某工程無樓板支承的樓梯間剪力墻穩(wěn)定性分析

陳 柯 郟建磊 楊健兵 張 弛 管前黔

(成都基準方中建筑設計有限公司,成都 610011)

0 引 言

高層住宅設計中,采用《高層建筑混凝土結構技術規(guī)程》(以下簡稱《高規(guī)》)附錄D驗算樓梯間處剪力墻穩(wěn)定性時,經常會出現穩(wěn)定性驗算不過的情況。特別是當樓梯間設置在外側,這時樓梯間剪力墻沒有樓層板的支撐作用,按照《高規(guī)》附錄D的要求,該剪力墻的計算高度為全樓通高,這樣剪力墻穩(wěn)定性驗算肯定是不滿足的。但如果考慮了梯段斜板對于剪力墻的支撐作用,剪力墻的計算高度為上下梯段的距離,墻體穩(wěn)定性得到大大改善。本文通過有限元方法驗證了梯板對剪力墻的支撐作用,在計算剪力墻穩(wěn)定性時,可以將梯段斜板看作墻體的支撐點進行穩(wěn)定性計算。同時可以發(fā)現,即使考慮了較大的初始幾何缺陷,剪力墻仍然先發(fā)生強度破壞,混凝土被壓潰,但并未發(fā)生失穩(wěn)。

1 理論基礎

1.1 《高規(guī)》關于剪力墻穩(wěn)定性的規(guī)定

根據國內研究成果并與德國《混凝土與鋼筋混凝土結構設計和施工規(guī)范》(DIN1045)的比較表明,對不同支承條件彈性墻肢的臨界荷載,可表達為統(tǒng)一形式:

(1)

式中:計算長度l0取為βh,β為計算長度系數,可根據墻肢的支承條件確定;h為層高。

1.2 特征值屈曲分析

特征值屈曲是以剛度矩陣的特征值為研究對象,特征值是理想的材料線性和幾何線性結構理論屈曲強度,采用經典歐拉壓桿失穩(wěn)法分析方法進行分析,在有限元中采用的是特征值求解器。

特征值屈曲求解原理是,通過求解結構剛度矩陣特征值λ,再用特征值λ乘以所加荷載Q,得到屈曲臨界載荷。在特征值求解器中,定義在特征值屈曲預測分析步中遞增載荷Q的幅值大小不重要,因為Q會被相應的載荷乘數λ縮放。

針對線性特征值屈曲分析,特征值求解器一般自帶兩種特征值求解方法:盧卡斯(Lanczos)和子空間(Subspace)迭代。

當一個多自由度系統(tǒng)需要求解許多特征模態(tài)時,Lanczos方法通常比較快,但當少于20個特征模態(tài)需要求解時,Subspace方法更快。

1.3 非線性屈曲分析(弧長法)

特征值分析是一種材料線性和幾何線性結構的理論解。但是由于焊接應力、溫度應力、安裝誤差、加工誤差等因素的影響,現實中的結構都會存在一定的初始缺陷,其屈曲臨界載荷與特征值理論解肯定存在一定的差別。另外,由特征值屈曲分析是材料線性和幾何線性的,它不可以考慮構件的材料非線性和幾何非線性,如果在發(fā)生屈曲之前部分構件進入塑性狀態(tài),那么特征值屈曲也是無法模擬的。所以必須利用非線性有限元理論對結構進行考慮初始幾何缺陷、材料彈塑性等實際因素的穩(wěn)定性分析。

目前應用較多的是利用弧長法對結構進行“荷載-位移”全過程跟蹤技術,來達到計算結構整體穩(wěn)定承載力的目的。使用弧長法,能夠建立不穩(wěn)定響應段的靜力平衡狀態(tài),此方法適用于載荷為比例加載,即載荷大小由一個標量參數控制。即便是復雜的不穩(wěn)定響應,應用此方法也能求解。

