基于RVM和相空間重構(gòu)的模擬電路PHM研究

陳 卓，顏學(xué)龍

(桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西桂林 541004)

0 引言

近年來，故障預(yù)測與健康管理 (PHM)［1］徹底改變了電子設(shè)備的可靠性，并且廣泛應(yīng)用于航空航天與軍事系統(tǒng)、醫(yī)療器械、汽車電子、云計(jì)算、智能電網(wǎng)、制造業(yè)等諸多領(lǐng)域。其目的是建立一個(gè)軟硬件相結(jié)合的集成環(huán)境，幫助系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)提高可靠性、健康評估、實(shí)時(shí)性預(yù)測、主動(dòng)維護(hù)等。PHM系統(tǒng)一般具備故障探測、故障診斷、故障預(yù)測等功能［1］，而電子設(shè)備集成度增加使得模擬電路的復(fù)雜性增強(qiáng)。伴隨模擬電路密集度、元件容差、非線性等問題的出現(xiàn)，對模擬電路故障定位和實(shí)時(shí)性，準(zhǔn)確性要求越來越高［23］，因此有必要對模擬電路進(jìn)行故障預(yù)測與健康管理的研究。

PHM核心技術(shù)在于故障診斷及預(yù)測，其中的關(guān)鍵研究方法主要分為三大類［4-5］: 基于物理模型［6］、基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)［67］、基于概率統(tǒng)計(jì)［5］。模擬電路的診斷的方法一直迭代更新，從故障字典法，原件參數(shù)識(shí)別，故障驗(yàn)證，到當(dāng)前研究最多的基于機(jī)器學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［8］方法、支持向量機(jī)(SVM)［9］、超限學(xué)習(xí)機(jī) (ELM)［10］。國內(nèi)外雖然有些不少研究成果，但依舊有些限制和不足。

相關(guān)向量機(jī) (RVM)是基于稀疏貝葉斯框架理論的機(jī)器學(xué)習(xí)模型［11-13］。由美國學(xué)者Tipping于2001年提出的一種分類、回歸的新模型?；赟VM方法，將核函數(shù)與貝葉斯推理結(jié)合，具有SVM不具備的核函數(shù)選擇不受Mercer條件的限制，稀疏性強(qiáng)，同時(shí)有后驗(yàn)概率分布等特點(diǎn)［14］，還保持了SVM原有特性，較神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在小樣本訓(xùn)練，全局最優(yōu)，泛化能力上有明顯的優(yōu)勢。已成功應(yīng)用在如機(jī)械故障預(yù)測［15］，電池壽命預(yù)測［16］，交通流預(yù)測［17］等領(lǐng)域。

RVM在模擬電路故障診斷及預(yù)測中優(yōu)勢在于小樣本計(jì)算，適合對電路進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測與健康管理。分別對基于RVM的模擬電路故障診斷及預(yù)測模型進(jìn)行了仿真研究。

1 故障特征提取

模擬電路的電阻，電容等元件由于性能下降，發(fā)生表現(xiàn)為偏離標(biāo)準(zhǔn)值的軟故障，針對故障診斷采用小波變換提取故障特，故障預(yù)測采用頻域響應(yīng)作為特征量，利用歐氏距離表征元件偏離標(biāo)準(zhǔn)值程度，通過簡單轉(zhuǎn)換，即可表征元件的健康值。

1.1 小波分解

小波方法是在時(shí)頻分析上的成熟工具，廣泛應(yīng)用在信號(hào)處理領(lǐng)域中，其中小波分解主要用于故障特征提取方面，以haar小波為例，采用的分解方法步驟如下:

1)采用haar小波對信號(hào)進(jìn)行n層分解，得到每層高頻系數(shù)序列Dn;

2)求取高頻能量En=DnT*Dn．;

