大跨度混凝土樓板的自振頻率分析

范 康，陳軍武

(中國(guó)有色金屬工業(yè)西安勘察設(shè)計(jì)研究院，陜西西安 710055)

基于現(xiàn)代結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展和人們居住要求的提升，大跨度混凝土樓板在新建的民用建筑中較為普遍的出現(xiàn)。大跨度樓板可以使房屋功能劃分更加自由，更加符合精細(xì)化設(shè)計(jì)。為了保證房間內(nèi)人員的感官需求和建筑經(jīng)濟(jì)性，通常樓層高度被嚴(yán)格控制。采用次梁劃分樓板難以滿足要求，大跨度混凝土樓板成為一種選擇。

混凝土樓板設(shè)計(jì)采用以概率論為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法，包括承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)。而樓板舒適度問題在大跨度樓板設(shè)計(jì)中顯得尤為重要，甚至起控制作用。在設(shè)計(jì)開始時(shí)必須確定振動(dòng)源、振動(dòng)傳播路徑(質(zhì)量、剛度、阻尼)等因素和人們對(duì)于振動(dòng)可接受的范圍。民用建筑較多出現(xiàn)的振動(dòng)源，如住宅內(nèi)人的行、走、跳躍和健身器械的振動(dòng)，公共建筑中清掃設(shè)備的振動(dòng)，水平運(yùn)輸設(shè)備的振動(dòng)等，在設(shè)計(jì)開始時(shí)就需要對(duì)這些問題仔細(xì)考慮[1]。

樓板的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，大跨度混凝土樓板的振動(dòng)主要表現(xiàn)為一階豎向振動(dòng)，當(dāng)樓板自振頻率較低，并與人的各種類型的活動(dòng)頻率比較接近時(shí)，容易引起共振，會(huì)使人感到不舒服和不安全[2][3]。本文基于板殼振動(dòng)理論和已有的研究成果，結(jié)合SAP2000有限元分析軟件對(duì)大跨度混凝土樓板自振頻率的分析比較，可為大跨度混凝土樓板設(shè)計(jì)提供參考。

1 板殼振動(dòng)理論及自振頻率計(jì)算

樓板振動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù)主要是樓板的固有頻率和相應(yīng)的峰值加速度，樓板豎向自振頻率屬于結(jié)構(gòu)的固有屬性，豎向振動(dòng)也是一種彈性體振動(dòng)。由于樓板厚度一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其自身尺寸，可采用彈性薄板振動(dòng)理論來分析樓板的自振頻率。

計(jì)算方法是建立在薄板振動(dòng)基本微分方程的基礎(chǔ)上，研究薄板的固有振動(dòng)問題；是考慮封閉的不同邊界條件下，均勻厚度的矩形板的第一模態(tài)振型固有頻率公式簡(jiǎn)化方法。本文主要以四邊簡(jiǎn)支大跨度混凝土樓板為研究對(duì)象。

四邊簡(jiǎn)支矩形板固有頻率可按式(1)、式(2)計(jì)算[4]：

(1)

(2)

式中：頻率系數(shù)λ與樓板邊界條件及長(zhǎng)寬比a/b有關(guān)，與板的材料常數(shù)無關(guān)，可按表1查出。

板的抗彎剛度D可按式(3)計(jì)算：

(3)

式中：E為材料彈性模量；ν為材料泊松比；h為板厚。

表1 四邊簡(jiǎn)支矩形板頻率系數(shù)λ值

研究表明，造成大多數(shù)振動(dòng)問題的主要因素是共振，在人類的日常中，活動(dòng)的頻率主要介于2～3 Hz[4][5]。因此，設(shè)計(jì)中控制樓板的頻率，避免樓板固有頻率與人的活動(dòng)頻率相近，從而達(dá)到舒適度要求。

關(guān)于自振頻率的控制要求，國(guó)內(nèi)外已提出了一些具體要求。我國(guó)GB 50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中要求住宅和公寓不低于5 Hz，辦公樓和旅館不宜低于4 Hz，大跨度公共建筑不宜低于3 Hz。加拿大國(guó)家建筑規(guī)范(NBC) 要求樓板自振頻率不低于6 Hz[6]。其他類似的一些研究和要求均有一定的差異，設(shè)計(jì)中主要考慮在滿足現(xiàn)有國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，對(duì)具體的設(shè)計(jì)采用更加合理的控制要求。

