空間萬向傳動當量夾角的計算和優(yōu)化設(shè)計

田中旭，祁 平，高學峰

（1.上海海洋大學 工程學院，上海 201306；2.中國北方發(fā)動機研究所，山西 大同 037036；3.蒂森克虜伯汽車系統(tǒng)計算有限公司，上海 201201）

1 引言

十字軸萬向節(jié)因其可靠性高，成本低廉，仍得到了廣泛的應用。當前，含萬向節(jié)的傳動軸在運動學[1]與強度[2]方面仍然存在很多值得研究的問題，這些問題的關(guān)鍵點在于萬向節(jié)兩側(cè)的傳動軸存在一定夾角。在含多萬向節(jié)的傳動軸中，綜合評價傳動軸布置的參數(shù)就是當量夾角[3]。在萬向節(jié)傳動當量夾角不為零時，傳動軸的轉(zhuǎn)速將產(chǎn)生波動[4-5]，同時還在傳動軸上產(chǎn)生波動附加彎矩作用[6]。轉(zhuǎn)速的波動會引起傳動系統(tǒng)的齒輪嚙合沖擊和噪聲，影響其可靠性；附加彎矩則會引起傳動軸中間支撐的振動，會進一步引起設(shè)備或車輛的振動和噪聲[7]，同時也易引起傳動軸本身的彎曲振動。因此，傳動軸當量夾角的設(shè)計和控制，是傳動軸布置中最為重要的指標之一[8]。而當量夾角的準確計算則是傳動軸設(shè)計和優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)。含多萬向節(jié)的傳動軸布置往往因各種條件限制，不完全在同一個平面內(nèi)，即形成了一種空間布置。此時，當量夾角的計算會變得復雜，也非常容易出現(xiàn)計算錯誤，難以為傳動軸的設(shè)計提供有利支持，同時為進一步的傳動軸布置優(yōu)化帶來風險[9-10]。

文獻[3，11]給出了兩種準確的當量夾角計算公式，然而在應用中，準確計算當量夾角仍然非常困難，其主要原因在于，實際傳動軸布置的描述方式，與當量夾角計算中的初相位和傳動軸的夾角參數(shù)不一致，在計算這些參數(shù)時常常產(chǎn)生錯誤。首先，因傳動軸空間布置，使得傳動軸的真實夾角計算變得復雜；其次，計算當量夾角所需的各個萬向節(jié)叉初相位，已經(jīng)不能再簡單由傳動軸兩側(cè)萬向節(jié)叉的相位關(guān)系來依次確定，應該由真實的空間位置來準確計算。目前，還未發(fā)現(xiàn)在精確計算萬向節(jié)叉初相位和傳動軸空間夾角計算上的當量夾角計算模型，人們多采用傳動軸兩側(cè)萬向節(jié)叉的相位關(guān)系和傳動軸在豎直面內(nèi)的夾角，來直接給定這些參數(shù)，常常帶來較大計算誤差。依據(jù)傳動軸設(shè)計習慣，研究了當量夾角相關(guān)參數(shù)的描述和計算方法，并在此基礎(chǔ)上研究了空間當量夾角的計算方法和驗證手段，并給出傳動軸最優(yōu)布置計算方法，為傳動軸的設(shè)計提供了可靠的計算基礎(chǔ)。

2 傳動軸布置的描述方法

在傳動軸設(shè)計中，一般給出了傳動軸吊架或支架、變速箱等動力輸入端、傳動軸的動力輸出端等位置坐標；在傳動軸萬向節(jié)叉的方向方面，一般給出每跟傳動軸兩側(cè)萬向節(jié)叉平面的角度，并在多實際中采用兩側(cè)叉平面為0°和90°兩種方式的傳動軸。

