基于混沌搜索和權(quán)重學(xué)習(xí)的教與學(xué)優(yōu)化算法及其應(yīng)用

柳締西子，范勤勤,2，胡志華

近幾十年來(lái)，博弈論得到了許多研究人員的關(guān)注，逐漸成為了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)分析工具之一，并且在經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事科學(xué)和其他社會(huì)科學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。在博弈問(wèn)題中，非合作博弈納什均衡是其最核心的研究?jī)?nèi)容。1951年，Nash[1]在提出的“納什定理”中揭示并證明了納什均衡解的存在，但是Nash并沒(méi)有給出求解納什均衡的一般性方法。傳統(tǒng)的求解方法如Lemke-Howson算法[2]、牛頓算法[3]、同倫算法[4]等均存在一定的局限性；特別是對(duì)于高維的博弈模型(如3維及以上的矩陣策略)，傳統(tǒng)算法的計(jì)算復(fù)雜求解成本較高。除了傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，許多學(xué)者還利用遺傳算法[5]、免疫算法[6]、粒子群算法[7]、蟻群算法[8]等啟發(fā)式算法來(lái)求解博弈納什均衡問(wèn)題，這為求解非合作博弈問(wèn)題提供了一種新的有效途徑和方法。

教與學(xué)優(yōu)化算法(teaching-learning-based optimization，TLBO)是 Rao 等[9-10]于 2011 年提出，它是一種模擬教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的群體智能優(yōu)化算法。由于該算法參數(shù)設(shè)置少、操作簡(jiǎn)便、尋優(yōu)性能好，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視。目前它已被成功應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如LQR控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)[11]、熱交換器優(yōu)化設(shè)計(jì)[12]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化[13]等。

一般來(lái)說(shuō)，原始的TLBO算法容易出現(xiàn)“早熟收斂”的現(xiàn)象，從而易于陷入局部最優(yōu)。為了提高TLBO算法的尋優(yōu)性能，很多學(xué)者提出了改進(jìn)算法。比如，Rao等[14]提出了ETLBO算法，該算法將精英策略引入TLBO算法中，保留每代中的最優(yōu)解，并隨機(jī)對(duì)精英個(gè)體進(jìn)行變異操作，其主要目的是提高算法的收斂速度和尋優(yōu)精度；Yu等[15]提出了ITLBO算法，該算法在TLBO算法中引入教學(xué)反饋階段和差分算法中的交叉變異策略，并在算法后期加入混沌擾動(dòng)機(jī)制；Zou等[16]提出了DGSTLBO算法，該算法在教學(xué)階段引入動(dòng)態(tài)分組教學(xué)策略，在學(xué)習(xí)階段加入量子行為策略，以增加種群的多樣性和避免算法早熟收斂；Chen等[17]提出了VTTLBO算法，該算法將種群的數(shù)量以先增后減的方式來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。在種群數(shù)量增加階段利用高斯分布生成個(gè)體，并在減少階段進(jìn)行相同個(gè)體的去重操作，其主要目的是減少計(jì)算成本以及增強(qiáng)算法的收斂精度和速度。Wu等[18]提出了NIWTLBO算法，在該算法中，利用非線性慣性權(quán)重因子來(lái)控制個(gè)體的學(xué)習(xí)速率，同時(shí)使用動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重因子代替原有隨機(jī)數(shù)，仿真結(jié)果表明此改進(jìn)策略提高了算法的收斂速率和尋優(yōu)性能。Shahbeig等[19]提出了TLBO-PSO算法，該算法將改進(jìn)的變異模糊自適應(yīng)的PSO算法與TLBO算法進(jìn)行結(jié)合，目的在于提高算法的尋優(yōu)精度從而解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。上述研究結(jié)果均表明，將改進(jìn)策略引入TLBO算法中可以提高算法的尋優(yōu)性能。