2 混凝土樓板自振頻率計(jì)算與分析

2.1 基于板殼振動(dòng)理論的簡(jiǎn)化計(jì)算

計(jì)算樓板采用C35混凝土，彈性模量E=3.15×104N/mm2，混凝土泊松比ν=0.2，鋼筋混凝土的密度ρ=25 kN/m3。

(4)

將上述參數(shù)代入式(4)、式(1)，可以得到：

當(dāng)樓板尺寸為6 m×6 m時(shí)，f=0.028 3h，h為樓板厚度(mm)。

當(dāng)樓板尺寸為9 m×6 m時(shí)，f=0.020 4h，h為樓板厚度(mm)。

當(dāng)樓板尺寸為9 m×9 m時(shí)，f=0.012 6h，h為樓板厚度(mm)。

根據(jù)式(1)、式(4)及上述結(jié)果，三種尺寸規(guī)格的混凝土樓板的自振頻率計(jì)算結(jié)果詳見表2。

表2 基于板殼振動(dòng)理論計(jì)算的樓板頻率f Hz

2.2 采用SAP2000有限元分析軟件對(duì)樓板頻率的分析

采用SAP2000有限元分析軟件對(duì)6 m×6 m，9 m×6 m，9 m×9 m三種模型進(jìn)行自振頻率分析，材料參數(shù)同上，分別對(duì)不同厚度的樓板進(jìn)行模態(tài)分析。研究結(jié)果表明，人行荷載激勵(lì)下，樓蓋結(jié)構(gòu)第1振型的振動(dòng)分量起控制作用，高階振型的影響并不顯著[1]。分析結(jié)果見表3。

表3 基于SAP2000有限元分析的樓板頻率f Hz

2.3 樓板厚度對(duì)自振頻率的影響

結(jié)合表2和表3的結(jié)果，可以得到不同跨度樓板振動(dòng)頻率f與樓板厚度h之間的變化關(guān)系圖，如圖1所示。由圖1可以得出：

(1)對(duì)于同一跨度樓板，基于板殼振動(dòng)理論所計(jì)算的樓板自振頻率f與樓板厚度h基本呈線性關(guān)系，隨著板厚的增加，自振頻率也不斷增大。同時(shí)隨著樓板跨度的增大，線性比例降低，即隨著樓板跨度的增大，增加板厚對(duì)樓板自振頻率的正面影響不斷降低。

圖1 不同跨度樓板振動(dòng)頻率f與板厚h的關(guān)系

(2)通過SAP2000有限元分析軟件對(duì)三種模型的分析來看，其結(jié)果與板殼振動(dòng)理論計(jì)算的結(jié)果基本一致，誤差在5.5 %以內(nèi)，樓板自振頻率f與樓板厚度h也基本呈線性關(guān)系。板殼振動(dòng)理論在研究分析薄板的固有振動(dòng)頻率方面較為合理。

(3)樓板長(zhǎng)寬比a/b對(duì)樓板自振頻率f有明顯影響，其影響主要反應(yīng)在頻率系數(shù)λ，見表1。樓板長(zhǎng)寬比為a/b的矩形樓板自振頻率介于跨度分別為a、b的方板之間。

3 結(jié)束語(yǔ)

基于板殼振動(dòng)理論，采用彈性薄板振動(dòng)理論來分析樓板的固有頻率，結(jié)合SAP2000分析軟件對(duì)不同跨度樓板自振特性的對(duì)比分析，可以得出這是一種較為合理的方法。在設(shè)計(jì)前期可以幫助設(shè)計(jì)人員選用合理板厚及結(jié)構(gòu)方案。

樓板固有振動(dòng)頻率隨著板厚的增加也隨之增大，基本呈線性關(guān)系。隨著樓板跨度的增大，板厚對(duì)固有頻率的影響減弱。考慮不同使用功能，樓板自振頻率的控制要求也不同，需要綜合考慮結(jié)構(gòu)方案。