大跨度斜拉橋拉索參數(shù)振動分析

李郁林，黃 林，邵國攀，李 琦

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，四川成都 610000)

斜拉索是斜拉橋等大跨度結(jié)構(gòu)中重要的受力構(gòu)件，它承擔(dān)了結(jié)構(gòu)的絕大部分荷載。隨著斜拉橋跨度的增大，較長的斜拉索在受到風(fēng)雨激勵以及塔或橋面的振動時更容易發(fā)生較大的振幅，同時可能呈現(xiàn)出強烈的非線性行為：跳躍、極限環(huán)、分叉以及混沌[1-2]。外部激勵作為參數(shù)出現(xiàn)在振動系統(tǒng)中，并且隨著時間的變化，在這種激勵作用下的振動稱為參數(shù)振動[3-4]。Simpson[5]、Irvine[6]等人運用線性振動理論針對于弦的短索發(fā)生微幅振動進(jìn)行了分析。之后P.Hagedorn[7]等眾多學(xué)者建立了考慮大幅振動時索的非線性振動方程，但方程過于復(fù)雜[8-11]。Tagata研究了拉索的一階參數(shù)振動，不計垂度影響，把拉索視為無重量的弦[12]，導(dǎo)出了無量綱的Mathieu方程。Lilien[13]利用Tagata的方法導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)弦方程，采用諧波平衡法研究穩(wěn)態(tài)振動時索的振動幅值、瞬態(tài)(達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前)振動時索張拉力的表達(dá)方程。 楊詠漪[14]認(rèn)為隨著斜拉索傾角的變小，垂度效應(yīng)對索自振頻率的影響越大，因此在進(jìn)行拉索參數(shù)振動分析時一定要考慮斜拉索自重所產(chǎn)生的垂度效應(yīng)影響; 當(dāng)拉索頻率和全橋頻率成一定比率時，極易發(fā)生大幅度參數(shù)振動，對橋梁的使用和安全有不利影響。

目前對于拉索振動的數(shù)值分析大部分未考慮塔柱和拉索的協(xié)同作用，忽略了索、塔、梁共同振動并非是簡單的參數(shù)振動。

基于以上認(rèn)識，本文通過考慮索、塔、梁協(xié)同作用下的參數(shù)振動，以某三跨斜拉橋(跨徑布置為108 m+340 m+108 m)為例通過全橋動力特性特征的計算對參數(shù)振動的振動機理、線性內(nèi)部共振進(jìn)行分析，并提出相應(yīng)的抑振措施。

1 拉索參數(shù)振動機理分析

索、塔、梁共同振動并非是簡單的參數(shù)振動，圖1(a)表示實際索與梁共同振動的情況，將質(zhì)量M的運動分解為垂直于索軸線及沿軸向的兩種運動，分別見圖1(b)和圖1(c)，沿拉索橫向的激勵所引起的振動是強迫振動，沿拉索軸向的激勵所引起的振動是參數(shù)振動。

圖1 承受支撐端激勵的水平拉索

拉索的非線性參數(shù)振動發(fā)生的條件是：外來激勵的頻率是索的自振頻率的2倍。非線性參數(shù)振動一般為低階(一階)時最明顯。圖2所示，張緊的無重量拉索(忽略其微小的垂度)可以用來說明非線性參數(shù)振動的機理。

圖2 承受支撐端激勵的水平拉索

索的橫向振動可以表示為：

(1)

每一時刻，索的任何微元的慣性力和恢復(fù)力都應(yīng)該保持平衡，由此出現(xiàn)縱向力的波動，這種波動會周期性的干擾恢復(fù)力。當(dāng)縱向激勵的頻率fb是橫向自振頻率fc的2倍時，索端以2fc頻率縱向運動，索力也以頻率2fc發(fā)生周期性的變化，索力的增量為：

ΔS(t)=ΔSmaxsin(4πfct)

(2)

這一變化將在拉索中引起二階的、隨時間變化的橫向荷載增量：

△q(t)=-△S(t)y′

(3)

將式(1)和式(2)代入式(3)可得式(4)：

(4)

括號內(nèi)的第二項只是一個修正項，可略去不計。

△q是一個負(fù)阻尼力，若寫成△q=ωy，則阻尼系數(shù)：

(5)

(6)