為了能更進(jìn)一步提高TLBO的搜索性能，本文提出一種基于混沌搜索和權(quán)重學(xué)習(xí)的教與學(xué)優(yōu)化(TLBO-CSWL)算法。仿真結(jié)果表明，所提算法的整體優(yōu)化性能明顯優(yōu)于其他所比較的算法。最后，將改進(jìn)的算法應(yīng)用于非合作博弈納什均衡問(wèn)題的求解。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 標(biāo)準(zhǔn)的教與學(xué)優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法[9-10]主要包括兩個(gè)階段，教學(xué)階段與學(xué)習(xí)階段。

1.1.1 教學(xué)階段

式中：Xi,old表示第i個(gè)個(gè)體學(xué)習(xí)之前的個(gè)體；為[0, 1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)，表示學(xué)習(xí)步長(zhǎng)；TF=round[1+rand(0, 1)]，取值1或2，表示教學(xué)因子。若Xi,new的適應(yīng)度值優(yōu)于Xi,old，則更新個(gè)體；否則，不更新。

1.1.2 學(xué)習(xí)階段

在TLBO算法的學(xué)習(xí)階段中，個(gè)體的更新公式為

1.2 混沌映射

混沌是指確定性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的一種不可預(yù)測(cè)的、類(lèi)似隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)，最顯著的特點(diǎn)是初值敏感性?；煦缒Ｐ筒粌H具有隨機(jī)性、初值敏感性，同時(shí)還有一個(gè)很重要的性質(zhì)是遍歷性。由于混沌序列是遍歷的，它已被越來(lái)越多地應(yīng)用到智能優(yōu)化算法中。其主要被用來(lái)初始化種群[20]，以及能夠?qū)€(gè)體進(jìn)行隨機(jī)次數(shù)的擾動(dòng)使其跳出局部最優(yōu)[21]，從而在個(gè)體周?chē)M(jìn)行遍歷搜索。借鑒文獻(xiàn)[21]中的混沌擾動(dòng)策略，所提算法利用Logistics搜索策略來(lái)對(duì)個(gè)體進(jìn)行更新，公式為

式中：xold和xnew分別表示混沌映射之前和混沌映射之后的變量，x∈[0, 1];∈[0, 4]為控制參數(shù)，當(dāng)=4時(shí)，Logistics映射將處于完全混沌狀態(tài)。

2 基于混沌搜索和權(quán)重學(xué)習(xí)的教與學(xué)優(yōu)化算法

2.1 權(quán)重學(xué)習(xí)

在原始的TLBO算法中，教學(xué)階段主要是使用當(dāng)前最佳個(gè)體來(lái)指導(dǎo)種群進(jìn)化，這將會(huì)造成算法陷入局部最優(yōu)。因此，本文提出一種權(quán)重學(xué)習(xí)的策略，基于個(gè)體適應(yīng)度值產(chǎn)生一個(gè)可以代表種群適應(yīng)度水平的綜合個(gè)體Xweight，并且引導(dǎo)其他個(gè)體向其學(xué)習(xí)。這可以緩解算法“早熟”現(xiàn)象的發(fā)生。

1) 計(jì)算種群的最大適應(yīng)度值及每個(gè)個(gè)體的權(quán)重

2) 計(jì)算加權(quán)平均個(gè)體

3) 改進(jìn)后的教學(xué)階段更新公式為

式中r =N(0.5, 0.2)。若Xi,new的適應(yīng)度值優(yōu)于Xi,old,則更新個(gè)體；否則，不更新。

2.2 混沌搜索

為了提高TLBO算法的全局搜索能力，將混沌搜索策略加入到該算法中。混沌搜索的執(zhí)行步驟如下：

1) 對(duì)種群中的所有個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度值降序排列(最小化問(wèn)題)；

