不等精度數(shù)據(jù)融合的最優(yōu)權(quán)值與參數(shù)估計方法

張志敏

(中國人民解放軍92941部隊44分隊，遼寧葫蘆島 125001)

0 引言

不同類型和不等精度數(shù)據(jù)的融合是測量數(shù)據(jù)融合處理中的常見難題，也是研究的熱點問題［13］。測量數(shù)據(jù)融合處理的主要目的就是提高參數(shù)估計的精度，建立合適的數(shù)學(xué)處理模型，給出高效可靠的融合算法，建立既能夠適合數(shù)學(xué)處理，又能夠體現(xiàn)物理過程、工程特征的融合處理模型是關(guān)鍵。模型包括測量數(shù)據(jù)的模型和目標(biāo)軌跡模型，而測量數(shù)據(jù)建模又包括測量誤差建模與測量目標(biāo)真實信號建模。不同類型和不等精度數(shù)據(jù)是指觀測數(shù)據(jù)中關(guān)于待估參數(shù)的函數(shù)關(guān)系不同、各階導(dǎo)數(shù)也不同［45］。因此，針對不同類型不等精度的觀測數(shù)據(jù)的融合處理，使用不同的加權(quán)方法，會對參數(shù)估計結(jié)果造成較大的影響。因此針對不同的應(yīng)用背景研究適合的加權(quán)融合處理方法成為提高不同類型和不等精度數(shù)據(jù)的融合參數(shù)估計精度的關(guān)鍵。

對于線性回歸模型，已有文獻(xiàn) ［6］證明了其參數(shù)估計，以及不等精度測量數(shù)據(jù)的唯一最優(yōu)加權(quán)原則 。但是對于非線性回歸模型，當(dāng)前的研究結(jié)果都是利用線性回歸模型的處理思維以及迭代算法，求解非線性回歸問題，在基于觀測數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差是獨立同分布等精度條件下推導(dǎo)的［7-9］，不進(jìn)行加權(quán)處理，或直接采用線性模型的高斯－馬爾科夫定理對不同類型的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)處理，對于參數(shù)估計的精度的提高存在很大的局限性。非線性回歸模型的非線性程度會對參數(shù)估計的偏差、方差等因素產(chǎn)生影響，因此通過什么方法可以降低模型的非線性程度，成為長久以來非線性模型研究領(lǐng)域的難點。文獻(xiàn)［10］通過引入非線性模型的參數(shù)效應(yīng)曲率和固有曲率，使降低曲率相當(dāng)于降低模型非線性程度，采用曲率表征模型的非線性程度，目前該理論已成為非線性模型定量分析的理論基礎(chǔ)，為非線性回歸模型的研究提供一種新的思路，極大地促進(jìn)了不同類型不等精度測量數(shù)據(jù)非線性融合的權(quán)值問題的研究。

對于不同種類的不等精度測量數(shù)據(jù)融合處理的權(quán)值與參數(shù)估計的問題，根據(jù)對參數(shù)估計偏差和均方誤差進(jìn)行分析的結(jié)論，從理論上證明了對于非線性模型在不同類型不等精度數(shù)據(jù)融合處理時，最優(yōu)融合權(quán)值不僅與數(shù)據(jù)本身精［6］度有關(guān)，而且與模型的結(jié)構(gòu)、導(dǎo)數(shù)相關(guān)聯(lián)，且線性模型高斯－馬爾科夫定理不再適用。給出了多結(jié)構(gòu)多元非線性融合模型的最優(yōu)權(quán)值與參數(shù)估計的計算方法，最后通過四個算例的對比驗證，可以證明該方法是有效可靠的。

1 不等精度觀測數(shù)據(jù)線性融合的最優(yōu)權(quán)值和參數(shù)估計

針對參數(shù)βp×1的估計問題，假如有兩類線性測量數(shù)據(jù)，其觀測方程如下所示:

對于兩類不等精度線性觀測數(shù)據(jù)融合模型 (1)－(2)的參數(shù)估計，構(gòu)造如下模型所示:

定理 1: 記 λi，1，λi，2，i=1，…，p分別為矩陣 XTX，ZTZ的特征值，那么融合模型的最優(yōu)權(quán)值和參數(shù)估計形式如下所示:

證明:1)由 (3)關(guān)于參數(shù)β求一階偏導(dǎo)數(shù)，得到正規(guī)方程為:

因此，得到1)。

2)將 (4)式代入，并由模型 (1)、(2)的假設(shè)，計算即可得到 (5)的第一式。

即定理1的結(jié)論3)成立。

定理1的結(jié)論3)具有重要的應(yīng)用價值。在處理實際問題時，(1)、(2)一般為不等精度的測量數(shù)據(jù)，在這些數(shù)據(jù)的融合處理時，數(shù)據(jù)的加權(quán)對于數(shù)據(jù)處理精度具有重要影響。結(jié)論3)說明不等精度的線性觀測數(shù)據(jù)融合處理時唯一最優(yōu)融合權(quán)值由測量數(shù)據(jù)的精度決定，這本質(zhì)上仍然是線性模型最小二乘估計的Gauss－Markov定理。

2 不等精度觀測數(shù)據(jù)非線性融合的加權(quán)和參數(shù)估計

在很多估計問題中，往往要考慮異類不等精度非線性觀測數(shù)據(jù)的融合處理［2］。這里，我們提出的異類數(shù)據(jù)，具體指觀測數(shù)據(jù)關(guān)于待估參數(shù)的函數(shù)關(guān)系不同，因而它們的模型結(jié)構(gòu)也不一樣，參數(shù)估計的精度對其依賴程度自然也是不同的。則不同結(jié)構(gòu)的觀測數(shù)據(jù)的權(quán)值也應(yīng)該是不同的。

2.1 非線性模型參數(shù)估計的方差和偏差

當(dāng)測量數(shù)據(jù)是待估參數(shù)的非線性函數(shù)，由于非線性問題往往只有迭代解 (沒有解析解)，估計的性質(zhì)與線性模型有本質(zhì)的不一樣。

考慮如下一元非線性模型 (18)的參數(shù)估計的偏差和方差:

對于模型 (10)，為了得到其估計的性質(zhì)，假設(shè):(i)f(t，β)關(guān)于參數(shù)β存在一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且:

(ii)f(t，β)關(guān)于參數(shù)β存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且:

條件 (i)、(ii)自然而又必要的，因為在假設(shè) (10)下，觀測向量關(guān)于參數(shù)的 Fisher信息陣為因此，就表示觀測中平均每個樣本所包含的有關(guān)參數(shù)的Fisher信息。對于模型 (10)，我們有如下結(jié)論:

則參數(shù)估計的偏差和均方誤差就有如下所示近似:

由定理2可知，非線性模型的參數(shù)估計是有偏的，其偏差和方差的值不但與測量數(shù)據(jù)的精度有關(guān)，而且同模型的一、二階導(dǎo)數(shù) (即模型的結(jié)構(gòu))有關(guān)，則與模型曲率也有關(guān)系［2-3］。模型曲率可等價于函數(shù)的非線性程度，故降低模型曲率可以降低函數(shù)非線性程度，從而有效地改善非線性模型的參數(shù)估計效果。

2.2 一元非線性融合模型的最優(yōu)權(quán)值和參數(shù)估計

為了方便討論，我們先只探究非線性回歸模型:

在線性約束模型 (2)(事實上，模型 (2)不僅可以當(dāng)作先驗信息，也可以當(dāng)作另一類系統(tǒng)的測量數(shù)據(jù))下的參數(shù)估計。根本上，兩類系統(tǒng)的測量數(shù)據(jù)融合的最優(yōu)權(quán)值問題，在參數(shù)估計均方誤差最小的準(zhǔn)則下，歸結(jié)為尋找ρ，使得極小值問題:

的解滿足MSE(β^)(ρ)=E||(β^)(ρ)－ β||2=min［25］。

對于一元非線性模型，定理3提出了參數(shù)估計的偏差與均方誤差，定理4提出了最優(yōu)權(quán)值的存在性及其性質(zhì)。

當(dāng)ρ→+∞時，由第三項起始，之后的每項都是前兩項的高階無窮小量，又當(dāng)時，前面兩項之的和大于零，故存在ρ0＞0，使當(dāng)＞0，因而

因此對于極小值問題 (16)的求解，我們按如下的迭代方式，確定多結(jié)構(gòu)不同類型非線性測量數(shù)據(jù)融合的最優(yōu)權(quán)值及相應(yīng)的參數(shù)估計，算法步驟如下:

步驟2:由 (17)中的第二式，計算參數(shù)估計的均方誤差在處的值

步驟4:將ρ1賦值給ρ0，重復(fù)步驟1，根據(jù)給定的收斂準(zhǔn)則，重復(fù)上述四個步驟，一直迭代至收斂，此時的ρ1為最優(yōu)融合權(quán)值，為參數(shù)的最優(yōu)估計。

2.3 多結(jié)構(gòu)多元非線性融合模型的最優(yōu)權(quán)值與參數(shù)估計

根據(jù)如下所示的多結(jié)構(gòu)多元非線性融合模型:

Vj=是上三角矩陣，的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交基。

定理5的證明過程類似于定理3和定理4，但此時由于參數(shù)是多維的，涉及到多元非線性函數(shù)的模型曲率求解，具體證明方法可參考文獻(xiàn)［6］。

步驟1:對于給定的一組權(quán)值 ρ(0)，設(shè)定迭代初值β(0)，使用觀測數(shù)據(jù)關(guān)于待估參數(shù)的函數(shù)式獲得到Fj(β(0));

步驟2:記ei為第i個分量為1，其他分量全為0的向量，根據(jù)設(shè)定數(shù)值微分的步長h(根據(jù)實際情況，一般可設(shè)定為h=10－6)，計算Fj(β(0))梯度矩陣:

并對此進(jìn)行QR分解，得到矩陣Lj(β(0));

步驟3:由下式得到參數(shù)β的一次改進(jìn):

步驟4:對于給定的收斂閾值τ＞0，如果|S(β(1))－S(β(0))|＜τ，則迭代結(jié)束，令轉(zhuǎn)入Step5;否則，令β(0)=β(1)，返回Step1;

3 算例驗證

算例1:設(shè)某物理量u真值為10，有不等精度的兩套設(shè)備對其進(jìn)行直接測量，分別得到100個高精度的觀測數(shù)據(jù) (均方根差為1)，180個低精度的觀測數(shù)據(jù) (均方根差為4)，共產(chǎn)生100組觀測數(shù)據(jù)，得到的參數(shù)u的估計及方差見表1。(估計的根方差是對100組觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到。)

表1 四種估計的比較

在線性觀測數(shù)據(jù)融合處理時，唯一的最優(yōu)融合權(quán)值由測量數(shù)據(jù)的精度決定;求解極小值問題 (8)100次，得到均方誤差為0.061，估計是最優(yōu)的。

算例2(一元非線性融合模型的最優(yōu)權(quán)值與參數(shù)估計):

設(shè) f(tj，β) = 1+(5+tjβ)0．1，y(tj) = f(tj，β)+ε(tj)，ε(tj)i～idN(0，0．052)，z(si)=β+η(si)，η(si)i．～i．dN(0，0.012)，令tj=0．05 × (j－ 1)，j=1，…，300，si=2+0．1×(i－1)，i=1，…，100，β的真值為8，產(chǎn)生50組觀測數(shù)據(jù)計算結(jié)果見表2，均方誤差與加權(quán)因子關(guān)系見圖1。

圖1 均方誤差和加權(quán)因子關(guān)系圖

當(dāng)采用線性模型的加權(quán)方式，即取權(quán)值ρ=0.052/0.012時，得到均方誤差為0.020;而當(dāng)ρ=1．80×0.052/0．012時，參數(shù)估計的均方誤差得到最小，其值為0.017。

表2 各種加權(quán)的參數(shù)估計結(jié)果對比

算例3(彈道目標(biāo)跟蹤)。

以連續(xù)波雷達(dá)和自主外測設(shè)備構(gòu)建多測距測速彈道目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)，假設(shè)有3個測量站，分別測量彈道目標(biāo)的距離R和速度R，測量值可以表達(dá)為:

假設(shè)各觀測量測量誤差服從高斯分布，且各觀測站的觀測量互不相關(guān)，滿足獨立同分布條件:

仿真參數(shù)設(shè)置如下:各觀測量的采樣率為20 Hz，即t=0．05×j，j=1，…，600， 各測量站的站址坐標(biāo)為，i=1，2，3，彈道目標(biāo)在t時刻的狀態(tài)矢量可表示為利用理論彈道帶入公式(28)生成由彈道目標(biāo)的距離R和速度組成的觀測數(shù)據(jù)本例采用文獻(xiàn) ［4］提出的節(jié)省參數(shù)建模方法，利用不等間距最優(yōu)節(jié)點的三次樣條函數(shù)對彈道進(jìn)行建模，采用最小二乘法對該非線性回歸模型的樣條系數(shù)和彈道參數(shù)進(jìn)行估計，ρ為最優(yōu)權(quán)值，仿真次數(shù)為100次。

仿真結(jié)果表明:當(dāng)ρ=0．122/0．0062時，MSER(ρ)=0.322 m，MSEV(ρ)=0.049 3 m/s; 當(dāng) ρ = 2．33 ×0.122/0.0062時，MSER(ρ)，MSEV(ρ)達(dá)到最小值，其值分別為0.082 m，0.029 4 m/s?？梢钥闯觯嘟Y(jié)構(gòu)多元非線性融合模型可以有效提高彈道目標(biāo)的估計精度。

算例4(多測速聯(lián)合定軌)

依靠同一時刻的N個(N≥6)以上的測速元，可以確定該時刻的軌道參數(shù) X(t)。以(xk，yk，zk)，(k=1，2，．．，N)為N個互不相同的測站在相同坐標(biāo)系下的站址坐標(biāo)，N個測速可表示為:

上式就是聯(lián)系測速元與目標(biāo)位置和目標(biāo)速度的測量方程。對于是 N個互不相同的站址，Jacobi(雅克比)矩陣為:

表3 測速定軌結(jié)果與基準(zhǔn)軌道作差統(tǒng)計表

若雅克比矩陣是列滿秩矩陣，從而由反函數(shù)存在定理，可以有由式(1)唯一地確定軌道參數(shù):

假設(shè)各觀測量測量誤差服從高斯分布，且各觀測站的觀測量互不相關(guān)，滿足獨立同分布條件:

圖2 平均加權(quán)定軌結(jié)果與基準(zhǔn)彈道減法統(tǒng)計圖(0.1 m/s的隨機(jī)誤差，左圖為位置，右圖為速度)

圖3 最優(yōu)加權(quán)定軌結(jié)果與基準(zhǔn)軌道減法統(tǒng)計圖(0.1 m/s的隨機(jī)誤差，左圖為位置，右圖為速度)

圖2和圖3分別為加0.1 m/s的隨機(jī)誤差條件下平均加權(quán)和最優(yōu)加權(quán)定軌結(jié)果與基準(zhǔn)彈道作差統(tǒng)計結(jié)果，由圖可知平均加權(quán)方式的差值波動較大，而最優(yōu)加權(quán)方式的波動較小。此外，從表中3均值和標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計結(jié)論可以看出，采用非線性回歸模型最優(yōu)融合估計方式進(jìn)行多測速定軌可以不同測速元測量精度差異對定軌精度的影響，精度高于平均估計加權(quán)方式，滿足靶場試驗高精度測量系統(tǒng)定軌應(yīng)用需求。

4 結(jié)論

測量數(shù)據(jù)的融合處理是提高數(shù)據(jù)處理精度的有效措施。本文研究了不等精度觀測數(shù)據(jù)融合的權(quán)值和參數(shù)估計問題。對于線性融合模型，其最優(yōu)權(quán)值由測量數(shù)據(jù)的精度唯一確定，這與經(jīng)典的Gauss－Markov定理是一致的;而對于非線性融合模型，通過參數(shù)估計的均方誤差的曲率矩陣表達(dá)，建立了多結(jié)構(gòu)不等精度非線性回歸模型的最優(yōu)加權(quán)理論與算法，并給出了計算實例，結(jié)果表明:多結(jié)構(gòu)非線性回歸模型的加權(quán)數(shù)值會對參數(shù)估計精度產(chǎn)生非常大的影響，其最優(yōu)權(quán)值不僅僅和其他各類數(shù)據(jù)的測量誤差統(tǒng)計特性相關(guān)聯(lián)，還與各類數(shù)據(jù)模型的結(jié)構(gòu)，即模型曲率、樣本量的大小等有關(guān)，從而由線性模型Gauss－Markov定理得到權(quán)值(僅與觀測數(shù)據(jù)精度有關(guān))不再是最優(yōu)的。