3) 將 ［E1E2… En］ 中取出 ［ExEy］ 作為特征向量。

1.2 歐氏距離

為了便于對模擬電路健康狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，需要計(jì)算故障閾值，即故障指示值 (FI)，文獻(xiàn) ［18］通過馬氏距離計(jì)算故障指示值，來對模擬電路剩余壽命進(jìn)行預(yù)測。馬氏距離中協(xié)方差矩陣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的不穩(wěn)定性。在特征微小變化的反映過于強(qiáng)，會(huì)放大引入的容差影響，降低預(yù)測信息的完整性和準(zhǔn)確性［19］，而文獻(xiàn) ［20］用了余弦距離計(jì)算元件退化度，但余弦距離主要從方向上區(qū)分差異，對數(shù)值大小不敏感，即在同方向上任意長度的向量的余弦距離值為1，在實(shí)驗(yàn)過程中得到的健康值幾乎都是1，量綱在10－6～10－16之間，不利于實(shí)時(shí)計(jì)算。文獻(xiàn) ［21］提出的利用皮爾遜相關(guān)系數(shù)表征健康值計(jì)算復(fù)雜。利用歐氏距離［22］方法，計(jì)算公式簡單，表征n維空間的兩點(diǎn)的真實(shí)距離，與方向和大小均有關(guān)。

兩個(gè)向量的歐氏距離代表的是他們之間的相似程度，在元件退化時(shí)，元件值發(fā)生變化，分析其輸出的頻域響應(yīng)分別與標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)作歐氏距離計(jì)算，得到元件的失效程度，即故障特征，進(jìn)而定義健康值H來作為預(yù)測指標(biāo)。公式如下:

2 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)是為了找到RVM模型下的輸入輸出之間的對應(yīng)關(guān)系［23］。給定 l個(gè)時(shí)間點(diǎn)的序列值 {x1，x2，…，xl}，假設(shè)xn與前d個(gè)序列值之間存在某種非線性映射關(guān)系:

式中，n=(d+1，d+2，…，l)，d為嵌入維數(shù)，f(．)是非線性映射模型，則可以得到RVM模型輸入輸出的訓(xùn)練集{x，t}如下:

其中:N=l－d為訓(xùn)練集中樣本個(gè)數(shù)，利用其訓(xùn)練RVM模型，可以實(shí)現(xiàn)對未來時(shí)間點(diǎn)的序列值的預(yù)測。

3 RVM

它的基本原理是借助貝葉斯推斷獲得滿足標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的模型最優(yōu)權(quán)值ω。通過定義ω的超參數(shù)的先驗(yàn)概率，在貝葉斯框架下學(xué)習(xí)，利用自相關(guān)判定理論移除不相關(guān)的點(diǎn)，得到稀疏模型，在樣本迭代訓(xùn)練過程中，大部分參數(shù)的后驗(yàn)分布趨于零，而非零權(quán)值對應(yīng)的樣本即為相關(guān)向量，體現(xiàn)了樣本的核心特征。

3.1 分類模型

對于二元分類情況，目標(biāo)值{ti}Ni=1只可能是0或1，分類問題時(shí)習(xí)慣使用sigmod函數(shù):

不同于回歸模型，此處無數(shù)據(jù)噪聲，得到:

該分布并不是標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，因此估計(jì)權(quán)值不能用回歸模型方法，采用Laplace方法找到ω最大值處，即:

而p(t|ω)和p(ω|α)分布已知，則:

式中，A=diag(α)=diag(α0，α1，．．．αN);yi= σ［y(xi，ω)］，利用Newton方法可以找到ωMP，即:

式中，y= ［y1，y2，．．．yN］T;B=diag(y1(1 － y1)，y2(1 －y2)．．yN(1 － yN))。

而協(xié)方差矩陣 ∑ =(－ H|ωMP)－1=(ΦTBΦ +A)－1。

更新超參數(shù)方法類似回歸模型，將ωMP代替μ:

式中，∑i，i是∑中第i項(xiàng)在對角線上的元素給出α的初始猜測值，按上式步驟更新迭代，可以逼近ωMP。

3.2 回歸模型

假設(shè){xi}是訓(xùn)練樣本集的特征值，目標(biāo)值為t=［t1，t2，．．，tN］T且互相獨(dú)立，則帶有噪聲的模型為:

式中，ω是ωi組成的模型權(quán)值向量，噪聲εi～N(0，σ2)而RVM模型輸出為:

則在已知 {ωi}與σ2的條件下可以得到t的概率分布:

式中，Φ是由各特征向量代入核函數(shù)k(x，y)所得的N×N+1維設(shè)計(jì)矩陣。

由于直接使用最大似然函數(shù)解ω和σ2，通常會(huì)導(dǎo)致ω中元素大部分不是0，即過多支持向量導(dǎo)致了過擬合，因此采用在貝葉斯框架下，定義的先驗(yàn)條件概率分布為:

式中，α =(α0，α1，．．αN)T含有N+1個(gè)超參數(shù)，超參數(shù)αi調(diào)節(jié)與之對應(yīng)著權(quán)值ωi，由貝氏定理及上述公式，可以推導(dǎo)出權(quán)值ω的后驗(yàn)概率分布為:

后驗(yàn)協(xié)方差和均值分別為:

式中，A=diag(α)=diag(α0，α1，．．αN) 而超參數(shù)的邊緣似然函數(shù)分布為:

式中，Ω =σ2I+ΦA(chǔ)－1ΦT，權(quán)值參數(shù)ω的最大后驗(yàn)估計(jì)直接受超參數(shù)α，σ2的影響，通過最大化邊緣似然函數(shù)p(t|α，σ2)可以實(shí)現(xiàn)超參數(shù)優(yōu)化，最大似然參數(shù)估計(jì)值為αMP，，把式(23)對α和σ2求偏微分值等于零，可以得到迭代公式:

式中，∑i，i是∑中第i項(xiàng)在對角線上的元素，先給出α和σ2的初始猜測值，再由上式不斷更新來逼近αMP，。

在給定一個(gè)新的輸入樣本數(shù)據(jù)x*條件下，相應(yīng)預(yù)測輸出的概率分布為:

其中:預(yù)測均值和方差為:

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 診斷實(shí)例

通常，模擬電路的故障以單一元件故障為主［18］，如圖1為leapfrog濾波器電路。元件無故障情況下，C1=10 nF，C2=20 nF，R4=10 kΩ，研究此3個(gè)元件做故障診斷研究。

圖1 跳蛙濾波器電路

分別設(shè)置電阻和電容元件的容差為5%和10%［24］，用均勻分布U(0．1Xn，Xn－2t)和U(Xn+2t，2Xn)分別表示元件正反向軟故障偏差范圍，其中t為元件容差值［25］。因此假設(shè)元件發(fā)生軟故障的參數(shù)值為偏離標(biāo)準(zhǔn)值的30%。

診斷步驟如下:首先，根據(jù)設(shè)置的故障參數(shù)30%分別對C1，C2，R4設(shè)置正向軟故障發(fā)生時(shí)對應(yīng)的值即分別為13 nF，26 nF，13 kΩ，其他元件值為正常標(biāo)準(zhǔn)值。然后在Pspice里將電路的激勵(lì)源掃頻率范圍設(shè)置為10 Hz～10 Mhz，隨后分別進(jìn)行100次蒙特卡羅分析，得到輸出端的頻域響應(yīng)信號(hào)，然后均勻采集響應(yīng)信號(hào)61個(gè)頻率點(diǎn)的電壓值，由此獲得原始故障數(shù)據(jù)，接著故障特征提取采用2層haar小波分解方法，得到 ［E1E2］作為故障二維特征，這樣，三類單故障經(jīng)過特征提取一共得到300組故障特征數(shù)據(jù);分別對C2、R4做二分類診斷:各取75組數(shù)據(jù)，即150組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，故障特征作為RVM的輸入，故障樣本類別標(biāo)簽為［1 0］作為RVM的輸出，分類模型做故障診斷剩余50組數(shù)據(jù)作為測試樣本，其中RVM核函數(shù)選為高斯核函數(shù)，核參數(shù)σker選取采用交叉驗(yàn)證獲取，如圖2，平衡稀疏性和診斷誤差將核參數(shù)設(shè)為3，隨后用相同的方法分別對C1、C2和C1、R4作二分類故障診斷。