2) 隨機(jī)取出一個(gè)排名前10的個(gè)體；

3) 利用式(3)對(duì)選擇的個(gè)體進(jìn)行混沌擾動(dòng)，產(chǎn)生混沌個(gè)體Xchaos；

4)若Xchaos的適應(yīng)度值優(yōu)于Xi，則更新個(gè)體；否則，不更新。

2.3 TLBO-CSWL算法的實(shí)現(xiàn)步驟

1) 初始化：設(shè)定種群大小NP，維數(shù)D，最大評(píng)價(jià)次數(shù)，初始化種群。

2) 教學(xué)階段：根據(jù)式(7)對(duì)個(gè)體進(jìn)行更新。

3) 學(xué)習(xí)階段：利用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)代替式(2)的均勻隨機(jī)數(shù)，然后根據(jù)式(2)對(duì)個(gè)體進(jìn)行更新。

4) 混沌搜索：利用2.2部分隨機(jī)對(duì)個(gè)體進(jìn)行混沌擾動(dòng)操作，并更新個(gè)體。

5) 判定程序是否達(dá)到最大評(píng)價(jià)次數(shù)，若沒(méi)有達(dá)到，則轉(zhuǎn)至2)；如達(dá)到，則執(zhí)行6)。

6) 輸出最優(yōu)解。

3 仿真測(cè)試

為驗(yàn)證TLBO-CSWL算法的有效性，本文選取了文獻(xiàn)[17]中的18個(gè)測(cè)試函數(shù)，其中f1～f5為單峰函數(shù)，f6～f10為多峰函數(shù)，f11～f18為旋轉(zhuǎn)函數(shù)。改進(jìn)算法分別與 jDE[22]、SaDE[23]、PSOwFIPS[24]、CLPSO[25]、TLBO[9-10]、ETLBO[14]、VTTLBO[17]等算法進(jìn)行對(duì)比。根據(jù)文獻(xiàn)[17]的設(shè)定, 最大的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)均為50 000。對(duì)于每個(gè)測(cè)試函數(shù)，所有算法均獨(dú)立運(yùn)行30次。為了保證結(jié)論的可靠性，采用 Friedman[26]、Dunn[27]、Holm 和 Hochberg[28]檢驗(yàn)來(lái)對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中，顯著水平設(shè)定為5%。

3.1 TLBO-CSWL算法與其他算法的比較

3.1.1 與其他算法在10維測(cè)試上的比較

在該實(shí)驗(yàn)中，所有算法的種群規(guī)模設(shè)定為30，仿真結(jié)果如表1所示。由表1可知，TLBOCSWL 在函數(shù) f1、f2、f3、f4、f6、f11、f12、f14、f15、f17上均有很好的尋優(yōu)效果，性能明顯優(yōu)于其他所比較算法。但在函數(shù) f5、f10、f13、f18上，所有其他算法的尋優(yōu)性能都略?xún)?yōu)于TLBO-CSWL算法，其主要原因有兩個(gè)方面：1)雖然所提算法使用正態(tài)分布和權(quán)重學(xué)習(xí)來(lái)提高原始TLBO的搜索效率，但在某種程度上卻降低了算法的全局搜索能力；2)每種算法都有自身的尋優(yōu)特性，到目前為止，沒(méi)有一種算法能夠在所有的測(cè)試函數(shù)上都能表現(xiàn)得最好，因此，所提算法在某些測(cè)試函數(shù)上表現(xiàn)的差，也符合沒(méi)有免費(fèi)午餐定理[29]。而對(duì)于其余測(cè)試函數(shù)，TLBO-CSWL所獲得的結(jié)果與所比較算法中獲得的最好結(jié)果相同。同時(shí)，利用非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法來(lái)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，所得結(jié)果見(jiàn)表2、3所示。從表2可知，TLBO-CSWL算法的整體性能是最好的。從表3可以看出，所提算法的整體性能要顯著好于PSOwFIPS算法和CLPSO算法。另外，雖然TLBO-CSWL的整體性能在統(tǒng)計(jì)意義上沒(méi)有顯著好于SaDE、ETLBO、TLBO、jDE、VTTLBO，但是從結(jié)果來(lái)看，所提算法的整體性能優(yōu)于其他算法。

