基于Copula函數(shù)的電網(wǎng)規(guī)劃指標相關(guān)性分析及建模

丁家滿 唐漸 王清心 杜奕

摘 要： 電網(wǎng)規(guī)劃決策中，忽略指標間的相關(guān)性將影響整個電網(wǎng)規(guī)劃的可靠性和經(jīng)濟性，引起工程計算的誤差，進而影響決策的準確性。電網(wǎng)規(guī)劃指標間不僅存在線性相關(guān)還存在非線性相關(guān)，單純以線性相關(guān)為基礎(chǔ)的分析研究不能完整精確地表達其相關(guān)性。為此，提出基于Copula函數(shù)的電網(wǎng)規(guī)劃指標的相關(guān)性分析及建模方法，并引入了相關(guān)性測度。首先采用核密度估計法確定變量的邊緣分布及圖形觀測法選取Copula函數(shù)，并利用極大似然法進行參數(shù)估計。然后以經(jīng)驗Copula函數(shù)為基礎(chǔ)計算歐氏距離值，評價二元正態(tài)Copula和二元t?Copula兩模型的優(yōu)劣。最后，以某省電網(wǎng)規(guī)劃方案的數(shù)據(jù)為樣本進行實例驗證，結(jié)果表明所提方法構(gòu)造的Copula函數(shù)模型的有效性，不僅能有效刻畫指標間的相關(guān)結(jié)構(gòu)和尾部相關(guān)性，而且能更好地反映指標間的秩相關(guān)性。

關(guān)鍵詞： 相關(guān)性； 電網(wǎng)規(guī)劃； Copula函數(shù)； 核密度估計； 尾部相關(guān)性； 建模

中圖分類號： TN99?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）17?0095?07

Abstract： The correlation between indexes will affect the reliability and economy of the whole power grid planning in the decision of power grid planning， which leads to the error of the engineering calculation， and misleads the accuracy of decision. The linear correlation and nonlinear correlation exist in the power grid planning indexes. The analysis and research only based on a linear correlation can′t express the correlation between indexes completely and precisely. Therefore， the correlation analysis and modeling method of power grid planning indexes based on Copula function is proposed， and the correlation measure is introduced. The kernel density estimation method is used to determine the marginal distribution of the variables. The graph observation method is used to select the Copula function， which is estimated with the maximum likelihood method. The empirical Copula function is adopted to calculate the Euclidean distance， and evaluate the merits of bivariate normal Copula and bivariate t?Copula models. The data of a certain provincial power grid planning scheme is taken as an example for instance verification. The results show that the proposed method is effective to construct the Copula function model， can not only depict the correlation structure and tail correlation between indexes effectively， but also better reflect the rank correlation between indexes.

Keywords： correlation； grid planning； Copula function； kernel density estimation； tail correlation； modeling

0 引 言

電網(wǎng)規(guī)劃是電網(wǎng)建設(shè)的重要環(huán)節(jié)。優(yōu)秀的電網(wǎng)規(guī)劃是保證電網(wǎng)安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟運行的基礎(chǔ)，同時也是保證電力建設(shè)資金合理、有效、充分利用的重要前提。電網(wǎng)規(guī)劃方案作為電網(wǎng)工程的前期工作，具有十分復(fù)雜的特點，其復(fù)雜性表現(xiàn)為指標的不確定、相關(guān)性、規(guī)模大和專業(yè)領(lǐng)域廣。多指標間某個指標的變化會使其他指標對應(yīng)的改變，也就是多隨機變量相互間存在相關(guān)性。如果忽視這種關(guān)系可能引起工程計算中的誤差，并對電力系統(tǒng)安全運行及經(jīng)濟效益造成影響。因此，在電網(wǎng)規(guī)劃過程中有必要對各指標規(guī)律和彼此間的相關(guān)性系統(tǒng)地進行精確建模，以量化電網(wǎng)規(guī)劃中的不確定性給電網(wǎng)帶來的影響，實現(xiàn)電力系統(tǒng)安全經(jīng)濟運行。針對電網(wǎng)規(guī)劃方案中多指標問題，文獻[1]將可靠性評估的方法引入電網(wǎng)規(guī)劃流程，并提出了考慮可靠性、安全性和經(jīng)濟性的指標體系以及綜合評價規(guī)劃方法；文獻[2]構(gòu)建了多權(quán)重因子影響的電網(wǎng)規(guī)劃指標評價體系，并制定了各評價指標的計算方法和評判標準；文獻[3?5]提出電網(wǎng)規(guī)劃方案中多指標的整體評價決策方法；文獻[6]針對配電網(wǎng)規(guī)劃問題，提出一種可靠性指標的改進顯式估算算法，但未考慮前期指標之間存在相關(guān)性；文獻[7]應(yīng)用相關(guān)性分析方法進行指標間的優(yōu)化篩選，但未對篩選的指標做任何處理，導(dǎo)致不能全面的衡量指標的特性。另外在電力系統(tǒng)其他方面的相關(guān)性建模問題中，文獻[8]提出三階多項式正態(tài)變換方法，文獻[9]提出九階多項式正態(tài)變換，但是這兩種方法都是基于線性相關(guān)系數(shù)建模，不適合于描述非線性關(guān)系；文獻[10]采用秩相關(guān)系數(shù)描述全局非線性相關(guān)性，但無法反映全部的相關(guān)特征，如尾部相關(guān)性等。