對于由主動軸i和從動軸i+1組成的某萬向節(jié)i，如圖1所示。設(shè)主動軸萬向節(jié)叉所在平面為Bi，從動軸萬向節(jié)差所在平面為Bi+1，平面Ai和平面Ai+1為兩豎直平面，并分別包含主動軸和從動軸軸線。在當量夾角的計算過程中，為了對傳動軸布置進行準確描述，這里給出如下方式描述傳動軸的布置（其中動力傳動的方向為x軸方向）：（1）對于由n個傳動軸組成的傳動軸系統(tǒng)的位置和方向，采用各個萬向節(jié)十字軸中心坐標（xi，yi，zi）（i=0，1，…，n）來描述，其中在傳動軸系兩側(cè)的輸入軸和輸出軸上各增加一個點（0點和n點），即（x0，y0，z0）和（xn+1，yn+1，zn+1），用來表達輸入軸和輸出軸的方向。（2）采用各個萬向節(jié)主動叉平面Bi與豎直面Ai所成的角度βi（i=1，2，…，n），來表達萬向節(jié)叉的方向，其中沿傳動方向?qū)盀檎?，導后為負。因傳動方向非常接近x方向，所以如此表達萬向節(jié)主動叉平面具有非常高的精度，而且計算起來非常方便，當知道第一個叉平面與豎直面所成角度，以及各個傳動軸兩側(cè)叉的角度，便可準確計算出各個βi（i=1，2，…，n），以后的計算和驗證中也證實了這一點。

圖1 萬向節(jié)示意圖Fig.1 Sketch Figure of Universal Joint

3 傳動軸空間當量夾角的計算

文獻[11]針對空間布置的多萬向節(jié)傳動軸，通過輸入軸與輸出軸之間的運動學關(guān)系分析，導出了空間傳動軸當量夾角θe的計算公式

式中：θi—第i個萬向節(jié)兩側(cè)的主從動軸之間的夾角（i和i+1之間的夾角）；αi—第i個萬向節(jié)初相位，即主動叉平面Bi與兩側(cè)傳動軸的軸線（i和i+1）所成平面夾角，導前為正，導后為負。因此，計算當量夾角的關(guān)鍵便是計算各個θi和αi，以下將給出具體計算方法。

各傳動軸的軸線單位矢量為：

式中：li—傳動軸的長度，其計算公式為：

則對各個萬向節(jié)兩側(cè)傳動軸夾角θi有：

在計算中，如果θi足夠小，則萬向結(jié)兩側(cè)可以認為是一根傳動軸，轉(zhuǎn)速也不會波動，此時只需令θi=αi=0即可。

以下計算各個萬向節(jié)初相位。根據(jù)βi（i=1，2，…，n）的定義，可得到主動叉平面法線單位矢量ti為：

主動軸和從動軸所在平面的單位法矢量為：

則初相位角可以如下求出：

式中：i—x向單位矢量。（7）式中的第一個因式起到了取符號的作用，即沿x正向，并按右手定則，導前為正，導后為負。

計算出各個軸線的夾角和初相位后，應用式（1）便可計算出傳動軸的當量夾角。

4 當量夾角算法的運動學仿真驗證

由于試驗方法受到諸多條件限制，而且測量也會帶來難以預期的誤差。因采用動力學仿真軟件，進行傳動軸的運動學仿真可得到近似精確的運動學關(guān)系，可以方便地對當量夾角算法進行驗證，即通過運動學仿真檢驗傳動軸系統(tǒng)輸入和輸出轉(zhuǎn)速之間是否滿足

式中：ω1、ω2max和 ω2min—輸入轉(zhuǎn)速、輸出轉(zhuǎn)速最大值、輸出轉(zhuǎn)速最小值。

采用了UGMotion來實現(xiàn)傳動軸的運動學仿真，來進行當量夾角計算的驗證。某商用車傳動軸當量夾角計算和仿真結(jié)果的比較，如表1所示。其中，也給出了當前企業(yè)常用的幾種方法得出的計算結(jié)果。該傳動軸系統(tǒng)含三個萬向節(jié)，其傳動軸布置參數(shù)，如表2所示。

表1 各算法當量夾角計算結(jié)果Tab.1 Calculation Results of Equivalent Angle of Each Algorithm

