加工誤差對2維葉型損失系數(shù)影響的數(shù)值分析

李超東，朱家友

（中國民用航空飛行學(xué)院航空工程學(xué)院，四川廣漢618307）

0 引言

壓氣機(jī)葉片是現(xiàn)代噴氣發(fā)動機(jī)性能好壞的關(guān)鍵，經(jīng)過多年的研究和設(shè)計，壓氣機(jī)葉片已經(jīng)具有很精細(xì)的氣動幾何形狀。盡管加工技術(shù)方面的巨大進(jìn)步使得葉片的加工精度越來越高，然而由于加工公差和誤差的存在，實際加工出來的葉片往往會偏離原始的設(shè)計形狀和尺寸，導(dǎo)致壓氣機(jī)氣動性能下降。但是由于受加工工藝的限制，減小加工公差和誤差的措施需要較大的投入。如果在發(fā)動機(jī)葉片的設(shè)計階段，能夠考慮到加工誤差對葉型和氣動性能帶來的影響，將會有效提高設(shè)計能力，縮短設(shè)計、試驗、制造的周期。因此，設(shè)計人員總是在向著可以設(shè)計出對于加工公差和誤差更不敏感的葉型這一方向努力。Garzon等[1]發(fā)展了1套概率論的方法去量化幾何加工誤差對于壓氣機(jī)葉片氣動性能的影響；Garzon[2-3]還提出了1種從設(shè)計葉型到實際葉型的轉(zhuǎn)化方法；文獻(xiàn)[4-5]通過數(shù)值模擬研究了如何提高壓氣機(jī)葉片對加工誤差的魯棒性；在國內(nèi)，高麗敏[6]采用單因素法數(shù)值研究了葉片扭轉(zhuǎn)、輪廓度加工誤差對葉柵氣動性能的影響，表明不同位置、不同大小的誤差對性能影響不一；文獻(xiàn)[7-9]深入研究了葉型前緣對壓氣機(jī)性能的影響。

本文結(jié)合行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)中對葉型公差的規(guī)定，在滿足公差要求的基礎(chǔ)上，發(fā)展了1套簡便可行的誤差函數(shù)，用以獲得考慮加工誤差后的壓氣機(jī)葉片的實際葉型，并且對考慮加工誤差后的實際葉型的性能開展研究。

1 實際葉型的生成方法

《中華人民共和國航空工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)-葉片葉型的標(biāo)注、公差與葉身表面粗糙度》（HB5647）[10]對葉片的公差等進(jìn)行了詳細(xì)規(guī)定。假設(shè)符合設(shè)計公差和粗糙度要求的葉片就是實際中使用的葉片，也作為本文數(shù)值模型的對象。

HB 5647對平面葉柵的公差要求有2個：輪廓度公差和輪廓度變化率公差。輪廓度公差主要控制葉型增厚和減薄的程度，輪廓度變化率公差主要控制葉型的波紋度和局部的輪廓度。

輪廓度公差是指實際葉型偏離設(shè)計葉型的尺寸，如圖1所示；任意2個相同方向的局部輪廓度誤差的差值（取絕對值）或任意2個不同方向的局部葉型輪廓誤差與其對應(yīng)的理想葉型上2點間的型線長度之比，成為輪廓度誤差的變化率，簡稱葉型輪廓度變化率。

圖1 輪廓度公差的定義

輪廓度公差δy（見表1）根據(jù)葉型的弦長給出，葉型的弦長為16.86 mm，對應(yīng)不同精度等級的δy分別取 0.12、0.10、0.08、0.06 mm。HB 5647 中規(guī)定輪廓度變化率分別取為2.0δy/b，b為葉型弦長。

由于缺乏實際葉型偏離設(shè)計葉型的數(shù)據(jù)，并且在下文的研究中將主要進(jìn)行統(tǒng)計分析，所以每種實際葉型偏離設(shè)計葉型的具體形式并不重要。在這種情況下，可采用1個簡單的函數(shù)來模擬實際葉型偏離設(shè)計葉型的情況

表1 葉型輪廓度公差

A、B、C、D、E都由隨機(jī)數(shù)給出。由于在前尾緣位置處需要滿足一定條件，所以5個參數(shù)并不完全獨立。只要F（x）、F'（x）分別滿足輪廓度公差和輪廓度變化率公差的要求，就認(rèn)為該種實際葉型偏離設(shè)計葉型的情況在實際工程中是可能出現(xiàn)的。選擇其中滿足公差要求的結(jié)果作為后續(xù)輸入。典型的F（x）的分布如圖2所示。

