淺談大學非數(shù)學專業(yè)的微積分教學

曹廣福

摘 要：本文以國內(nèi)外兩本經(jīng)典教材為例，闡述了非數(shù)學專業(yè)數(shù)學教材以及課堂教學應該注意的一些問題，指出非數(shù)學專業(yè)的微積分教學同樣需要體現(xiàn)其思想性，探討了如何在數(shù)學的理論性與實用性之間找到平衡。文章認為，將數(shù)學建模思想與數(shù)學文化融入數(shù)學課堂教學中是必要的。

關(guān)鍵詞：微積分；課堂教學；數(shù)學思想

一、引言

微積分是大學里很多專業(yè)的必修課。國內(nèi)使用最多的微積分教材是同濟大學主編的《高等數(shù)學》[1]，該教材經(jīng)過若干次修訂，在內(nèi)容的深度與廣度方面都有所加強。該教材與西方教材存在著顯著的差別。以Steward的《微積分》[2]

為例，這套教材之所以獲得巨大成功，以致占領(lǐng)了北美大學微積分教材70%以上的市場，與該教材通俗易懂且具有濃郁的應用色彩不無關(guān)系。然而，作為一本取得巨大成功的教材，為什么國內(nèi)很少采用它作為大學本科非數(shù)學專業(yè)的微積分教材？它有什么值得我們借鑒的地方？我國微積分教材以及微積分教學有什么可改進之處？這正是本文要探討的問題。

二、教什么樣的數(shù)學

很多教師認為，對于非數(shù)學專業(yè)的學生而言，會計算導數(shù)與積分、能簡單地應用它們解決問題就夠了，這種觀點深刻地反映在微積分課堂教學中。非數(shù)學專業(yè)的大學生該學什么樣的數(shù)學？教師該教什么樣的數(shù)學？或者準確點說，學生該如何學數(shù)學？教師該如何教數(shù)學？這涉及我們需要培養(yǎng)什么樣的大學生的問題。

數(shù)學是一切科學的基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)不僅反映在學生將來能將課堂上學到的數(shù)學知識依樣畫葫蘆地運用到工作中，更重要的是能靈活運用數(shù)學思想與方法解決問題。對于創(chuàng)新型人才而言，最重要的能力不是掌握已經(jīng)被人熟知的數(shù)學應用方法，而是發(fā)現(xiàn)未知的運用數(shù)學解決問題的方法。從這個意義上說，掌握數(shù)學的思想方法比掌握數(shù)學的實際應用更重要，前者屬于更高境界的數(shù)學。從這個意義上來看，Steward的《微積分》并不是無可挑剔，該書對于數(shù)學在各個領(lǐng)域應用的介紹可謂酣暢淋漓，但或許出于淺顯易懂的緣故，對于微積分內(nèi)在的思想與方法論的闡釋則稍嫌欠缺。該教材的內(nèi)容對于大多數(shù)非數(shù)學專業(yè)大學生也許夠了，但對于相當一部分希望將來在科學研究上有所造就的學生來說顯然有些膚淺。該教材的另一個弱點是內(nèi)容過于龐雜，很難在現(xiàn)有的課時內(nèi)完成全部內(nèi)容的教學。上述兩個原因或許正是我國大學很少采用該教材的原因，但瑕不掩瑜，它的確是一本難得的優(yōu)秀的微積分教材。

我們需要教什么樣的數(shù)學？這個問題并不難回答，簡而言之：教有用的數(shù)學！問題在于什么是有用的數(shù)學？知識本身無所謂有用與無用。學習者會用，知識對于他就是有用的；學習者不會用，知識對于他就是無用的。

有人認為，能解決實際問題的數(shù)學就是有用的數(shù)學。能解決實際問題的數(shù)學固然是有用的，但這遠遠不是有用數(shù)學的全部，甚至不是數(shù)學最重要的部分。數(shù)學是一門思維科學，它不僅與自然科學、社會科學密切相關(guān)，同時還屬于哲學范疇。換句話說，她教給我們的是一種思考問題、解決問題的方法。