當(dāng)fb=2fc，發(fā)生非線性參數(shù)共振時的解將取決于拉索本身的初始阻尼能否消耗橋面支撐點所輸入的負(fù)阻尼能量，若忽略拉索自身的結(jié)構(gòu)阻尼，則：

(7)

按照強迫振動原理，可解得共振最大振幅為：

(8)

(9)

然而，在實際斜拉橋中的拉索并不象上面所分析的受到一個周期變化的索力ΔSt的作用，而是作為一種支承激勵。拉索的振動和作為支撐點的橋面、橋塔的振動是相互牽制的。如果結(jié)構(gòu)的振動不發(fā)散，拉索的橫向振動也不可能出現(xiàn)一般非線性參數(shù)振動所具有的發(fā)散現(xiàn)象，而是一種有限振幅的參數(shù)共振。

拉索的橫向振幅和其支撐點的縱向振幅之間存在以下關(guān)系：

(10)

式中Ac為拉索的橫向振幅；Ab拉索兩支撐點的相對縱向振幅。于是可以得到：

(11)

2 參數(shù)振動與線性內(nèi)部共振分析

全橋拉索布置如圖3所示，各拉索長度如圖4所示，對實際斜拉空間結(jié)構(gòu)，建立精確的斜拉索端部受激振動模型較為困難。一般，可首先對斜拉空間結(jié)構(gòu)用有限元方法進(jìn)行動力特性分析，得出全橋的各階固有頻率，然后經(jīng)與每根拉索的各階固有振動頻率比較，選出若干可能產(chǎn)生大幅振動的拉索進(jìn)行分析。

圖3 全橋拉索布置

圖4 拉索長度

假設(shè)拉索兩端支點固定，對全橋動力特性特征進(jìn)行分析，應(yīng)用有限元法求出塔柱和空間結(jié)構(gòu)沿拉索軸向的剛度，根據(jù)頻率匹配關(guān)系求出模型中塔柱和空間結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)質(zhì)量。最后，利用本模型計算拉索受兩個端部軸向激勵作用的時程響應(yīng)，得出線性內(nèi)部共振所需要的條件。

圖5所示為全橋前30階自振頻率，全橋自振頻率隨著振動階數(shù)的增加而增加。根據(jù)第1節(jié)參數(shù)振動機理的分析，計算邊跨和中跨拉索各階振型頻率如圖6～圖9所示如圖6～圖9所示，在大橋的西側(cè)與東側(cè)，拉索的振動頻率均隨著振動階數(shù)的上升而上升，且越靠近拉索所連接的橋塔，拉索振動頻率越高，拉索的的振動頻率隨著與所連接橋塔距離的增大而減小。已知各拉索的振動頻率，由此可分析誘發(fā)參數(shù)振動需滿足的頻率條件和拉索變動軸力幅值條件。

圖5 全橋前30階振動頻率

圖6 拉索振動頻率(西側(cè)邊跨)

圖7 拉索振動頻率(東側(cè)邊跨)

圖8 拉索振動頻率(西側(cè)中跨)

圖9 拉索振動頻率(東側(cè)中跨)

圖10的縱軸為橋的整體振動頻率fb和2倍拉索一階自振頻率2fc之比，橫軸為拉索變動軸力幅值ΔSmax和初始軸力S0之比。在fb/2fc=1附近可能發(fā)生參數(shù)振動，針對拉索阻尼δ，當(dāng)主梁或塔引起的拉索軸力變化大于某一臨界值時，參數(shù)共振才可能發(fā)生。通過動力計算可以得到拉索的軸力變動幅值與拉索端部軸向變位幅值之間的關(guān)系。對于由頻率條件判斷出可能發(fā)生參數(shù)振動的拉索，在給定拉索阻尼的前提下，可以確定出引起參數(shù)振動的拉索軸力變化的臨界值，進(jìn)而得出相對應(yīng)的拉索端部軸向位移變動幅值的臨界值。

圖10 參數(shù)振動發(fā)生的條件

假定可能發(fā)生參數(shù)振動的拉索為自振頻率分布在全橋自振頻率的1/2的±5 %范圍內(nèi)的拉索，主橋考慮前30階振型?？赡芤饏?shù)振動的橋梁振型和可能發(fā)生參數(shù)振動的拉索見表1。由表1可知可能發(fā)生參數(shù)振動的拉索主要集中在150 m以上的中長索和超過200 m以上的長索，拉索基頻集中在0.655 9～0.828 5 Hz范圍。

