第一類換元積分法的解構(gòu)和重構(gòu)
——兼簡論一元積分學的改革

石德剛，董春芳

(天津冶金職業(yè)技術(shù)學院，天津 300400)

一元積分學與一元微分學有著密切的聯(lián)系，它們共同組成了高等數(shù)學的主要部分——微積分學.現(xiàn)行高等數(shù)學教材，將一元積分學分為不定積分與定積分及定積分的應用三部分。學生按照這樣的學習材料組織順序?qū)W習，不僅費時，而且學習時還會產(chǎn)生如：為什么要先學習不定積分(原函數(shù))？引入原函數(shù)的意義是什么？一定要先學不定積分后學定積分嗎？等諸多疑問。

在對比、剖析國內(nèi)外多種同類教材的基礎(chǔ)上，本文作者結(jié)合自己對一元積分學教學的研究心得，本著學生易學，教師易教的宗旨，對一元積分學知識體系進行解構(gòu)和重構(gòu)，依據(jù)典型學習任務(wù)有機地整合學習內(nèi)容，減輕學生學習一元積分學的負擔。簡述如下：

通過求曲邊梯形的面積和求變速直線運動的路程等實例，指出定積分與導數(shù)一樣也是在解決一系列實際問題的過程中逐漸形成的數(shù)學概念.

通過闡明運用定積分定義通過求積分和的極限求定積分的值不僅是很麻煩的，而且有時是很困難的，甚至可能根本無法求得定積分的值，指出必須尋找一個具有普遍性且行之有效的計算定積分的方法，否則會影響定積分的實用價值.

然后闡明牛頓和萊布尼茨證明了上面得出的結(jié)果具有一般性，并建立了下面的微積分基本公式：

再進一步指出，鑒于牛頓—萊布尼茨公式中的函數(shù)F(x)對計算定積分的重要性，需依據(jù)函數(shù)F(x)的特性(F′(x)=f(x))，引入新概念——原函數(shù)(不定積分)，從而將原本各自獨立的積分與微分聯(lián)系起來，使微分學與積分學成為一個統(tǒng)一的整體——微積分學.

依據(jù)各種積分法的實質(zhì)，學習直接積分法、第一類換元積分法、分部積分法時，不分不定積分與定積分；學習第二類換元積分法時，闡明運用第二類換元積分法時不定積分與定積分的的區(qū)別。下面著重談?wù)劚疚淖髡邔Φ谝活悡Q元積分法所做的解構(gòu)和重構(gòu)。

第一類換元積分法(湊微分法)是一元積分學中求積分的最常用的重要方法。第一類換元積分法是將一元微分學中的復合函數(shù)微分法反過來用于求積分，是當被積表達式不容易求出積分時，通過恒等變形和變量代換，將被積表達式轉(zhuǎn)化為基本積分公式表中的某一被積表達式，然后根據(jù)基本積分表中的某些公式，對新變量進行積分，最后還原求出結(jié)果.第一類換元積分法的關(guān)鍵步驟是“湊微分”，熟練掌握和運用“湊微分”的思想方法，對學習后續(xù)的第二類換元積分法和分部積分法等積分方法有著很重要的作用.

由于“湊微分”沒有一個固定的模式，初學者在學習的過程中往往對要“湊微分”的函數(shù)作出多次嘗試，因此第一類換元積分法是學生學習一元積分學時感到最難以掌握的積分方法。本文對第一類換元積分法的“湊微分”思想的理論依據(jù)進行解構(gòu)和重構(gòu)，總結(jié)出“湊微分”的具體方法。下面介紹作者的工作，并舉例說明如何運用“湊微分”法求積分，以幫助初學者更好地學習和掌握“湊微分”法在積分運算中運用.

一、不定積分形式不變性

運用直接積分法，只能計算一些較簡單的不定積分，因此必須進一步研究求不定積分的方法.積分法作為微分法的逆運算，與微分法中非常重要的復合函數(shù)微分法相對應，積分法中也有不僅要牢記而且必須熟練運用的換元積分法.

二、湊微分法的典型用法及常用湊微分公式

顯然，恰當?shù)剡x取函數(shù)φ(x)是運用湊微分法的關(guān)鍵，但是可導函數(shù)φ(x)有無窮多個，因此φ(x)的選取并無一定的規(guī)律可循.因為具體解題時只使用某些特殊的φ(x)，所以在式(3)中，將可導函數(shù)φ(x)特殊化，即得一些常用的湊微分公式.

1. 在式(3)中，分別令φ(x)=Aarctanx+B(A≠0)、φ(x)=Aarccotx+B(A≠0)、φ(x)=Aarcsinx+B(A≠0)、φ(x)=Aarccosx+B(A≠0)整理得：

具體解題時，對所求不定積分，要先用式(4)或類似于式(4)的公式湊微分，然后再用式(2)類似式(2)的公式求不定積分.

2．在式(3)中，分別令φ(x)=alnx+b(a≠0)、φ(x)=aex+b(a≠0)，整理得：

解

解

解

3．在式(3)中，令φ(x)=axn+b(a≠0)，整理得：

解

5．在式(3)中，分別令φ(x)=asinx+b(a≠0)、φ(x)=acosx+b(a≠0)、

φ(x)=atanx+b(a≠0)、φ(x)=acotx+b(a≠0)，整理得：

解

解

解

解

三、湊微分法的一般用法

(2)當g(x)=f(x)h(x)時(假定f(x)比h(x)復雜)，對f(x)或構(gòu)成f(x)的初等函數(shù)求導，看其導數(shù)是否等于h(x)或h(x)的常數(shù)倍，若是則可以湊微分.本題型一般涉及以下湊微分公式(其中φ(x)是可導函數(shù))：

通常需要先對被積函數(shù)g(x)進行適當?shù)刈冃翁幚砗?，才能按?1)或(2)去做.

解

最后必須指出的是：要高效率地運用十分有效且應用廣泛的湊微分法。要求首先，必須熟練掌握基本積分公式的廣義形式(不定積分形式不變性表明，將基本積分公式中的積分變量換成可微函數(shù)后公式仍成立)；其次，需要熟記常用的湊微分公式，以使被積表達式變形為，從而針對所要求的積分快速選準相應的基本積分公式的廣義形式(湊微分法的目的就是將所要求的積分轉(zhuǎn)化成能使用基本積分公式的廣義形式)；再者需要較多的掌握各種積分類型的特點，以及與之相適應的湊微分公式，同時需要在練習中隨時注意被積函數(shù)的類型和特點，并體會轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的方法，這樣才能增強觀察的敏銳性和積淀成功的經(jīng)驗，從而提高用湊微分法準確、迅速求解不定積分的能力.