基于虛擬激勵(lì)法的薄板隨機(jī)振動(dòng)分析

齊鳴瑞，漆文凱，王文博

（南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，南京210016）

0 引言

薄壁結(jié)構(gòu)作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)及飛機(jī)的基本構(gòu)件之一，各種約束條件下的計(jì)算研究受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注，應(yīng)用不同方法對(duì)薄壁結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)進(jìn)行研究，例如：Rao G V、Mirza W H、Kerstens J G M 等[1-3]采用有限元法、Narita Y、Kim C S 、Laura P A A 等[4-6]采用瑞利-李茲法、Li W L[7-8]采用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)法、賀國(guó)京等[9]應(yīng)用能量泛函角度將位移量分離為靜態(tài)位移和動(dòng)態(tài)位移，研究了不同邊界條件下矩形薄板的彎曲振動(dòng)；陳英杰[10]以混合變量的形式求解了不同邊界條件下受均布載荷的薄板彎曲情況；鮑四元、姚偉岸、邢譽(yù)峰等[11-13]采用辛對(duì)偶求解法獲得了矩形薄板自由、受迫振動(dòng)問題的通用解析解，克服了不同邊界采用不同位移函數(shù)的傳統(tǒng)弊端，明顯提升了計(jì)算效率。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)以及飛機(jī)中的薄壁結(jié)構(gòu)在實(shí)際使用過程中通常伴隨著噪聲的作用，噪聲載荷是有一定頻率特性的隨時(shí)間、空間分布的隨機(jī)壓力載荷，從而會(huì)引起結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)。林家浩[14]提出的虛擬激勵(lì)法（PEM）很好地解決了工程中研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)方法中計(jì)算效率低、誤差大的問題；許多學(xué)者[15-19]已經(jīng)將PEM應(yīng)用在航空航天、汽車制造、高速列車、海洋工程以及橋梁抗震等領(lǐng)域。與常規(guī)CQC（完全二次相組合方法）法以及SRSS（平方和開平方法）法相比，在隨機(jī)振動(dòng)研究中PEM由于其計(jì)算精度準(zhǔn)確、效率高而廣受歡迎。

本文利用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)法對(duì)位移函數(shù)和激勵(lì)進(jìn)行傅里葉展開，通過改變彈簧剛度模擬常用邊界條件，利用PEM將白噪聲激勵(lì)構(gòu)造成簡(jiǎn)諧激勵(lì)，對(duì)動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)功率譜密度，并將結(jié)果與有限元軟件仿真進(jìn)行對(duì)比。

1 理論模型

以矩形薄壁板為研究對(duì)象，如圖1所示。在邊界上設(shè)置橫向位移約束彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧，所有的經(jīng)典邊界條件（自由、簡(jiǎn)支和固支）都能通過指定彈簧系數(shù)設(shè)置為無窮大或零來獲得。當(dāng)約束橫向位移方向彈簧的剛度值為無窮大，而約束旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度值為零，即可實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)支邊界。

在噪聲載荷 P（x，y，t）作用下，薄壁板受迫振動(dòng)方

圖1 薄壁板結(jié)構(gòu)通用彈性邊界模型

程為

假設(shè)解的形式為

則矩形薄板的橫向振動(dòng)微分方程為

彈性支撐邊界條件為

式中：k、K分別為橫向位移約束彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度系數(shù)，當(dāng)k、K=∞時(shí)，表示固支約束；當(dāng)k、K=0時(shí)，表示自由；當(dāng)k=∞，K=0時(shí)，表示簡(jiǎn)支約束。通過改變k與K的數(shù)值，可以模擬不同的邊界條件，提高了算法的通用性和計(jì)算效率。

2 位移函數(shù)

對(duì)薄壁板的位移函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)展開，表示成1個(gè)2維傅里葉雙重余弦級(jí)數(shù)和8個(gè)輔助多項(xiàng)式的組合形式

假設(shè)關(guān)于x的輔助項(xiàng)為

其滿足

關(guān)于y的輔助項(xiàng)為

同樣將載荷進(jìn)行傅里葉展開為

其中，系數(shù)

將位移函數(shù)（5）帶入邊界條件（4）及微分控制方程（3），并根據(jù)余弦函數(shù)的正交性，可得

3 平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)算法

3.1 常規(guī)算法

目標(biāo)結(jié)構(gòu)施加均勻平穩(wěn)的隨機(jī)激勵(lì)，采用模態(tài)振型疊加法求解動(dòng)力學(xué)方程?？紤]所有參振振型耦合項(xiàng)，通過頻響函數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)譜

式中：γi、Φi、Hi（ω）、Sxx（ω）分別為第i階振型參與系數(shù)、第i階振型、頻響函數(shù)和激勵(lì)功率譜。

因?yàn)槭剑?0）考慮了振型耦合，故稱為CQC方法。使用模態(tài)振型疊加法（式（10））應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)，計(jì)算量較大。為減小計(jì)算量，對(duì)式（10）進(jìn)行簡(jiǎn)化近似處理，忽略交叉項(xiàng)，得到

上述忽略模態(tài)振型耦合項(xiàng)的方法稱為SRSS方法。雖然該方法效率高，但是不適用于大部分結(jié)構(gòu)（尤其是3維結(jié)構(gòu)）。

3.2 虛擬激勵(lì)法

當(dāng)單點(diǎn)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用于線性系統(tǒng)時(shí)，記自譜密度為Sxx（ω），其振動(dòng)響應(yīng)的自功率譜為