表1 誘發(fā)參數(shù)振動的振型及發(fā)生參數(shù)振動的拉索

可能發(fā)生線性內(nèi)部共振的拉索假定為自振頻率分布在橋梁自振頻率±5 %范圍內(nèi)的拉索。可能引起線性內(nèi)部共振的橋梁振型和可能發(fā)生線性內(nèi)部共振的拉索見表2，由表2可知可能發(fā)生線性內(nèi)部共振的拉索型號型號共64種，含蓋短索、中索、長索，拉索基頻分布在0.372 1～1.438 1 Hz。

由以上分析可知，部分索有可能發(fā)生參數(shù)振動，下面對可能發(fā)生參數(shù)振動的索進(jìn)行了基于響應(yīng)的參數(shù)共振可能性分析。首先，將主橋前30階模態(tài)納入考慮，拉索基頻處于主橋自振頻率一半的±95 %范圍內(nèi)的斜拉索將可能發(fā)生參數(shù)共振。根據(jù)確定的拉索基頻和全橋基頻，按參數(shù)共振的判別條件推導(dǎo)處索力的最大增量；其次計算拉索伸長量，即斜拉索兩支撐點的相對縱向振幅，再按斜拉索與橋面豎向夾角的關(guān)系，反推出主梁或橋塔振動的幅值。當(dāng)主梁或橋塔振幅超過臨界參數(shù)共振允許的主梁或橋塔振幅，則斜拉索將發(fā)生參數(shù)共振；反之，斜拉索將不會發(fā)生參數(shù)共振。整個計算中斜拉索阻尼比按最不利的情況取0.1 %，則拉索的衰減系數(shù)為0.006 28。

表2 誘發(fā)線性內(nèi)部共振的振型及發(fā)生線性內(nèi)部共振的拉索

從表3可知。在推算出的發(fā)生參數(shù)共振的最不利情況下，主梁或橋塔振幅均在2.333 m以上，也就是說斜拉索要發(fā)生參數(shù)共振，則主梁或橋塔的振幅至少要達(dá)到2.333 m。無論是節(jié)段模型還全橋氣彈模型風(fēng)洞試驗研究的結(jié)果表明，主梁最大渦振的振幅均很小，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于上述值。因此該大橋發(fā)生斜拉索參數(shù)共振的阻尼條件不滿足，該橋斜拉索發(fā)生參數(shù)共振的可能性很小。

表3 誘發(fā)參數(shù)振動的振型及發(fā)生參數(shù)振動的拉索條件

由以上分析可得參數(shù)共振機制主要受系統(tǒng)非線性關(guān)系而非阻尼的影響，故調(diào)整局部結(jié)構(gòu)間的頻率關(guān)系比增加阻尼對于抑制斜拉索參數(shù)共振往往更為有效、合理。

3 斜拉索的抑振措施

通過以上分析，針對振動拉索的參數(shù)振動與線性內(nèi)部共振，提出三類拉索振動的控制措施：空氣動力學(xué)措施、結(jié)構(gòu)措施和機械阻尼措施。

(1)空氣動力學(xué)措施。對于斜拉索風(fēng)雨振動，由于拉索振動與水線的形成有密切關(guān)系，通過改變拉索表面形狀以阻止水線的形成，可將PE護(hù)套外表面附加縱向肋條、纏繞螺旋線或在斜拉索表面壓制凹坑。

(2)結(jié)構(gòu)措施。對于參數(shù)共振或渦激振動，目前證明有效的結(jié)構(gòu)措施主要是輔助索方法?？蓪⒏骼髦g用一根或多根輔助索連接起來，形成一個索網(wǎng)。輔助索方法減少了拉索的自由長度，提高了整個索面的剛度，從而對于抑制參數(shù)振動十分有效。

(3)機械減振措施。拉索易于振動的主要原因是拉索具有非常低的結(jié)構(gòu)阻尼，因此增加拉索阻尼是控制拉索振動最直接、有效的方法。因此在拉索和橋面之間安裝阻尼器成為必然選擇。在索錨處(即在梁體拉索鋼套管內(nèi))加設(shè)高阻尼橡膠阻尼器(HDR)是國內(nèi)外廣泛應(yīng)用方法之一。另一類增加拉索阻尼的有效方法是在拉索和橋面之間安裝油阻尼器。