表1 10維仿真測(cè)試結(jié)果Table 1 Experimental results on 10D

表2 Friedman測(cè)試在10維函數(shù)上得到的排序Table 2 Ranking obtained by Friedman’s test on 10D

3.1.2 與其他算法在30維測(cè)試上的比較

在該實(shí)驗(yàn)中，所有算法的種群規(guī)模設(shè)定為40。仿真結(jié)果見(jiàn)表4，從表4可以看出本文算法獲得的平均結(jié)果在 f1、f2、f3、f4、f6、f7、f11、f12、f14、f15上均明顯優(yōu)于其他所比較算法。對(duì)于函數(shù)f5，除了CLPSO外，其他比較算法的整體性能都要好于TLBO-CSWL。對(duì)于函數(shù)f10，從結(jié)果來(lái)看，TLBO及其改進(jìn)算法的性能比改進(jìn)的差分進(jìn)化算法差，這主要是由算法的本身搜索特性所決定的。對(duì)于函數(shù)f13，雖然TLBO-CSWL的性能比jDE、SaDE和PSOwFIPS差，但比CLPSO和TLBO及其改進(jìn)算法要好。對(duì)于函數(shù)f18，TLBOCSWL的性能表現(xiàn)要比其他所比較算法差，其主要原因可能是所提方法雖然可以加快TLBO的收斂速度，但也損失了算法一部分全局搜索的能力。在其余測(cè)試函數(shù)中，TLBO-CSWL的尋優(yōu)結(jié)果與所比較算法中獲得的最好的結(jié)果相同。統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果見(jiàn)表5和表6。由表5可知，本文所提出的TLBO-CSWL算法與其他算法相比具有優(yōu)越的整體性能。由表6可知，TLBO-CSWL算法的性能要顯著性?xún)?yōu)于PSOwFIPS算法和CLPSO算法。此外，雖然TLBO-CSWL的尋優(yōu)性能在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上沒(méi)有顯著性地優(yōu)于其他比較算法，但是結(jié)合以上分析可知，TLBO-CSWL算法在解決18個(gè)測(cè)試函數(shù)問(wèn)題上整體表現(xiàn)得最好。

表3 10維測(cè)試結(jié)果Bonferroni-Dunn、Holm以及Hochberg檢驗(yàn)的p-ValuesTable 3 p-Values obtained by Bonferroni-Dunn’s, Holm’s, and Hochberg’s procedures on experimental results with 10D

表4 30維仿真測(cè)試結(jié)果Table 4 Experimental results on 30D

續(xù)表 4

表5 Friedman測(cè)試在30維函數(shù)上得到的排序Table 5 Ranking obtained by Friedman’s test on 30D

3.2 TLBO-CSWL算法分析

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，利用18個(gè)30維測(cè)試函數(shù)來(lái)對(duì)TLBO-CSWL和它的變種算法TLBO-CSWL-1(使用均勻隨機(jī)數(shù))、TLBO-CSWL-2(沒(méi)有混沌搜索)進(jìn)行測(cè)試。其中，種群規(guī)模設(shè)定為40，最大評(píng)價(jià)次數(shù)50 000。針對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)，每個(gè)算法均獨(dú)立運(yùn)行30次。同時(shí)，利用Friedman、Bonfeeroni-Dunn、Holm 以及 Hochberg檢驗(yàn)等非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中顯著性水平設(shè)定為5%。

3.2.1 與變種算法TLBO-CSWL-1的比較

為了驗(yàn)證策略正態(tài)隨機(jī)數(shù)的有效性，將對(duì)TLBO-CSWL-1與TLBO-CSWL進(jìn)行仿真測(cè)試。結(jié)果見(jiàn)表7。由表7可知，TLBO-CSWL算法所得到的平均結(jié)果在 f2、f6、f10、f14和 f18上要比 TLBOCSWL-1好，而對(duì)于其余的測(cè)試函數(shù)，兩者結(jié)果相同；這說(shuō)明TLBO-CSWL算法具有更好的尋優(yōu)性能。統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果見(jiàn)表8，由表8可知TLBOCSWL和TLBO-CSWL-1在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上雖然不存在顯著性差異，但是從Friedman測(cè)試所得到的排序結(jié)果來(lái)看(見(jiàn)圖1)，TLBO-CSWL的整體性能要好于TLBO-CSWL-1。以上統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果表明，利用正態(tài)分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)替代原有均勻隨機(jī)數(shù)的策略對(duì)于提升TLBO算法的性能是有效的。