大自然的神秘面紗遠遠沒有為人類所完全揭開。數(shù)學方法無疑是了解大自然必不可少的重要手段。沒有數(shù)學，人類將無法真正了解大自然。面對神秘莫測的大自然，不僅現(xiàn)有的數(shù)學工具遠遠不夠，即使是已有的數(shù)學工具，我們也還遠遠沒有弄清楚到底哪些有用，哪些沒有用。特別是最近一個世紀以來，數(shù)學、自然科學發(fā)展是如此迅速，已經(jīng)使科學家們沒有能力同時兼顧數(shù)學與自然科學，也就是說，數(shù)學已經(jīng)逐漸遠離了自然科學而獨立發(fā)展了。正因為如此，人們并不清楚現(xiàn)代數(shù)學與自然科學之間到底有什么關(guān)系，換句話說，如今的數(shù)學對于自然科學到底有沒有用。

歷史上，數(shù)學與自然科學殊途同歸的例子并不罕見，泛函分析的發(fā)展與量子力學的發(fā)展就是典型的例證。

出現(xiàn)這種有趣的現(xiàn)象并不奇怪，因為數(shù)學與自然科學在方法論上是相通的。由此可見，數(shù)學的“有用”體現(xiàn)在兩個方面：一是科學的思維方法；二是自然科學在現(xiàn)實生活中的應用。從某種意義上說，前者更重要，因為科學的思維方法是了解未知的鑰匙。

教材內(nèi)容增加什么、減少什么并不是最重要的，重要的是老師在課堂上做什么。遺憾的是，雖然我們有督導過程、有學生評價環(huán)節(jié)，但實際的教學過程是否體現(xiàn)了數(shù)學的思想性似乎無人關(guān)注，也難以量化。很多時候，我們的教學改革與教學過程猶如兩列互不干擾的并行火車。

當我們走進現(xiàn)在的數(shù)學課堂，再回顧20年前的數(shù)學課堂，不僅發(fā)現(xiàn)實質(zhì)性變化不大，甚至有種今不如昔的感慨。大部分課堂教學仍然過于注重數(shù)學技巧與細節(jié)，對數(shù)學知識中蘊藏著的數(shù)學思想往往視而不見或忽略不計。這些技巧與細節(jié)對于提高學生的解題能力的確發(fā)揮了重要作用，問題是，這些技巧有用嗎？它對于學生日后的工作與生活很重要嗎？如果這些東西對他們?nèi)蘸蟮墓ぷ髋c生活無足輕重，他們?yōu)槭裁匆獙W習這些東西呢？

因此，如何提高學生學習數(shù)學的興趣，學一點真正可以學以致用的東西，才是有意義和有價值的。

微積分作為數(shù)學史上最偉大的發(fā)明創(chuàng)造，距今已有900年的歷史。與現(xiàn)代很多數(shù)學不同的是，微積分的產(chǎn)生與自然科學直接相關(guān)。眾所周知，微積分源于四類基本問題：面積問題、速度與路程問題、光學與切線問題、最大最小值問題。教師在課堂上雖然也會提及這些問題，但關(guān)注的重點卻不是解決這些問題的思想方法，而是數(shù)學概念與原理本身，或者說過于關(guān)注解題的技巧，教了很多無用的技巧，學生“滿腹經(jīng)綸”，卻沒有將滿腹的知識轉(zhuǎn)化成內(nèi)在的能力，面對工作中出現(xiàn)的各種實際問題束手無策，更不用說創(chuàng)新了。

可見，教育的關(guān)鍵在于教師怎么理解教材，如何恰當?shù)厥褂媒滩摹＝虒W不應只是傳授知識，更應重視培養(yǎng)學生思維能力和靈活運用知識的能力。而數(shù)學思維能力及運用能力的培養(yǎng)則依賴于對數(shù)學的興趣，這種興趣來自哪里？既來自對數(shù)學的了解，更來自數(shù)學的審美能力。

數(shù)學的美概括起來大致有這樣幾個方面：

（1）簡單性；（2）對稱性；（3）奇異性；（4）統(tǒng)

