最大模估計和一類Jensen不等式的應(yīng)用*

邢家省，楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

1 最大模估計和一類Jensen不等式的直接證明

定理1[1-4]設(shè)正整數(shù)k≥2，實數(shù)p>q>0,則對于任意正實數(shù)ai(i=1,2,…,k)，

證明記b=max{ai:i=1,2,…,k},則

定理2[1-4]設(shè)正整數(shù)k≥2，實數(shù)p>q>0，則對于任意實數(shù)ai(i=1,2,…,k)，

證明設(shè)a={a1,a2,…,ak}，‖a‖∞=sup{|ai|:i=1,2,…,k}，則

|ai|≤‖a‖∞i=1,2,…,k，

于是

定理4[1-4]設(shè)a={a1,a2,…,ak}(k為有限正整數(shù)或+∞)，記

‖a‖∞=sup{|ai|:i=1,2,…,k}，

則

(ⅰ)‖a‖∞≤‖a‖p(0

(ⅲ)設(shè)p>q>0，則‖a‖p≤‖a‖q；

證明[1,3]由定理2和定理3的證明方法，即可給出(ⅰ)—(ⅲ)的證明過程；利用(ⅱ)，即可得到(ⅳ).

文獻[1，3]中對定理4(ⅳ)給出的證明相當復(fù)雜，不具廣泛使用性.而這里的證明則簡單直接，具有一般使用性.定理4的結(jié)果是在文獻[1-11]的基礎(chǔ)上給出的，主要來源于文獻[1，3-4，10-11]中的思想.這些結(jié)果可被用來研究lp和Lp空間的性質(zhì).

2 利用最大模估計和一類Jensen不等式求一類數(shù)列極限

例1[1-7]設(shè)m是正整數(shù)，對于任意實數(shù)a1,a2,…,am，證明

證明設(shè)b=max(|a1|,|a2|,…,|am|)，則

證明記βn=max(|a1|,|a2|,…,|an|)，則

證明由已知條件得

3 一類Jensen不等式的多種表現(xiàn)形式

定理6[1,7]設(shè)p>1，則對于?a1,a2>0，a1p+a2p<(a1+a2)p.

定理7[1,7]設(shè)1>q>0，則對于?a1,a2>0，(a1+a2)q

仿照定理1的證明方法可給出定理5—7的證明過程.顯然，定理6和定理7是等價的.利用定理6，可得如下結(jié)論：

定理8設(shè)p≥1，則

(ⅰ)對于?x≥y≥0，(x-y)p≤xp-yp；

(ⅱ)對于任意實數(shù)u,v，|(|u|-|v|)|p≤|(|u|p-|v|p)|.

利用定理7，可得如下結(jié)論：

定理9設(shè)0

(ⅰ)對于?x≥y≥0，xp-yp≤(x-y)p；

(ⅱ)對于任意實數(shù)u,v，|(|u|p-|v|p)|≤|(|u|-|v|)|p≤|u-v|p.

利用定理9可得到數(shù)列極限和函數(shù)極限一個性質(zhì)的證明[12-15]，也可得到一些函數(shù)的一致連續(xù)性和Holder連續(xù)性[8-15].

定理10[8-15]對于?x>0，當α>1時，1+xα<(1+x)α.

證明考慮f(x)=(1+x)p-(1+xp)，顯然f′(x)=p(1+x)p-1-pxp-1>0(x>0)，f(0)=0，故當x>0時，f(x)=(1+x)p-(1+xp)>0.

定理11[8-15]對于?x>0，當0<β<1時，1+xβ>(1+x)β.

定理11可以用微分方法單獨證明，也可由定理7給出.顯然，定理10和定理11是等價的.

應(yīng)用歸納法即可推得定理1.

定理12[8-15]設(shè)a1,a2,a3>0，則

證明顯然

故有

a13+a23+a33=a12a1+a22a2+a32a3≤(a12+a22+a32)max(a1,a2,a3)<

對于定理12，這里給出的證明過程隱含著一般性的方法.定理12已得到普及，定理1可以看作是定理12的發(fā)展[8-15].