電網(wǎng)規(guī)劃指標之間往往是線性及非線性相關(guān)都同時存在，單純以線性相關(guān)為基礎(chǔ)的分析研究不能完整精確地表達其相關(guān)性。Copula函數(shù)作為一種刻畫變量之間相關(guān)性機制的工具，構(gòu)造出的模型幾乎包含了所有的線性與非線性相關(guān)性信息，且建模步驟簡單，使用靈活，使用范圍廣，如在電力領(lǐng)域中的最優(yōu)潮流[11]、風(fēng)險評估[12]、概率潮流[13]和可用輸出能力評估等。文獻[14]通過建立基于Copula理論的風(fēng)速與負荷相關(guān)性模型，提出了一種計及二者相關(guān)性的配電網(wǎng)重構(gòu)優(yōu)化方法；文獻[15]提出一種基于核估計理論與Copula函數(shù)相結(jié)合的風(fēng)電場出力相關(guān)性分析方法；文獻[16]以ASV?EVT模型為邊緣分布，運用Copula簇方法研究了QFII和HS300指數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系。利用Copula函數(shù)描述變量間的相關(guān)性的優(yōu)點主要有以下幾點：邊緣分布不受限制，即使是不同分布的隨機變量，其相關(guān)性也可以用Copula函數(shù)描述；Copula函數(shù)可以描述隨機變量間的非線性相關(guān)性，并且對隨機變量進行線性單調(diào)增加變換時，由Copula函數(shù)導(dǎo)出的相關(guān)性測度不發(fā)生改變；Copula函數(shù)可以捕捉變量間特殊的相關(guān)關(guān)系，如非線性，非對稱及尾部結(jié)構(gòu)等，它是一種突破性的非線性相關(guān)模型，更加符合實際情況。

基于以上所述的優(yōu)點與特性，本文用Copula函數(shù)構(gòu)建電網(wǎng)規(guī)劃指標間相關(guān)性模型。以電網(wǎng)規(guī)劃中的供電可靠率和電壓合格率兩個指標的數(shù)據(jù)樣本為例展開了實證研究，驗證了Copula建模的有效性。結(jié)果表明本文提出的方法構(gòu)造的Copula函數(shù)模型能較好地反映兩指標間蘊含的相關(guān)性和指標間尾部的特征，而且能更好地反映指標間的秩相關(guān)性。

1 Copula基本理論與相關(guān)性測度

1.1 Copula的基本理論

Copula函數(shù)定義域為[0，1]的二元分布函數(shù)，其實際意義是連接兩個隨機變量的邊緣分布和聯(lián)合分布，建立邊緣分布和聯(lián)合分布的映射關(guān)系，將邊緣分布和聯(lián)合分布分開研究。令二維隨機變量[X，Y]的聯(lián)合分布函數(shù)為[F]，邊緣分布分別為[H]和[G]，Sklar定理指出存在著一個Copula函數(shù)[C（?）]，使得：

