的故障傳遞關(guān)系與實(shí)際中存在不確定性情況不相符的問題，優(yōu)化了多信號(hào)流模型分析方法，并且通過蒙特卡羅仿真試驗(yàn)方法，采用原始定義計(jì)算測(cè)試性參數(shù)，避免了工程上使用失效率計(jì)算時(shí)需滿足指數(shù)分布的限制條件，因此可以擴(kuò)展分析正態(tài)分布、威布爾分布等非指數(shù)分布的情況。引入貝葉斯參數(shù)學(xué)習(xí)方法利用收集的反饋數(shù)據(jù)對(duì)賦予的條件概率進(jìn)行修正，消除條件概率人為設(shè)置的主觀因素，使結(jié)果更加符合實(shí)際情況。通過算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

由于蒙特卡羅方法為概率抽樣法，通過多次仿真來模擬產(chǎn)品實(shí)際使用過程中的多次故障發(fā)生，以此來進(jìn)行測(cè)試性分析，因此該分析流程與實(shí)際使用中故障產(chǎn)生、故障檢測(cè)、概率統(tǒng)計(jì)、分析得到測(cè)試性結(jié)果的分析方法一致。但由于蒙特卡羅的概率抽樣特性，單次試驗(yàn)結(jié)果具有很大隨機(jī)性，需較大的仿真次數(shù)規(guī)模來保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，仿真次數(shù)的增大又會(huì)導(dǎo)致分析時(shí)間增長(zhǎng)的問題，尤其在引入條件概率后，計(jì)算量大，分析時(shí)間長(zhǎng)，后續(xù)優(yōu)化程序算法、提高程序效率是還需繼續(xù)改進(jìn)的方向。