表6 30維測(cè)試結(jié)果Bonferroni-Dunn、Holm以及Hochberg檢驗(yàn)的p-ValuesTable 6 p-Values obtained by Bonferroni-Dunn’s, Holm’s, and Hochberg’s procedures on experimental results with 30D

表7 TLBO-CSWL-1、TLBO-CSWL-2與TLBO-CSWL算法的30維仿真測(cè)試結(jié)果Table 7 Comparison of TLBO-CSWL-1, TLBO-CSWL-2, and TLBO-CSWL with experimental results on 30D

表8 Bonferroni-Dunn、Holm以及Hochberg檢驗(yàn)的p-Values (TLBO-CSWL-1)Table 8 p-Values obtained by Bonferroni-Dunn’s, Holm’s, and Hochberg’s procedures (TLBO-CSWL-1)

圖1 Friedman測(cè)試排序結(jié)果(TLBO-CSWL-1)Fig. 1 Ranking obtained by Friedman’s test(TLBOCSWL-1)

3.2.2 與變種算法TLBO-CSWL-2的比較

本文對(duì)不加混沌搜索的TLBO-CSWL-2和TLBO-CSWL在同樣的18個(gè)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行仿真測(cè)試。結(jié)果如表7所示。從表7可以看出所提出的 TLBO-CSWL 算法在 f2、f5、f6、f7、f10、f13、f14和f18上的尋優(yōu)結(jié)果要比TLBO-CSWL-2好，而在其余測(cè)試函數(shù)上，兩者的尋優(yōu)結(jié)果相同；以上表明TLBO-CSWL算法的性能要好于TLBO-CSWL-2算法。統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果見(jiàn)表9，由表9可知TLBOCSWL和TLBO-CSWL-2在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上不存在顯著性差異。但是，從圖2的Friedman測(cè)試所得到的排序結(jié)果來(lái)看，與TLBO-CSWL-2相比，TLBO-CSWL具有更好的整體性能。以上統(tǒng)計(jì)分析表明，混沌搜索策略對(duì)于提升TLBO算法的性能是有效的。

表9 Bonferroni-Dunn、Holm以及Hochberg檢驗(yàn)的p-Values (TLBO-CSWL-2)Table 9 p-Values obtained by Bonferroni-Dunn’s, Holm’s, and Hochberg’s procedures (TLBO-CSWL-2)

圖2 Friedman測(cè)試排序結(jié)果(TLBO-CSWL-2)Fig. 2 Ranking obtained by Friedman’s test(TLBOCSWL-2)

4 在非合作博弈問(wèn)題中的應(yīng)用

在本實(shí)驗(yàn)中，將所提算法應(yīng)用于非合作博弈納什均衡問(wèn)題的求解。

4.1 博弈問(wèn)題的描述

N人有限非合作博弈納什均衡問(wèn)題，主要是求解一種混合策略使得博弈雙方均基于一定的概率來(lái)選擇自己的每一個(gè)純策略，使得博弈雙方的利益均最大化，此時(shí)博弈模型處于穩(wěn)定的狀態(tài)。參考文獻(xiàn)[7]中的問(wèn)題描述，對(duì)于2人有限非合作博弈問(wèn)題：設(shè)局中人1的混合策略為，局中人2的混合策略為。Am×n,Bm×n分別為局中人1和局中人2的支付矩陣，則局中人1和局中人2的期望支付分別為和。(,)為雙矩陣博弈問(wèn)題的一個(gè)納什均衡解的充分必要條件，即

