極限的若干種求法研究

摘 要：數(shù)學(xué)分析中最重要的基本概念就是極限，而且極限是對(duì)變量數(shù)學(xué)進(jìn)行研究的重要工具之一，同時(shí)又是積分法和微分法的理論基礎(chǔ)。對(duì)極限的求法的熟練運(yùn)用是為學(xué)好數(shù)學(xué)分析做基礎(chǔ)準(zhǔn)備。然而求解極限的方法非常繁冗，想要達(dá)到運(yùn)用自如，并非易事。本文歸納和總結(jié)部分極限求法。

關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級(jí)數(shù)；極限；求法；函數(shù)；數(shù)列

一、 利用極限定義驗(yàn)證極限

要點(diǎn)：已知數(shù)列（函數(shù)）的極限值

利用四則運(yùn)算求極限

二、 數(shù)列的極限

（一） 利用初等變形求極限

要點(diǎn)：用初等數(shù)學(xué)的方法將xn變形，再求極限。（主要將xn寫成緊縮形式）

（二） 利用單調(diào)有界定理求極限

單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，單調(diào)數(shù)列有界必然極限存在且收斂，并且單調(diào)增（減）數(shù)列收斂到該數(shù)列的上（下）確界。（注：一個(gè)收斂到確界的數(shù)列，不一定是單調(diào)數(shù)列）

要點(diǎn)：做題時(shí)通常觀察所求極限式的特點(diǎn)，預(yù)估其上下界的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法等方法證明要求解的極限的單調(diào)性和有界性，并對(duì)上下界在證明單調(diào)性的應(yīng)用方面引起注意，最后常通過建立方程求得極限值，并對(duì)根的取舍予以重視。

（三） 利用夾逼定理求極限

要點(diǎn)：當(dāng)不易直接求得極限時(shí)，可以適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小所求極限，使兩個(gè)新極限的極限值等同，或僅相差一個(gè)任意小的正數(shù)，則原極限存在極限值且與兩個(gè)新極限的極限值等同。

作者簡介：

姜婷婷，天津市，天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。