弧長法本質上就是靜力問題求解,通過附加一個約束方程,就可以應用疊代方法求解收斂點,但是,如果疊代方向判斷錯誤,將導致所謂的跟蹤返回現象,因此疊代方向的判別法對于弧長算法非常重要,其關鍵點就是對每一增量步的最初疊代方向的判別。

圖1描述了弧長法疊代非線性求解的收斂過程。其計算的具體過程如下:

(1) 以增量形式逐漸施加載荷。

(2) 在每一載荷增量中完成平衡疊代來使增量求解達到平衡。

(3) 求解平衡方程:

[KT]{Δu}=λ{Fn}-{Fnr}

(2)

式中:[KT]為切線剛度矩陣;{Δu}為位移增量;{Fn}為外部載荷向量;{Fnr}為內部力向量;λ(-1<λ<1)為載荷因子。

其中,位移增量{Δu}與載荷因子λ通過弧長半徑l相聯(lián)系,其約束方程為:

(3)

(4) 進行疊代,直到λ{Fn}-{Fnr}在允許的范圍內。

圖1 弧長法的收斂過程Fig.1 Convergence of riks method

2 工程概況

某超限高層住宅,底層層高為5.6 m,全樓高度146.75 m。樓梯間設置在外側,樓梯間外側剪力墻無樓層板的支承作用,按照《高規(guī)》附錄D,穩(wěn)定性計算高度為全樓通高146.75 m。墻體兩邊開洞,底層墻體墻厚250 mm,墻體軸力設計值為2 457.8 kN/m2,如圖2所示。

圖2 一層樓梯平面布置圖Fig.2 First floor plan of stairs

采用《高規(guī)》附錄D計算該剪力墻的穩(wěn)定性。當不考慮梯段斜板對墻體的支撐作用時,剪力墻無支撐高度為全樓通高,不滿足規(guī)范要求。當考慮梯段斜板對墻體的支撐作用時,剪力墻無支撐高度為2.8 m,qcr2=7 175 kN/m2>2 457.8 kN/m2滿足規(guī)范要求。

表1《高規(guī)》的墻體穩(wěn)定性驗算結果

Table 1Wall stability check results in Technical Specification for Concrete Structures of Tall Building

3 墻體的簡化模型分析

將該樓梯間簡化為四邊簡支板:

1) 簡化模型一:墻高146.75 m;

2) 簡化模型二:墻高2.8 m。

模型一和模型二:寬度為7.6 mn,墻厚250 mm,混凝土C60,E=36×109N/m2,邊界條件為四邊簡支。

首先根據彈性薄板穩(wěn)定性理論公式求解。

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:b為板的寬度;k為屈曲系數;D為單位寬度板的彎曲剛度;m為半波數(屈曲形狀)。

理論公式計算結果:

1) 模型一:k=4,m=17,Ncr=32 040 kN/m;

2) 模型二:k=9.949,m=1,Ncr=76 015 kN/m。

在求解過程中可以發(fā)現:對于四邊簡支板,當墻高大于墻寬時,失穩(wěn)臨界荷載與墻高無關,與墻寬有關,即146.75 m高的墻與7.6 m高的墻計算結果是相同的。原因是,對于四邊簡支板來說,除有上下水平位移約束外,還有左右水平位移約束,當墻體的高度與寬度比值較小時,左右水平支座對板的約束較小,隨著高度與寬度比值不斷加大,左右水平支座對板的約束不斷加大,屈曲系數k不斷減小。當高度與寬度相等時,屈曲系數k到達最小值4。當高度比寬度大時,屈曲系數約等于4不再減小,如圖3所示。

圖3 屈曲系數k隨h/b變化規(guī)律Fig.3 Variation of k with h/b

采用特征值屈曲方法和考慮初始缺陷的非線性屈曲方法對模型一和模型二進行數值求解。

采用大型通用有限元分析軟件ABAQUS進行建模和計算。使用ABAQUS中的Lanczos特征值求解器進行特征值屈曲分析,使用ABAQUS/ Standard模塊進行非線性屈曲分析。墻體采用殼單元S4R進行模擬。材料本構為彈性。