表2 某商用車傳動軸布置參數(shù)Tab.2 Parameters of a Commercial Vehicle Transmission Shaft

對于企業(yè)常用的三種常用的算法說明如下：

4.1 X-Z平面投影法

X-Z平面投影法是把空間傳動軸布置，看成xz平面內(nèi)的平面布置，初相位以傳動軸兩側(cè)萬向節(jié)叉的相位作為初相位的直接計算依據(jù)，誤差來原因在于沒有考慮到傳動軸的空間布置。

4.2 空間I算法

和X-Z平面投影法唯一的區(qū)別就是使用了軸線的空間夾角代替平面夾角，計算精度有所提高，但初相位的計算還是和X-Z平面投影法一樣，誤差在所難免。

4.3 空間II算法

空間II算法和空間I算法的唯一差別就是初相位的計算上?？臻gII算法上考慮了萬向節(jié)導前角對初相位的影響。但依然沒有照初相位的定義來進行計算，同樣可能產(chǎn)生不可估量的誤差。由表2的計算結(jié)果可以看到，不采用更為準確的當量夾角計算方法，常常會產(chǎn)生比較大的誤差，這里建議采用給出的計算方法，已獲得比較高的計算精度。

5 傳動軸的優(yōu)化布置計算

在傳動軸設(shè)計中，可調(diào)整的主要是中間支撐點的位置[12]，它決定了附近萬向節(jié)的位置和傳動軸的長度，這里采用萬向節(jié)十字軸中心坐標為優(yōu)化設(shè)計變量，并考慮傳動軸兩側(cè)萬向節(jié)叉的各種相位角[13]情況對當量夾角的影響。這里以上節(jié)給出的商用車傳動軸設(shè)計為例，尋求最優(yōu)的傳動軸設(shè)計方案。在傳動軸設(shè)計時，設(shè)計目標是當量夾角盡可能小同時，同時需要兼顧空載、滿載等情況，可如下設(shè)計優(yōu)化的目標

式中：θek、θem—空載和滿載情況下的當量夾角；Wk、Wm—空載和滿載情況下的權(quán)系數(shù)，可根據(jù)兩種情況下的側(cè)重程度取值。

因傳動軸優(yōu)化布置時，還存諸多約束和限制，如對各個設(shè)計參數(shù)采用取整，中間支撐安裝限制等。其中比較重要的方面是單個傳動軸不要過長，以免其彎曲振動固有頻率過低。在傳動軸數(shù)量固定的情況下，傳動軸長度約束條件可如下表達：

式中：Li—任意傳動軸長度；L—傳動軸的傳動距離；n—傳動軸數(shù)。其中，r—閾值，其確定依據(jù)為：當傳動軸長度為L/n+r以下，傳動軸最小固有頻率滿足傳動系統(tǒng)要求。

而且算法效率比較高情況，所以可采用全區(qū)間掃描的方式，尋求更優(yōu)的設(shè)計參數(shù)，而且結(jié)果非?？煽?。經(jīng)過掃描，給出了新的布置方案：第二萬向節(jié)十字軸中心坐標為（2746，5，299），兩個傳動軸兩側(cè)萬向節(jié)叉相位角度均為。優(yōu)化前后的當量夾角，如表3所示?？梢钥闯觯倪M后的傳動軸布置，使得當量夾角大幅度縮小。

表3 改進前后的當量夾角Tab.3 The Equivalent Angle Before and After the Improvement

6 小結(jié)

在傳動軸當量夾角的計算中，如傳動軸空間布置，則給傳動軸當量夾角計算帶來困難，當前常用的方法易得到不準確的計算結(jié)果。而影響計算精度的根源在于，傳動軸的夾角和初相位嚴格準確的描述和計算。給出非常精確的當量夾角計算方法，并給出了傳動軸最優(yōu)設(shè)計方案的計算方法。算例表明，算法對傳動軸當量夾角的計算和優(yōu)化布置是非常有效的。