即響應(yīng)矩陣共軛和響應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置相乘得響應(yīng)譜矩陣。顯然，虛擬激勵(lì)法在精確度上與CQC法并無差距，但計(jì)算量大幅減小。此外應(yīng)用虛擬激勵(lì)法較方便，保證響應(yīng)與激勵(lì)之間為線性關(guān)系即可。

4 算例分析

取薄壁板算例，其薄壁板結(jié)構(gòu)尺寸長(zhǎng)寬高分別為510、270、1.3 mm，彈性模量 E=71 GPa，密度 ρ=2796 kg/m3，泊松比 μ=0.3。取中點(diǎn)處（x=0.255，y=0.135）的位移響應(yīng)，計(jì)算響應(yīng)功率譜密度函數(shù)，并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[20]中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

設(shè)有限帶寬白噪聲，其功率譜密度函數(shù)為S（0ωˉ），其中聲壓級(jí)取 SPL=134 dB，Δω為帶寬頻率。

4.1 簡(jiǎn)支邊界

取4邊簡(jiǎn)支邊界條件（k=∞，K=0），帶寬頻率為0～750 Hz，以涵蓋結(jié)構(gòu)前10階固有頻率，ANSYS譜分析取前10階模態(tài)應(yīng)用疊加法計(jì)算，見表1。

表1 簡(jiǎn)支邊界前10階固有頻率對(duì)比 Hz

從表中可見，在簡(jiǎn)支邊界條件下，3種方法求解出的前10階固有頻率在低階處差別很??；而階數(shù)越高，理論方法與有限元方法比較，結(jié)果偏小。

繪制中點(diǎn)處的位移響應(yīng)功率譜，如圖2所示。

圖2 簡(jiǎn)支邊界下中點(diǎn)位置位移響應(yīng)功率譜

從圖中可見，采用虛擬激勵(lì)法經(jīng)過MATLAB編程和利用有限元軟件自帶譜分析模塊算得的位移功率譜重合度較高，而利用文獻(xiàn)中引入結(jié)合受納函數(shù)的方法估算的位移響應(yīng)功率譜在低谷處差距較大，這是由于結(jié)合受納函數(shù)是通過用波長(zhǎng)表示的薄板振型函數(shù)和假設(shè)結(jié)果表面聲壓為2維正弦波求得的，屬于近似估算解，而虛擬激勵(lì)法和有限元方法皆是對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行精確計(jì)算。3種方法計(jì)算位移響應(yīng)功率譜曲線的峰值出現(xiàn)位置一致，分別是結(jié)構(gòu)第1、3、8、10階模態(tài)頻率處，即 54.62、150.10、341.33、395.30 Hz處。

4.2 固支邊界

4邊設(shè)置固支約束（k，K=∞），帶寬頻率為 0～870 Hz，以涵蓋結(jié)構(gòu)的前20階固有頻率值，ANSYS譜分析時(shí)取前20階模態(tài)結(jié)果，采用模態(tài)疊加法計(jì)算。

固支邊界下前10階固有頻率對(duì)比見表2。從表中可見，固支約束下有限元方法求得的模態(tài)固有頻率比理論解稍有偏差，且高階處偏差較小。

繪制中點(diǎn)處的位移響應(yīng)功率譜，如圖3所示。

表2 固支邊界下前10階固有頻率對(duì)比 Hz

圖3 固支邊界下中點(diǎn)處位移響應(yīng)功率譜密度

從圖中可見，采用虛擬激勵(lì)法經(jīng)過MATLAB編程和利用有限元軟件自帶譜分析模塊算得的位移功率譜在低頻處重合度較好，高頻部分差距較大，但是2種方法峰值出現(xiàn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率值相差很小，分別是各自結(jié)構(gòu)的第1、3、8、10階模態(tài)頻率處。

比較上述2種邊界條件下位移功率譜密度計(jì)算結(jié)果可得：

（1）位移響應(yīng)出現(xiàn)多個(gè)峰值，表明響應(yīng)是多模態(tài)的疊加，結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有明顯的多模態(tài)特征。

（2）位移響應(yīng)功率譜曲線在研究頻帶范圍內(nèi)存在多個(gè)峰值，結(jié)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率值，表明這些峰值為相應(yīng)位置處的模態(tài)頻率處產(chǎn)生的位移響應(yīng)，發(fā)生了結(jié)構(gòu)共振效應(yīng)，說明這些頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)的參振系數(shù)較高，在結(jié)構(gòu)分析時(shí)需加大關(guān)注度。

（3）基頻處位移響應(yīng)峰值最大，說明基頻模態(tài)起主導(dǎo)作用。

5 結(jié)束語

本文結(jié)合改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)法和虛擬激勵(lì)法，對(duì)薄壁板進(jìn)行了不同邊界條件下的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析。將4邊固支和4邊簡(jiǎn)支邊界下的位移函數(shù)用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)表示，并對(duì)激勵(lì)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，利用PEM處理白噪聲激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)了白噪聲類型激勵(lì)下的位移響應(yīng)功率譜的理論推導(dǎo)和計(jì)算。利用有限元軟件對(duì)相同條件下的薄板進(jìn)行了模擬計(jì)算，并結(jié)合文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果，將三者所得響應(yīng)譜進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)本文方法較文獻(xiàn)方法與有限元結(jié)果有更高的重合度，并驗(yàn)證了改進(jìn)方法的準(zhǔn)確性。同時(shí)通過使用彈簧代替經(jīng)典邊界條件，改變彈簧的剛度系數(shù)組合，可以高效準(zhǔn)確地解決其他更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)以及邊界條件，提高方法的適用性。