進行非線性屈曲分析時,需要先進行特征值屈曲分析,得到第一階屈曲模態(tài),再將第一階屈曲模態(tài)做為非線性屈曲分析模型的初始缺陷,通過ABAQUS自帶的非線性屈曲算法(Riks法)進行求解計算。

從屈曲模態(tài)可以看出:當墻高大于墻寬時,四邊簡支板由于左右兩邊支座的約束作用,屈曲模態(tài)是多個半波組成,如圖4所示;當墻高小于墻寬時屈曲模態(tài)為一個半波,如圖5所示。

解析解與數值解求解結果如表2和表3所示。

圖4 簡化模型一的一階屈曲模態(tài)Fig.4 Frist order buckling mode of simplified model Ⅰ

圖5 簡化模型二的一階屈曲模態(tài)Fig.5 Frist order buckling mode of simplified model Ⅱ

表2解析解與數值解計算結果對比

Table 2Comparison of analytical solution and numerical solution

表3簡化模型計算結果匯總

Table 3Results of simplified model

注:數值解一采用特征值屈曲方法,數值解二采用非線性屈曲方法

由表2可以看出:解析解與數值解(特征值屈曲方法)結果基本一致,誤差都在2%以內。說明數值解法是精確可靠的。

由表3可以看出:當考慮了梯段斜板的有利作用時(簡化模型二)比不考慮梯段斜板的有利作用(簡化模型一)的失穩(wěn)臨界荷載提高了大約2.3倍。

4 墻體的精細模型分析

墻體的精細模型同樣采用ABAQUS軟件進行建模和計算,墻體采用殼單元S4R進行模擬,材料本構為彈性。

按實際情況建立有限元模型:①模型一,沒有梯段斜板的模型;②模型二,有梯段斜板的模型,如圖6、圖7所示。

圖6 模型一(沒有梯段斜板)Fig.6 Model Ⅰ without ladder board

圖7 模型二(有梯段斜板)Fig.7 Model Ⅱ with ladder board

可以發(fā)現在彈性分析中,模型二比模型一穩(wěn)定性承載力提高了1倍左右,如表4所示。說明梯段斜板對墻體起到了支持作用,有效減小墻體的無支撐高度。

所以,計算剪力墻穩(wěn)定性時,可以將梯段斜板看作墻體的支撐點進行穩(wěn)定性計算。

圖8 模型一的一階屈曲模態(tài)Fig.8 Frist order buckling mode of model Ⅰ

圖9 模型二的一階屈曲模態(tài)Fig.9 Frist order buckling mode of model Ⅱ

圖10 模型一的非線性屈曲分析結果Fig.10 Nonlinear buckling analysis results for model Ⅰ

雖然樓梯間頂層無樓梯板,剪力墻無支撐長度會大于層高,對穩(wěn)定性墻體穩(wěn)定性不利,但頂層剪力墻軸力很小,一般能滿足《高規(guī)》附錄D的墻體穩(wěn)定性要求。

圖11 模型一的非線性屈曲分析結果Fig.11 Nonlinear buckling analysis results for model Ⅱ

表4有限元法的墻體穩(wěn)定性計算結果

Table 4Finite element method results of wall stability

此外,通過有限元分析結果可以發(fā)現,該墻體并不是簡單無側邊支撐剪力墻,墻體兩邊的深連梁對于剪力墻有一定的約束作用,這樣對于墻體穩(wěn)定性是有利的。再者,中間休息平臺與墻體連接,對墻體也產生了一定的約束作用,對墻體穩(wěn)定性也是有利的。而采用《高規(guī)》附錄D的穩(wěn)定性驗算公式中,均未考慮這些有利影響。