一性；（5）抽象性；（6）哲理性；（7）趣味性。

數(shù)學之美如同數(shù)學思想一樣被隱含在書本中，學生從教材里是很難看到的，老師的任務就是要挖掘掩藏在書本知識背后的思想與美麗并展現(xiàn)給學生。一個精彩的課堂，其結(jié)構(gòu)、形式以及教師的機智都可以散發(fā)出數(shù)學美的光芒。當學生離開學校，不再學習數(shù)學，數(shù)學教育留給他的應該是：學會用數(shù)學的眼光去觀察問題，用數(shù)學的頭腦去思考問題，會鑒賞數(shù)學之美，具備數(shù)學的思維方法以及自主自發(fā)地在工作乃至生活中運用。只有這樣，學生才算是真正學到了有用的數(shù)學。

回到微積分教學。微積分是大學非數(shù)學專業(yè)最重要的數(shù)學課程，教學課時多，涉及面廣。目前理工科微積分教學忽略了兩個問題：一是忽略了與中學階段所學知識的銜接，二是忽略了知識的實際背景。還是讓我們從函數(shù)談起。

現(xiàn)在高中階段學生就開始學函數(shù)概念、微積分基礎(chǔ)知識，但學得有點不倫不類。如果是在過去絕大多數(shù)中學生沒有機會上大學的情況下，讓中學生們了解一點微積分思想是可以理解的，可如今的中學生相當一部分都要進入大學，換句話說，還得重學微積分。以目前中學教材及教師的實際情況而論，中學生真的能理解并掌握微積分所蘊含的深刻思想嗎？

大學的微積分教學注意到這個問題沒有？翻開微積分教材，你會看到和幾十年前相比基本沒什么變化。函數(shù)是微積分的基本研究對象，要講微積分自然少不了函數(shù)。問題是該如何處理它們？我覺得函數(shù)需要介紹，但不宜像以往那樣將過多的精力放在各種函數(shù)性質(zhì)的詳細闡述上，因為中學階段對各種初等函數(shù)已經(jīng)有過比較詳細的介紹。有些人認為函數(shù)部分可以一帶而過，我不這么看。其一，學生在中學階段學的函數(shù)同樣不成體系，很多重要概念并沒有介紹。其二，學生除了知道抽象的函數(shù)概念，大概誰也說不清函數(shù)到底可以用來干什么，大學老師無異于在幫中學教師炒夾生飯。筆者認為，函數(shù)理論的介紹不能是中學內(nèi)容的重復，而應該是其補充與深化。

學生對初等函數(shù)早已熟悉，教師倘若再糾纏于細節(jié)性問題，學生肯定會覺得乏味，但初等函數(shù)是微積分研究的最重要對象，所有的計算都是針對初等函數(shù)進行的，忽略過去顯然是不妥的。問題在于怎么講？建立模型的目的有兩個：一是利用模型解釋現(xiàn)實世界中的某種現(xiàn)象，二是利用模型對被研究的對象作預測。由此可見建立數(shù)學模型的重要性。那么，如何根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型呢？通常有以下幾步：

（1）根據(jù)實際問題選擇適當?shù)淖宰兞亢鸵蜃兞?。這是十分關(guān)鍵的一步，既要考慮到模型能反映客觀現(xiàn)實，又要考慮到數(shù)學處理的方便。換句話說，我們需要作一些折中。因變量的確定是比較簡單的，往往根據(jù)我們要解決的問題即可確定。但自變量的確定就不那么簡單了，應將影響某種現(xiàn)象的最本質(zhì)的因素確定為自變量。也就是說，這樣的量足以左右某種現(xiàn)象的變化。

（2）建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。建立函數(shù)關(guān)系有兩種辦法：一是根據(jù)某種現(xiàn)象的規(guī)律來建立，如天體的運動遵循牛頓定律，經(jīng)濟市場的各種現(xiàn)象通常遵循經(jīng)濟規(guī)律等。二是采集數(shù)據(jù)再作數(shù)據(jù)處理，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過將數(shù)據(jù)描點，就可以得到函數(shù)的圖像表示，比如一些統(tǒng)計圖表就是這樣得到的。