Kendall秩相關(guān)系數(shù)[τ]和Spearman 相關(guān)系數(shù)[ρ]可以通過Copula函數(shù)唯一確定，但Copula函數(shù)的種類繁多，不同的Copula函數(shù)所求出的[τ]不相同，因此相關(guān)性測度的準確性依賴于所選取Copula函數(shù)的擬合度。

2 基于Copula函數(shù)的電網(wǎng)規(guī)劃指標相關(guān)性分析及建模方法

結(jié)合1.1節(jié)所述相關(guān)定理，可將Copula相關(guān)性建模的構(gòu)造步驟分為三部分：首先是確定變量的邊緣分布；然后根據(jù)隨機變量相關(guān)性特點選取合適的Copula函數(shù)；最后根據(jù)所選擇的Copula函數(shù)，估計Copula模型中的未知參數(shù)。

2.1 確定邊緣分布函數(shù)

對電網(wǎng)規(guī)劃的某個指標歷史數(shù)據(jù)做如下處理：利用Matlab畫出指標的頻率直方圖（見圖1），并求得其偏度值為-0.472 0，峰度值為3.057 4；由此可知該指標分布較正態(tài)分布呈現(xiàn)尖峰厚尾特性，并對其進行Kolmogorov?Smirnov檢驗發(fā)現(xiàn)并不服從正態(tài)分布，故本文采用核密度估計法確定指標邊緣分布。設(shè)隨機變量[X]的樣本點為[（x1，x2，…，xn）]，[n]為樣本個數(shù)，其概率密度函數(shù)為[f（x）]，則核密度估計公式為：

2.2 選取合適的Copula函數(shù)

根據(jù)電網(wǎng)規(guī)劃指標間相關(guān)性的特點，選取合適的Copula函數(shù)。常用的Copula函數(shù)包括Gumbel?Copula，Clayton?Copula，F(xiàn)rank?Copula，Normal?Copula，t?Copula。這5種函數(shù)（見表1）可以較好地對二元相關(guān)性進行建模，本文采用圖形法利用Matlab編程畫出變量的二元頻率直方圖選取Copula函數(shù)。假如電網(wǎng)規(guī)劃[X，Y]兩個指標的二元頻率直方圖是非對稱分布，就可以把Gumbel?Copula，Clayton?Copula作為備選。假如兩個指標的[X，Y]的二元頻率直方圖是對稱的，可以將t?Copula，Normal?Copula，F(xiàn)rank?Copula列為備選。

2.3 參數(shù)估計

參數(shù)估計常見方法有極大似然估計、分步極大似然估計和半?yún)?shù)估計，其中前兩種方法需要知道或者估計變量的邊緣分布。由2.1節(jié)提出的核分布估計法可以確定電網(wǎng)規(guī)劃指標的邊緣分布，且文獻[17]指出分步極大似然估計法得到的參數(shù)估計值漸進正態(tài)，并且計算量小，容易實現(xiàn)。因此本文利用分步極大似然估計方法，考慮一般情況，假設(shè)電網(wǎng)規(guī)劃指標[X，Y]，其邊緣分布函數(shù)為[u=Hx]，[v=Gy]；概率密度函數(shù)為[hx，gy]；聯(lián)合概率密度函數(shù)為[fxyxy]；[xi，yi]為樣本點，[i=][1，2，…，n]，由式（3）以及極大似然定義得出似然函數(shù)為：

平方歐氏距離反映了Copula函數(shù)擬合原始數(shù)據(jù)的情況，取值越小，Copula函數(shù)的擬合程度越好。

3 算例分析

本文以電網(wǎng)技術(shù)性能評價指標體系，結(jié)合某省電網(wǎng)規(guī)劃的供電可靠率和電壓合格率的原始數(shù)據(jù)為例進行研究，兩個指標的原始數(shù)據(jù)如表2所示。

3.1 確定指標的邊緣分布

電網(wǎng)規(guī)劃指標邊緣分布的確定可分為參數(shù)估計和非參數(shù)估計兩種方法。核密度估計屬于非參數(shù)法，相比于參數(shù)估計法，其不需要分布的先驗知識和任何概率分布形式的假設(shè)，僅從指標數(shù)據(jù)樣本出發(fā)，研究指標數(shù)據(jù)樣本特征，可通過經(jīng)驗分布驗證核密度估計的準確性。根據(jù)2.1節(jié)提出的核密度估計法，由表2提供的電網(wǎng)規(guī)劃中供電可靠率和電壓合格率兩個指標的歷史數(shù)據(jù)，可確定兩個指標的邊緣分布[H（x），G（y）]。如圖2所示，圖中虛線為核分布估計，實線為經(jīng)驗分布函數(shù)，經(jīng)驗分布函數(shù)是實際分布函數(shù)的一個逼近，可與其對比判斷估計的精準。由圖可知核密度估計的邊緣分布與樣本經(jīng)驗分布基本一致，很好地刻畫了兩個指標的規(guī)律。