圖2 交叉驗(yàn)證選取核參數(shù)

對于不同元件的單故障診斷，傳統(tǒng)做法是構(gòu)造多分類器，復(fù)雜度較高，采用文獻(xiàn)［26］提出的方法，將Multinomial probit函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)RVM中的logistic sigmod函數(shù)從而將單個(gè)元件的二分類RVM模型推廣到多分類。用上述的采集故障數(shù)據(jù)和特征提取方法得到C1、C2、R4的225組故障數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，故障樣本類別標(biāo)簽為 ［3 2 1］，分別作為RVM的輸入輸出進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí)，進(jìn)行RVM單故障一次多分類故障診斷。

對于多個(gè)元件同時(shí)發(fā)生故障的診斷，假設(shè)2個(gè)元件同時(shí)發(fā)生正向軟故障，以C1、C2、R4三個(gè)元件組合為例，其他元件為正常值，診斷步驟為:設(shè)置C1、C2發(fā)生軟故障的值，保持R4正常標(biāo)準(zhǔn)值，此時(shí)同樣對電路作100次蒙特卡羅分析，接著設(shè)置C1、R4發(fā)生故障，C2保持正常，最后設(shè)置C2、R4發(fā)生故障，C1保持正常，作100次蒙特卡羅分析。進(jìn)而得到三種雙故障組合類型，分別為C1C2+，C1R4+，C2R4+，將上述分析后的數(shù)據(jù)同樣采集61個(gè)頻率對應(yīng)的輸出電壓值，再用2層小波分解方法提取故障特征，原始故障特征數(shù)據(jù)有300個(gè)，，225故障特征樣本用于訓(xùn)練輸入，故障樣本類別標(biāo)簽為 ［3 2 1］作為輸出，經(jīng)過RVM學(xué)習(xí)后，剩下75個(gè)用于測試診斷效果。

上述的某二類單故障診斷和單故障多分類診斷、雙故障多分類診斷的結(jié)果分別如圖3、圖4、圖5。測試集診斷的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1。

圖3 二類單故障診斷仿真實(shí)驗(yàn)

圖4 多類單故障診斷仿真實(shí)驗(yàn)

圖5 多元件組合故障診斷仿真實(shí)驗(yàn)

表1 診斷仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

結(jié)果顯示，在單故障的二分類診斷效果主要受故障二維特征區(qū)分度影響，整體診斷率可以達(dá)94%以上，而多分類器的構(gòu)造的診斷效果也有96%，而對于多類雙故障診斷，RVM的診斷效果達(dá)94.67%，整體診斷效果較為優(yōu)秀，并且診斷的模型中使用的相關(guān)向量個(gè)數(shù)少，較為稀疏，為大數(shù)據(jù)，實(shí)時(shí)在線應(yīng)用場景的診斷問題節(jié)約了計(jì)算存儲(chǔ)資源。

4.2 預(yù)測實(shí)例

元件在隨時(shí)間退化下其標(biāo)稱值發(fā)生改變，這種狀態(tài)趨勢需要在其失效之前被預(yù)見，從而預(yù)測出元件值失效的時(shí)間點(diǎn)。Sallen－Key帶通濾波器［21，24］是很多文獻(xiàn)進(jìn)行仿真驗(yàn)證的標(biāo)準(zhǔn)電路之一，設(shè)置與文獻(xiàn)［21］相同的元件失效偏差值，同樣設(shè)置各元件的容差，用Pspice對待測元件作參數(shù)分析，觀測其輸出在元件值線性變化下的頻域響應(yīng)，采集61個(gè)響應(yīng)點(diǎn)用歐氏距離計(jì)算每次變化下的失效程度，進(jìn)而計(jì)算出每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的健康值，在軟故障發(fā)生時(shí)間點(diǎn)下的健康值即為故障閾值。如圖6為Sallen－Key帶通濾波器電路。

