對(duì)一道2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題的解題思考

李坤 高明

摘要：擬定計(jì)劃是數(shù)學(xué)解題的重要步驟，主要是要根據(jù)題目的信息特征，通過(guò)聯(lián)想、代換、構(gòu)造等方式引入輔助元素或式子，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新問(wèn)題，然后對(duì)新問(wèn)題做出解答，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)原問(wèn)題的解答。

關(guān)鍵詞：弄清問(wèn)題；擬定計(jì)劃；代換

數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中指出解題有四個(gè)環(huán)節(jié)：“弄清問(wèn)題——擬定計(jì)劃——實(shí)現(xiàn)計(jì)劃——回顧”?！芭鍐?wèn)題”是認(rèn)識(shí)并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程，是成功解決問(wèn)題的必要前提；“擬定計(jì)劃”是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容，是探索解題思路的過(guò)程。本文以2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽的一道試題為例，著重通過(guò)代換、減元等方法，從不同角度、不同層次來(lái)擬定計(jì)劃并完成解題，以此體現(xiàn)擬定計(jì)劃的重要性。

問(wèn)題的提出：若x，y為實(shí)數(shù)，滿足x2+2cosy=1，則x-cosy值域?yàn)椤＃?017全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題）

波利亞在《怎樣解題》中建議分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系（模式識(shí)別等）；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來(lái)的問(wèn)題做出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助問(wèn)題。

弄清問(wèn)題：本題是求表達(dá)式的值域問(wèn)題，題目所給方程含兩個(gè)未知數(shù)，涉及平方、余弦運(yùn)算，解答比較繁瑣，通過(guò)代換、減元的角度，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和變換，則可以降低思維的難度，減少運(yùn)算的步驟，使問(wèn)題獲得解答。

角度1（擬定計(jì)劃——整體代換）將原所求表達(dá)式采用整體代換（換元）的方法，能夠使問(wèn)題的條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果。

本題考查的知識(shí)較為基礎(chǔ)，對(duì)于值域的求解，方法也比較多。在這里，我們通過(guò)以上三種解法，從多角度，多層次來(lái)分析討論問(wèn)題，有機(jī)地將函數(shù)、數(shù)列等相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使解答具技巧性，又不失普遍性。

數(shù)學(xué)高考、競(jìng)賽試題因其內(nèi)容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的機(jī)智思想。擬定計(jì)劃是解題的關(guān)鍵，它使整個(gè)解題過(guò)程具有方向性。同時(shí)，擬定計(jì)劃需要豐富的聯(lián)想，它是解題的紐帶，只有做到創(chuàng)造性的擬定計(jì)劃，才能做到解題的創(chuàng)造性。在教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地讓學(xué)生自己去擬定計(jì)劃，做到有的放矢。這樣既能培養(yǎng)學(xué)生多角度，多方位地考查問(wèn)題，又能增強(qiáng)其創(chuàng)新能力，達(dá)到擴(kuò)大視野和鍛煉思維的作用。

作者簡(jiǎn)介：

李坤，高明，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。