3.2 選取適當?shù)腃opula函數(shù)

在確定了供電可靠率的邊緣分布[u=H（x）]和電壓合格率邊緣分布[v=G（y）]后，利用Matlab編程畫出供電可靠率和電壓合格率的二元頻率直方圖，根據(jù)二元頻率直方圖的形狀（見圖3）選取恰當?shù)腃opula函數(shù)結(jié)構(gòu)。

圖3為頻率直方圖，可作為[u，v]聯(lián)合密度函數(shù)（即Copula密度函數(shù)）的估計。[u，v]聯(lián)合密度函數(shù)（即Copula密度函數(shù)）具有對稱的尾部，再參考表1中5種Copula函數(shù)各自的特性，可以初選表1中的Normal?Copula函數(shù)或t?Copula函數(shù)描述供電可靠率和電壓合格率間的相關(guān)模型，最后通過擬合優(yōu)度檢驗確定最終模型。

3.3 參數(shù)估計

3.4 模型的評價

通過比較表3中平方歐氏距離可知，二元Normal?Copula與經(jīng)驗Copula的平方歐氏距離為[d2t=]0.614 9，二元t?Copula與經(jīng)驗Copula的平方歐氏距離為[d2Ga=]0.019 0。因此，在歐氏距離的指導(dǎo)下，可以認為二元t?Copula和經(jīng)驗Copula能更好地擬合供電可靠率和電壓合格率兩個指標間的相關(guān)性。

對比圖4a）和圖5a）的圖形可看出：二元Normal?Copula中相關(guān)參數(shù)[ρ1=0.930 2]與二元t?Copula的相關(guān)參數(shù)[ρ2=0.999 6]相比，二元t?Copula的密度函數(shù)具有更厚的尾部特征，說明該函數(shù)能更好地反映指標變量間尾部具有的相關(guān)性。再分別將圖4b）和圖5b）與圖6對比發(fā)現(xiàn)：圖4b）與圖6在中間部分有明顯差別，說明在此范圍中二元Normal?Copula分布不能很好地反映供電可靠率和電壓合格率的關(guān)系；圖5b）與圖6雖然在底部有細微的差別，但其他部分擬合較好，說明二元t?Copula函數(shù)模型能更好地擬合供電可靠率和電壓合格率之間的關(guān)系。

此外，表3中給出了幾種隨機變量相關(guān)性度量系數(shù)。Pearson系數(shù)表示隨機變量間線性相關(guān)性，Kendall表示隨機變量間的變化趨勢一致相關(guān)性，Spearman表示隨機變量變化一致與不一致的概率之差倍數(shù)。對比可知，二元t?Copula分布的Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)均與經(jīng)驗分布的秩相關(guān)系數(shù)更接近。說明二元t?Copula比二元Normal?Copula能更好地反映供電可靠率和電壓合格率間的秩相關(guān)性。

4 結(jié) 語

電網(wǎng)規(guī)劃指標間的相關(guān)性對后期電力系統(tǒng)的正常運行、風(fēng)險分析具有重要的意義。本文以Copula理論為基礎(chǔ)，提出核密度估計法確定指標的邊緣分布，采用分步極大似然估計法和經(jīng)驗Copula及歐氏距離定理，對所選取的Copula函數(shù)進行參數(shù)估計和Copula函數(shù)模型的擬合優(yōu)度檢驗，使最終選取的Copula模型更貼合實際分布。實例分析結(jié)果表明，二元t?Copula函數(shù)比二元正態(tài)Copula函數(shù)能更好地刻畫供電可靠率和電壓合格率之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，避免了傳統(tǒng)相關(guān)性分析中只關(guān)注相關(guān)程度的缺點，能夠準確地刻畫指標間的尾部特征。

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