（3）利用數(shù)學知識或工具對模型作分析，給出該數(shù)學問題的解答。微積分就是要告訴我們?nèi)绾畏治鲞@些數(shù)學模型。

（4）根據(jù)對數(shù)學問題的解答，作出實際問題的客觀解釋。如果一個模型不僅能解釋某種客觀現(xiàn)象，還能對這種客觀現(xiàn)象的未來作出比較準確的預測，這就是一個非常成功的模型了。

在介紹數(shù)學模型后，可以側(cè)重介紹各種初等函數(shù)通常在什么樣的實際問題中出現(xiàn)。如果從這樣的角度來講述函數(shù)，不僅可以幫助學生復習了中學階段學習過的函數(shù)概念，更重要的是學生能夠知道函數(shù)不僅僅是抽象的符號與演算。

三、微積分教材及教學可以做哪些改進

中美教材相比各有千秋。我國的微積分教材理論性偏強，美國的教材實用性偏強。數(shù)學教育歷來有兩種不同的觀點：一種觀點是提倡數(shù)學化，數(shù)學課堂應該強調(diào)數(shù)學自身的理論，可以不必過多考慮應用性。持這種觀點者的理論依據(jù)是：數(shù)學作為一門思維科學，它的教育功能是培養(yǎng)學生的思維能力，具有相當廣泛的普適性。另一種觀點認為，數(shù)學教育應該注重數(shù)學的實用性，尤其對于非數(shù)學專業(yè)的學生更應如此。這種觀點的依據(jù)是：非數(shù)學專業(yè)學生學習數(shù)學的目的是為了用數(shù)學，他們只要知道怎么應用數(shù)學就夠了。這兩種觀點都有失偏頗。就微積分而言，它產(chǎn)生于自然科學，然而處理問題的方式又是純數(shù)學化的，單純地強調(diào)數(shù)學理論或數(shù)學應用都是片面的，應該在尊重歷史的基礎(chǔ)上兩者兼顧。此外，數(shù)學的理論性與思想性是不同的概念，理論化程度高不表示思想性高。所以，微積分教材可以從以下幾個方面進行改進：

（1）強化思想性。微積分的思想不僅對于解決實際問題具有舉足輕重的意義（如在應力分析中，往往局部地用切平面取代目標曲面），它對現(xiàn)代數(shù)學的影響也是深遠的。例如，局部“以直代曲”的思想不僅對于微分幾何、拓撲產(chǎn)生了重大影響（如切叢的概念、向量叢的概念都與此有關(guān)），也影響了代數(shù)（如李群的李代數(shù)、導子等）。教材與教師的課堂教學應該充分展示微積分的這一精髓。

微分與積分的辯證思想體現(xiàn)在數(shù)學的眾多分支中，也許是這種思想理論性較強的緣故，微積分教材通常避而不談。函數(shù)的連續(xù)性也蘊含著深刻的數(shù)學思想，特別是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一般的高等數(shù)學教材只介紹結(jié)論，不講證明。筆者不主張詳細講解這些定理的證明，但閉區(qū)間所反映出的重要思想應該對學生有所交代，況且這一思想并不難理解。

（2）適當強化應用性。在這個方面，Steward的《微積分》是一個很好的范本。這或許是它獲得成功的一個主要因素，它從一個方面說明應用性是多么受歡迎。強調(diào)應用性，并不意味著弱化教材的思想性，而是微積分思想在自然科學與社會實際問題中的延伸。如果能借鑒Steward編寫方式，適當將微積分在自然科學中的各種應用貫穿于教材的始終，不僅可以增加教材的趣味性與可讀性，也可以為讀者運用微積分提供一些范例與練習的機會。

