Hellmann-廣義Morse勢Schr?dinger方程的散射態(tài)解

陳文利，樊亞云, 殷娟娟

(西安培華學院智能科學與信息工程學院，陜西 西安 710125)

基于在散射態(tài)的研究中肯定了原子核的存在，系統(tǒng)的散射態(tài)解析解及相對應的本征值包含著有效的量子信息，散射理論的研究越來越引起大家的注意，然而除了氫原子和核諧振子之外大部分量子體系都不能解析求解。為了求解散射態(tài)解析解及散射相移，近似表達非線性離心項是求解不同量子系統(tǒng)的可行手段，逐步形成了指數(shù)形式[1-2]、Pekeris形式[3-4]等近似辦法，利用這些近似辦法將徑向薛定諤方程化簡為可解的微分方程。為了獲得更廣泛的應用，我們注意到兩個或更多勢的組合給不同的應用提供了一個重要的結果[5-6]。例如，Onate等求解了包括了由Hallmann 勢場、Yukawa勢場、庫侖勢場組成的組合勢場的薛定諤方程[7]。由Rosen-Morse、P?schl-Teller 和 Scarf 勢組合而成的廣義反雙曲勢場的薛定諤方程的束縛態(tài)被解析求解[8]。最近我們注意到Hellmann-廣義Morse勢，其表達式為[9]

(1)

其中：De為離解能；re平衡鍵長度；a,b為勢長；α勢屏參數(shù)。當取定不同參數(shù)時，勢場可退化為Hellmann勢場、廣義 Morse勢場、Yukawa 勢。然而，由于其薛定諤方程中非線性中心項的存在，散射態(tài)的解析求解一直沒有被涉及。本文利用恰當?shù)慕妻k法處理離心項，推導其薛定諤方程的散射態(tài)解析解，得到相對應的散射態(tài)相移公式，數(shù)值求解特征值方程并和MATHEMATICA程序包所得數(shù)據(jù)進行對比，最后討論了簡化為屏蔽庫侖勢的特例。

1 散射態(tài)的近似解析解

球坐標體系下薛定諤方程的表達式為

(2)

E為系統(tǒng)的能量本征值， 取勢函數(shù)為Hellmann-廣義Morse勢， 設波函數(shù)Ψnlm(r,θ,φ)=r-1unl(r)·Ylm(θ,φ)，并代入方程(2)得徑向方程為

(3)

由于離心項l(l+1)/r2的存在，方程(3)不能被解析求解，和我們先前處理離心項的辦法一樣[10-13]，本文利用近似公式

(4)

為了說明近似公式的有效性，取公式(4)中參數(shù)α不同時的近似公式曲線圖(見圖1)，不難發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)α越小時，近似效果越好，取α=0.01時勢包處近似曲線幾乎重合于1/r2曲線，同時，繪制量子數(shù)n=1時徑向概率密度，勢包處束縛離子的幾率也是取到峰值。

圖1 勢函數(shù)、徑向概率密度、近似表達式關于r曲線

把近似公式(4)代入方程(3)中，徑向方程(3)可化簡為

(5)

引進無量綱變量

z=1-e-αr，

(6)

定義c=(eαre-1),方程(5)化簡為

(7)

考慮邊界條件z→1(r→∞)，設徑向波函數(shù)的表達式為

(8)

其中，參數(shù)

(9)

將方程(8)代入方程(7)，化簡得

(10)

觀察微分方程(10)的結構，其解恰為超幾何函數(shù)的表達形成

(11)

(12)

結合方程(8)和方程(11)，Hellmann-廣義Morse勢薛定諤方程的波函數(shù)解析表達式為

(13)

其中，N為歸一化常數(shù)。

為了研究散射態(tài)的解析性質，方程(12)中的參數(shù)滿足關系

(14)

借助超幾何函數(shù)變換公式[14]

(15)

(16)

同時，利用

(17)

把方程(17)代入方程(16)中,波函數(shù)的漸進行為可表示為

(18)

與散射態(tài)邊界條件u(r)→2sin(kr-(1/2)lπ+δl)(r→∞)[15]比較可知，相移δl和歸一化常數(shù)N可解析表示為：

(19)

(20)

進一步討論散射振幅及其解析性，散射振幅可表示為[16]

(21)

(22)

結合方程(9)、(14)，解析求解方程(22)，特征值滿足的方程為

(23)

本文所推導出的特征值方程(23)和文獻[9]中所獲得束縛態(tài)能級公式(16)本質是相同的。

2 討論

當De=0時,勢函數(shù)化簡為屏蔽庫侖勢

(24)

相對應的特征值方程(23)化簡為

(25)

對于得到的束縛態(tài)能級方程(25)，可以對a和b進行賦值，讓屏蔽參數(shù)α作為能量方程的自變量，對束縛態(tài)能級-E進行討論(見圖2)，隨著量子數(shù)增加，會導致粒子變得弱有界甚至是變成無界的，粒子在這些邊界是很容易被釋放的。

為了進一步驗證推導的正確性, 取參數(shù)a=0,b=-1，勢函數(shù)簡化為一般屏蔽庫侖勢[17-18]，特征值方程(23)化簡為

(26)

數(shù)值求解特征值方程并和文獻[17]計算的結果進行對比，從數(shù)值表2可以得到，本文求解得到的特征值數(shù)值解較先前數(shù)據(jù)更加接近MATHEMATICA程序包所得數(shù)據(jù)。

3 數(shù)值結果

取勢參數(shù)De=5，r=1.6,a=1,b=1，數(shù)值求解特征值方程(23)，并與MATHEMATICA程序包所得數(shù)據(jù)進行對比，數(shù)值結果(見表1)驗證了當勢參數(shù)α越來越小，近似效果越好，和圖1中的分析是一致的。表2為退化為屏蔽庫侖勢本征值方程(26)數(shù)值解，本文所得數(shù)據(jù)較先期所得數(shù)據(jù)更好地逼近真實值。

表1 特征值數(shù)值解

表2 屏蔽庫侖勢特征值數(shù)值解

4 結論

對含有Hellmann-廣義Morse勢薛定諤方程，利用恰當?shù)慕乒浇票硎倦x心項，求解了任意l波薛定諤方程散射態(tài)解析解，得到了復雜的相移公式及按超幾何函數(shù)表示的徑向波函數(shù)，利用波函數(shù)的漸近行為解析求解了能級方程。 數(shù)值計算了特征值的數(shù)值結果并和MATHEMATICA計算所得特征值進行比較，驗證本文所求解的特征值更好地逼近真實值，同時討論了勢參數(shù)De=0的特例，并和我們先前計算一般屏蔽庫侖勢所得數(shù)據(jù)進行比較。