算法中的每一個(gè)個(gè)體的取值表示所有局中人的混合策略，則雙矩陣博弈問(wèn)題z=(x, y)的適應(yīng)度函數(shù)可以表示為

式 (9)中，Ai表示 Am×n的第 i行，Bj表示Bm×n的第 j列。

根據(jù)納什均衡的定義和性質(zhì)[1]可知，混合局勢(shì)=(，)為雙矩陣博弈問(wèn)題的一個(gè)納什均衡解的充分必要條件為：存在=(，)，使得f()=0；且對(duì)于任意的≠，都有 f ()＞0。

4.2 案例研究

本文選取2個(gè)雙矩陣博弈問(wèn)題[30-31]。

為了求解以上兩個(gè)問(wèn)題，選取jDE、SaDE、CLPSO、TLBO、TLBO-CSWL來(lái)對(duì)其進(jìn)行求解。對(duì)于所有的算法，種群大小均設(shè)定為40，最大的評(píng)價(jià)次數(shù)為2 000，每個(gè)問(wèn)題均獨(dú)立運(yùn)行30次。并使用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)方法[32]來(lái)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果和統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果見(jiàn)表10，其中，“+”表示所提算法優(yōu)于其比較算法；“–”表示所提算法差于其比較算法 ；“≈”表示TLBO-CSWL算法與其他算法性能相似。從表10的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，TLBO-CSWL算法在2個(gè)博弈問(wèn)題上的求解結(jié)果均優(yōu)于 jDE、SaDE、CLPSO、TLBO 算法，說(shuō)明TLBO-CSWL算法在解決非合作博弈問(wèn)題上表現(xiàn)得最好。另外，對(duì)于博弈問(wèn)題1和2，所有算法的最好結(jié)果見(jiàn)表11和表12。從表11可以看出，相對(duì)于其他算法，TLBO-CSWL算法能夠得到更好的納什均衡解。同時(shí)對(duì)于博弈模型1，本文算法求解的適應(yīng)度函數(shù)精度明顯優(yōu)于其他算法。另外，從表12可以看出，TLBO-CSWL比其他算法能找到更好的納什均衡解，適應(yīng)度函數(shù)的精度顯著好于其他所有算法，這說(shuō)明TLBO-CSWL算法在計(jì)算結(jié)果的精度比其他算法有了較大的改進(jìn)。

上述分析表明，將本文提出的TLBO-CSWL算法應(yīng)用到非合作博弈問(wèn)題，取得了較滿(mǎn)意的結(jié)果。

表10 所有算法在博弈問(wèn)題上得到的結(jié)果Table 10 Experimental results of all algorithms on game problems

表11 所有算法在博弈模型1上得到的最好結(jié)果Table 11 The best experimental results of all algorithms on game problem 1

表12 所有算法在博弈模型2上得到的最好結(jié)果Table 12 The best experimental results of all algorithms on game problem 2

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)教與學(xué)優(yōu)化算法容易早熟收斂的問(wèn)題，提出了一種基于混沌搜索和權(quán)重學(xué)習(xí)的教與學(xué)優(yōu)化(TLBO-CSWL)算法。在該算法中，利用當(dāng)前種群的加權(quán)平均值來(lái)指導(dǎo)種群的進(jìn)化，并且使用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)替代均勻隨機(jī)數(shù)來(lái)提高原始TLBO算法的尋優(yōu)性能；另外，將混沌搜索策略加到所提算法中，以此來(lái)提高算法的全局搜索能力。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，所提算法的整體性能在所有比較算法中是最好的。同時(shí)，采用TLBOCSWL算法與其變種算法TLBO-CSWL-1、TLBOCSWL-2進(jìn)行比較分析，仿真結(jié)果顯示本文所提出的改進(jìn)策略對(duì)于提升TLBO算法的性能是有效的。最后，將TLBO-CSWL算法應(yīng)用于求解非合作博弈納什均衡問(wèn)題，其結(jié)果表明所提算法得到的結(jié)果要好于其他算法。