（3）強化現(xiàn)代化技術(shù)的運用。微積分涉及許多計算，適當介紹一些數(shù)學軟件與數(shù)學機械化方法不無益處。例如，在運用連續(xù)函數(shù)介值定理求方程根時，完全可以引入機械化方法，因為求方程根過程本身就是一個程式化過程。又如，牛頓切線法也是一個程式化過程，通過這兩種求根方法的機械化過程，還可以直觀比較二分法與牛頓切線法運用于具有凹凸性的單調(diào)函數(shù)時的優(yōu)劣。

在微積分教學中，最困難的計算非積分莫屬，然而借助數(shù)學軟件計算積分已經(jīng)不是難事。所以，微積分教材完全沒有必要在積分計算環(huán)節(jié)花費太多的篇幅，教師的課堂教學似乎也沒有必要過分強調(diào)積分技巧的訓練，適當介紹基本的積分方法就可以了。

四、學生是否需要掌握嚴格的極限語言

很多微積分教材都不介紹極限的δ-ε語言，這可能緣于該語言有些抽象，比較難以掌握。很多數(shù)學專業(yè)的學生在學完δ-ε語言后也是一知半解，直至多年后才理解其真正的內(nèi)涵。國內(nèi)外要求較高的微積分教材（如同濟大學編寫的《高等數(shù)學》）有所介紹，但僅限于初步

了解。

那么，作為非數(shù)學專業(yè)的大學生有沒有必要了解甚至掌握極限的δ-ε語言？要說清楚這個問題，首先需要弄清楚極限的δ-ε語言在微積分中發(fā)揮的作用。的確，直觀的極限概念并不難理解，學生不學習極限的δ-ε語言對于計算導數(shù)、積分并不會帶來太大的影響，也不妨礙對微積分概念的理解。然而，直觀的極限描述并非嚴格的數(shù)學語言，它無法參與數(shù)學論證， δ-ε語言是微積分的基本語言，說一個不懂δ-ε語言的人懂微積分是不可想象的。當年牛頓之所以遭到貝克萊大主教的質(zhì)疑并引發(fā)歷史上著名的第二次數(shù)學危機，正是因為微積分缺少一個嚴格的科學語言，人們以形式邏輯來理解微積分從而導致危機的產(chǎn)生，直到柯西將極限概念嚴格化，也就是用今天所說的δ-ε語言定義極限，才使得爭論煙消云散。由此可見δ-ε語言對于微積分的重要性。

δ-ε語言的確有一定的抽象性，但不能因為抽象就避而不談。事實上，只要方式得當，學生并非不能掌握δ-ε語言。這種語言的基本思想即使在日常生活中也是常見的，它現(xiàn)實的模型就是在一定精度范圍內(nèi)的誤差估計。例如要制造一個給定體積的球形產(chǎn)品，使得體積誤差不能超過一定的范圍，工人如何判斷誤差有沒有超過給定的精度？顯然是通過卡尺測量球的直徑，只要直徑的誤差在適當范圍內(nèi)，就能保證體積的誤差在給定的誤差范圍內(nèi)。如果從現(xiàn)實問題出發(fā)逐步引入δ-ε語言，而不是簡單地給出一連串的數(shù)值檢驗，學生是不難理解這種特殊的語言的。即使是一個基礎(chǔ)一般的普通學生，也不難理解生活中的這類誤差估計，問題在于當教師從現(xiàn)實問題出發(fā)概括抽象出嚴格的δ-ε語言時，學生往往很難逾越從現(xiàn)實到數(shù)學的抽象障礙。但只要從實際的問題情景出發(fā)，讓學生逐步感知、概括，最終是不難抽象出δ-ε語言的。不過作為非數(shù)學專業(yè)的大學生，確實沒有必要作過多的極限證明，掌握δ-ε語言的本質(zhì)就足夠。

大學數(shù)學教學改革絕不僅僅是內(nèi)容體系、難易程度的改革，而是要通過這種改革提高學生的數(shù)學眼界與素養(yǎng)。從這個意義上來說，將數(shù)學建模思想、數(shù)學文化融入數(shù)學課堂教學中是必要的。

參考文獻：

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] James Steward.微積分[M].北京：高等教育出版社，2004.

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