圖2 典型的F（x）分布

將F（x）疊加到設(shè)計葉型中，可以得到實際葉型（如圖3所示），用于下一步計算和分析。

圖3 典型的實際葉型輪廓（黑色為設(shè)計葉型）和前、尾緣放大

2 實際葉型的氣動性能

在輪廓度公差為0.12 mm的情況下生成100種實際葉型，采用2維CFD程序MAP計算每種實際葉型的氣動性能和流場，該程序在壓氣機(jī)流場的數(shù)值模擬中具有優(yōu)秀的準(zhǔn)確性，得到廣泛應(yīng)用[11-12]。

計算的一部分實際葉型以及設(shè)計葉型的攻角特性如圖4所示。從圖中可見，實際葉型中性能提高和降低的葉型各占50%，下文的分析也能進(jìn)一步證明。

圖4 部分實際葉型的攻角特性曲線

3 實際葉型的設(shè)計參數(shù)

從以上分析可知，實際葉型的氣動性能發(fā)生了明顯變化，而前尾緣半徑、進(jìn)出口金屬角、最大厚度及其位置、最大撓度及其位置都會對葉型的氣動性能產(chǎn)生影響。下文將對實際葉型的設(shè)計參數(shù)開展研究，對比加工誤差對葉型的設(shè)計參數(shù)帶來的變化。文獻(xiàn)[13-15]對葉片的Bezier曲線擬合進(jìn)行了研究。

對1個軸流葉型的中弧線和最大厚度采用4階Bezier曲線擬合（如圖5所示）。

圖5 Bezier曲線擬合方法

確定中弧線的參數(shù)和最大厚度的參數(shù)分別有11個，所以，用于擬合葉型的可變參數(shù)有22個，另外還有5個不變參數(shù)。

具體擬合過程如下：

（1）讀入原始離散葉型，確定離散葉型的前尾緣中心點位置，如果原始離散葉型有前尾緣則將前尾緣去掉，重新分布葉型上的離散點；

（2）計算或估計葉型的各參數(shù)化參量的值，將葉型以弦長無量綱化，旋轉(zhuǎn)葉型到零安裝角；

（3）采用DFP尋優(yōu)方法確定參數(shù)化葉型22個可變參數(shù)的值；

（4）通過22個可變參數(shù)和5個固定參數(shù)給出葉型的設(shè)計參數(shù)。

采用該方法分別計算100種實際葉型的設(shè)計參數(shù)。

4 結(jié)果分析

4.1 統(tǒng)計分析

通過前面的計算，得到了100種實際葉型的氣動性能和設(shè)計參數(shù)。對每種葉型的最小損失系數(shù)進(jìn)行分析，考慮其分布形式。最小損失系數(shù)的分布如圖6所示。從圖中可見，最小損失系數(shù)的分布近似呈正態(tài)分布。最小損失系數(shù)的正態(tài)P-P如圖7所示。從圖中可見，空心坐標(biāo)點與直線越吻合表明最小損失系數(shù)的分布越接近正態(tài)分布。

圖6 最小損失系數(shù)的分布

圖7 最小損失系數(shù)的正態(tài)P-P

實際葉型的最小損失系數(shù)和各設(shè)計參數(shù)的統(tǒng)計量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差見表2，并與原始葉型進(jìn)行比較。

表2 最小損失系數(shù)和部分設(shè)計參數(shù)的均值以及標(biāo)準(zhǔn)差

從表中可見，實際葉型最小損失系數(shù)的均值比設(shè)計葉型的降低了0.67%，與采用的設(shè)計葉型有關(guān)，該葉型是從某4級壓氣機(jī)的第4級靜子葉中部分取出的，可能葉型在設(shè)計時更多考慮的是多級匹配的問題，而不是把損失系數(shù)設(shè)計為最小。

整體上來看，各統(tǒng)計量的均值偏離原始葉型的程度都不是很大，可以認(rèn)為二者近似相等。

采用正態(tài)分布的“3σ原則”對最小損失系數(shù)進(jìn)行分析得到以下結(jié)論：

（1）最小損失系數(shù)落在（1.37%，1.82%）內(nèi)的概率為68.3%，此時最小損失系數(shù)變化最大為11.8%；

（2）最小損失系數(shù)落在（1.15%，2.04%）內(nèi)的概率為95.4%，此時最小損失系數(shù)變化最大為23.6%；

（3）最小損失系數(shù)落在（0.93%，2.27%）內(nèi)的概率為99.7%，此時最小損失系數(shù)變化最大為35.4%。

也就是說，對于該設(shè)計葉型來說，考慮到加工誤差后，實際葉型的氣動性能并沒有很大惡化，可以滿足實際壓氣機(jī)的工作需要，從另一方面表明前文給出的獲得實際葉型的方法是可行、符合實際的。

4.2 相關(guān)性分析

實際葉型的氣動性能雖沒有很大惡化，但還是產(chǎn)生了一些變化，而很多設(shè)計參數(shù)都會對氣動性能產(chǎn)生影響，因此需要知道導(dǎo)致氣動性能變化的最主要原因。所以，在上文基礎(chǔ)上開展了相關(guān)性分析。