對比簡化模型的計算結果(表3)和精細化模型的計算結果(表4)可以發(fā)現,表3和表4中模型一的計算結果差3倍,模型二的計算結果差2.5倍。分析原因,可以發(fā)現簡化模型和精細化模型在邊界約束條件上是不同的。簡化模型的邊界條件為四邊簡支,而精細化模型由于墻體左右兩邊開洞,如圖2所示,只是洞口上面的連梁部分對其進行約束,約束作用較弱。即在建立精細化模型時該片墻體上下邊采用簡支,墻體左右邊是由連梁對其進行約束的。相比理想簡支邊界條件,連梁對墻體的約束要小很多,約束條件越弱計算結果越小。

5 采用彈塑性有限元模型驗證墻體穩(wěn)定性

將模型一和模型二的混凝土和鋼筋材料設為彈塑性本構模型進行有限元分析,驗證該片墻體穩(wěn)定性。

墻體的彈塑性模型采用ABAQUS軟件進行建模和計算,墻體采用殼單元S4R進行模擬,鋼筋采用ABAQUS殼單元自帶的鋼筋層進行輸入,在該方法中鋼筋以殼元中積分點形式存在的。混凝土本構和鋼筋本構均為彈塑性本構。

混凝土采用混凝土損傷塑性本構(Concrete Damaged Plasticity),本構模型的參數采用《混規(guī)》C60的相關參數,如圖12、圖13所示。鋼筋采用理想彈塑性模型,屈服強度360 MPa。剪力墻水平和豎向分布筋均為10@130。

圖12 混凝土受壓應力-應變曲線Fig.12 Stress-strain curve of concrete under compression

圖13 混凝土受拉應力-應變曲線Fig.13 Stress-strain curve of concrete under tension

模型初始幾何缺陷采用5%一階屈曲模態(tài),如圖14、圖15所示,進行幾何非線性分析。一階屈曲模態(tài)由前面的特征值屈曲分析得到。

由計算結果可知,模型一和模型二在墻體軸力2 457.8 kN/m (墻體實際受到的軸力)作用下并沒有發(fā)生失穩(wěn)。繼續(xù)加載到12 000 kN/m左右時,混凝土已經被壓潰,從而喪失承載能力,此時并沒有發(fā)生失穩(wěn)破壞。此時的軸力12 000 kN/m遠大于按《高規(guī)》計算的考慮梯板支撐作用剪力墻穩(wěn)定性承載力7 175 kN/m。

圖14 模型一的初始幾何缺陷Fig.14 Initial geometric imperfection of modal Ⅰ

圖15 模型二的初始幾何缺陷Fig.15 Initial geometric imperfection of modal Ⅱ

圖16非線性屈曲分析(彈塑性)分析結果Fig.16 Nonlinear buckling (elasto-plastic) analysis results

表5有限元法的墻體穩(wěn)定性計算結果

Table 5Finite element method results of wall stability

6 針對墻體穩(wěn)定性采取的加強措施

為了保證樓梯梯板對剪力墻起到有效的側向支撐作用,墻體穩(wěn)定性采取的加強措施:

(1) 平臺板和斜梯板均增到150 mm厚;

(2) 斜梯板的分布鋼筋為φ12@150錨入剪力墻中;

(3) 梯段斜板按照深梁進行配筋加強,如圖17所示。

圖17 梯段斜板的加強措施Fig.17 Strengthening measures of ladder board

7 結 論

通過前面的分析可以得到:

(1) 當墻體為四邊支承時,墻高大于墻寬時,失穩(wěn)臨界荷載與墻高無關,由于左右兩邊支承的約束作用,屈曲模態(tài)是多個半波組成。

(2) 計算剪力墻穩(wěn)定性時,可以將與墻體可靠連接的梯段斜板看作墻體的支撐點進行穩(wěn)定性計算。

(3) 通過非線性穩(wěn)定性分析(彈塑性)可知,結構先發(fā)生強度破壞,而并未發(fā)生失穩(wěn),此時的軸力遠大于規(guī)范穩(wěn)定性計算限值。

(4) 實際工程中對于因墻體高度較高而又無法增設側向支撐的情況,除了增加墻厚的措施外,還可以通過本文分析方法驗算其墻體穩(wěn)定性。