圖6 Sallen－Key帶通濾波器電路

研究R3的失效故障，設(shè)置其阻值在2～3.2 KΩ線性變化，每個(gè)時(shí)間點(diǎn)變化20 Ω;對電容C2設(shè)置5～2 nF按每個(gè)時(shí)間點(diǎn)減少0.05 nF線性變化，初始0時(shí)刻元件健康值h1為1，根據(jù)設(shè)置的元件偏差值，時(shí)刻50即第51個(gè)時(shí)間點(diǎn)發(fā)生軟故障。

對R3，利用相空間重構(gòu)方法，取其0～40時(shí)間段的41個(gè)真實(shí)健康值h1～h41構(gòu)造訓(xùn)練集:即l=41，設(shè)置嵌入維數(shù)為d=21，則訓(xùn)練集樣本個(gè)數(shù)為20;可以得到訓(xùn)練集為 {x，t}，其中:{x1|t1}=［h1，h2，…h(huán)21|h22］;{x2|t2}=［h2，h3，…h(huán)22|h23］，…，{x20|t20}=［h20，h21，…，h40|h41］。 訓(xùn)練完得到RVM回歸模型f(．)，進(jìn)而得到訓(xùn)練集的健康預(yù)測值T=［H22，H23，…H41］。接下來是預(yù)測第41個(gè)時(shí)間點(diǎn)以后的健康值:由x21=［h21，h22，…h(huán)41］和f(．) 計(jì)算出第42個(gè)時(shí)間點(diǎn)的健康預(yù)測值H42，并得到新輸入x22=［h22，h23，…h(huán)41，H42］，計(jì)算出第43個(gè)時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測值H43，再將H42和H43代入新輸入 x23= ［h23，h24，…h(huán)41，H42，H43］，反復(fù)一直更新輸入，得到一系列時(shí)間點(diǎn)的健康預(yù)測值。同樣對C2進(jìn)行故障預(yù)測，根據(jù)先前計(jì)算得到的故障閾值可以預(yù)測出故障發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)，便于PHM的視情維護(hù)。如圖7，圖8分別是R3和C2發(fā)生退化故障的狀態(tài)曲線。

圖7 R3故障預(yù)測仿真實(shí)驗(yàn)

圖8 C2故障預(yù)測仿真實(shí)驗(yàn)

對R3和C2進(jìn)行障預(yù)測仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2，其中訓(xùn)練MSE 分別達(dá)了 6.32842E－09、1.92347E－11。

表2 預(yù)測仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由表3可以看出，在小樣本情況的預(yù)測中，應(yīng)用相空間重構(gòu)的RVM算法可以對模擬電路進(jìn)行較為精準(zhǔn)的預(yù)測。

將提出的方法和文獻(xiàn)［21］的預(yù)測效果比較，對比預(yù)測部分的MSE見表3。

表3 方法對比

當(dāng)改變嵌入維數(shù)進(jìn)行相同的實(shí)驗(yàn)得到的預(yù)測結(jié)果見表4。

表4 不同嵌入維數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比對比

由表4可以得到當(dāng)嵌入維數(shù)為31對R3進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，預(yù)測MSE為7.00596E－07，發(fā)現(xiàn)增加嵌入維數(shù)可進(jìn)一步提高預(yù)測效果，也側(cè)面說明了預(yù)測值與歷史時(shí)段預(yù)測值的相關(guān)性。

5 結(jié)論

目前RVM在模擬電路故障預(yù)測中的應(yīng)用較少，提出一種基于相空間重構(gòu)和RVM的模擬電路健康管理核心功能的研究方法，特征提取提取方法對比之前的文獻(xiàn)更加簡單，能在小樣本情況下進(jìn)行故障診斷和預(yù)測，且預(yù)測效果具有一定優(yōu)越性，符合實(shí)際場景監(jiān)測要求，適用于PHM領(lǐng)域中大樣本的實(shí)時(shí)預(yù)測，通用性良好。需要指出的是，在尚未優(yōu)化各個(gè)參數(shù)情況下，在故障診斷精度有待提高，預(yù)測精度也受嵌入維數(shù)的影響，因此下一步研究工作可集中在包括嵌入維數(shù)在內(nèi)的各個(gè)參數(shù)優(yōu)化的方法的研究上。