相關(guān)系數(shù)是用以反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計指標(biāo)

通過計算可以得到最小損失系數(shù)與設(shè)計參數(shù)之間相關(guān)系數(shù)的值，見表3。在統(tǒng)計學(xué)上認(rèn)為，當(dāng)相關(guān)系數(shù)超過0.75時，認(rèn)為2個變量有很強的相關(guān)關(guān)系。而最小損失系數(shù)和最大厚度以及前緣半徑的相關(guān)系數(shù)都超過了0.82。

表3 最小損失系數(shù)和部分設(shè)計參數(shù)的相關(guān)性分析

最小損失系數(shù)與最大厚度、前緣半徑之間關(guān)系分別如圖8、9所示。從圖中可見，最小損失系數(shù)與最大厚度、前緣半徑之間呈現(xiàn)比較明顯的線性關(guān)系，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行下一步分析。

圖8 最小損失系數(shù)與最大厚度相關(guān)性分析

4.3 公差大小對設(shè)計參數(shù)和氣動性能變化的影響

圖9 最小損失系數(shù)與前緣半徑相關(guān)性分析

上文所有的研究和分析都是在輪廓度公差為0.12 mm的情況下進(jìn)行，接下來把公差分別設(shè)定為0.06、0.08、0.10 mm，重復(fù)上文的研究。只是此時不再進(jìn)行氣動性能的2維CFD計算，根據(jù)上文的研究結(jié)論，同樣可以給出每種公差下實際葉型氣動性能的正態(tài)分布曲線，也就是求出每種情況下的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

由于不需要進(jìn)行2維CFD計算，可以把樣本數(shù)取得更多，在每種公差下均生成400種實際葉型用于設(shè)計參數(shù)計算和分析。

采用上文4階Bezier曲線擬合方法的實際葉型的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行計算，可找到最大厚度的變化。不同公差下最大厚度的分布和直方圖分別如圖10、11所示。從圖中可見，當(dāng)公差變小時，最大厚度的變化仍然符合正態(tài)分布，并且均值不變，但是最大厚度的離散程度明顯變小，也就是標(biāo)準(zhǔn)差變小。

圖10 不同公差下最大厚度的分布

由于最大厚度的均值不變，可以認(rèn)為公差變小時，最小損失系數(shù)分布的均值保持不變。

上述研究表明最小損失系數(shù)與最大厚度之間有很強的線性關(guān)系。統(tǒng)計學(xué)上的分析可以證明：當(dāng)2個統(tǒng)計量x和y呈線性關(guān)系y=kx+b時，二者之間的標(biāo)準(zhǔn)差滿足 σy∶σx=k2。

圖11 不同公差下最大厚度分布

但是考慮到最小損失系數(shù)與最大厚度之間并不是完全的線性關(guān)系，加上修正之后可以認(rèn)為在每種公差下最小損失系數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差與最大厚度分布的標(biāo)準(zhǔn)差之比等于某定值，據(jù)此可以計算出輪廓度公差為0.06、0.08、0.10 mm時最小損失系數(shù)分布標(biāo)準(zhǔn)差，見表4。

表4 不同公差下的最大厚度和最小損失系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

其中，輪廓度公差為0.12 mm下，最小損失系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差由2維CFD計算后經(jīng)過統(tǒng)計學(xué)分析得出，在此處作為基準(zhǔn)，其他3種公差下的最小損失系數(shù)是未經(jīng)2維CFD計算預(yù)估出的。

此時可以做出每種輪廓度公差下最小損失系數(shù)的概率密度函數(shù)（如圖12所示），對于葉型的設(shè)計和評估具有重要意義。

圖12 不同公差下最小損失系數(shù)的概率密度函數(shù)f（x）

概率密度函數(shù)f（x）具有如下性質(zhì)

進(jìn)而通過概率密度函數(shù)f（x）可以很容易地求出最小損失系數(shù)在每個區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率。根據(jù)對葉型氣動性能的要求，在設(shè)計葉型以及進(jìn)行加工工藝設(shè)計時可以在氣動性能和加工成本之間找到平衡，確定最合適的輪廓度公差，從而確定最具性價比的設(shè)計和加工工藝。

5 結(jié)論

（1）給出了1種簡單可行的從設(shè)計葉型到實際葉型轉(zhuǎn)化的方法，研究表明該方法簡單可行且符合實際；

（2）對于該設(shè)計葉型來說，最大厚度與前緣半徑的變化是導(dǎo)致實際葉型氣動性能變化的最重要原因；

（3）給出了1種在較小工作量所有輪廓度公差下氣動性能變化的概率密度函數(shù)的方法，對于葉型設(shè)計和評估具有重要意義。