超實(shí)函數(shù)理論與微積分新理論的創(chuàng)新

四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

眾所周知，從幾何的角度，微積分理論首先要解決的兩個(gè)問題是：過曲線上一點(diǎn)的切線的斜率和曲邊梯形的面積，前者是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，后者是求函數(shù)的定積分。因此，本文分三部分，即超實(shí)函數(shù)理論簡(jiǎn)介、導(dǎo)數(shù)部分和定積分部分?，F(xiàn)在分別敘述如下：

一、超實(shí)函數(shù)理論簡(jiǎn)單介紹

超實(shí)函數(shù)定義：令xs=x+dx為超實(shí)變量，則實(shí)變量x表示超實(shí)變量xs在數(shù)軸上的位置，dx表示與超實(shí)變量xs對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的性質(zhì)（在這里請(qǐng)?zhí)貏e注意，dx與微分的概念有本質(zhì)的區(qū)別），dx為無限小量，它小于任意正實(shí)數(shù)，但是不等于0，它的幾何意義為超實(shí)變量xs在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的無限小長(zhǎng)度。與超實(shí)變量xs對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為超實(shí)數(shù)點(diǎn)，與超實(shí)數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的集合為超實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，與超實(shí)變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)為超實(shí)函數(shù)。

根據(jù)上面的定義，如果有實(shí)變量y和x，則有超實(shí)變量ys=y+dy和xs=x+dx，如果有實(shí)函數(shù)y=f（x），則有超實(shí)函數(shù)ys=f（xs）=f（x+dx），又因?yàn)閥s=y+dy，所以dy=ys-y=f（x+dx）-f（x），公式dy=f（x+dx）-f（x）很重要，以后經(jīng)常用到。

對(duì)于超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx），在研究康托爾集合論存在的錯(cuò)誤的過程中起了重要的作用，并且已經(jīng)認(rèn)識(shí)到它是一個(gè)客觀真實(shí)存在的函數(shù)?，F(xiàn)在我們?nèi)サ暨@個(gè)函數(shù)中的dx，就得到與上述超實(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)函數(shù)f（x）,由于實(shí)函數(shù)f（x）是客觀真實(shí)存在的超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）去掉dx而得到的函數(shù)，因此實(shí)函數(shù)f（x）相對(duì)于超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）而言，就是一個(gè)失真函數(shù)。這個(gè)概念一時(shí)難以理解，在后面使用超實(shí)函數(shù)理論論述微積分理論得到好處的時(shí)候，人們就會(huì)認(rèn)識(shí)到我們?yōu)槭裁窗褜?shí)函數(shù)f（x）稱之為失真函數(shù)。

二、導(dǎo)數(shù)部分

根據(jù)上述超實(shí)函數(shù)理論，如果有實(shí)函數(shù)y=f（x），就有超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx），并且 dy=f（x+dx）-f（x），如果（x,y）為曲線 y=f（x）上的任意一點(diǎn)，則dx的幾何意義為該點(diǎn)沿x軸方向的無限小長(zhǎng)度，dy的幾何意義為該點(diǎn)沿y軸方向的無限小長(zhǎng)度。這時(shí)，以dx和dy為兩個(gè)直角邊的直角三角形是一個(gè)無限小三角形，則即為過曲線y=f（x）上的任意點(diǎn)（x,y）的切線的斜率，同時(shí)也就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)上述理解，我們就可以給出超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）和與之對(duì)應(yīng)的實(shí)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的定義如下：

定義 如果有實(shí)函數(shù)y=f（x），則有與之對(duì)應(yīng)的超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx），這時(shí)即為超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）的導(dǎo)數(shù)，如果去掉含有無限小dx的部分，就得到實(shí)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)。

超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）和與其對(duì)應(yīng)的實(shí)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)上述的導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算出來，現(xiàn)在舉例說明如下：

如果有實(shí)函數(shù)y=x2和與其對(duì)應(yīng)的超實(shí)函數(shù)ys=（x+dx）2，則超實(shí)函數(shù)ys=（x+dx）2的導(dǎo)數(shù)即為果去掉dx ，則實(shí)函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)就是y'=2x。

從以上論述可以看出，導(dǎo)數(shù)的定義和計(jì)算都異常簡(jiǎn)單明了，和經(jīng)典微積分比較，沒有使用極限理論，這都是因?yàn)槭褂贸瑢?shí)函數(shù)理論的結(jié)果。

微積分的理論在歷史上經(jīng)歷了非常曲折的道路，萊布尼茨的微積分理論，在歷史上曾經(jīng)取得輝煌的成就，但是由于貝克萊悖論而被否定了，被現(xiàn)在的以極限理論為基礎(chǔ)的所謂經(jīng)典微積分所取代。難道以極限理論為基礎(chǔ)的經(jīng)典微積分就不存在問題嗎？日本數(shù)學(xué)家野口 洪在他的《拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)和方法》一書中認(rèn)為，極限理論存在不明確性的問題，并且指出，日本的教科書是使用拓?fù)鋵W(xué)的方法來定義導(dǎo)數(shù)的。

此外，以極限理論為基礎(chǔ)的經(jīng)典微積分理論還存在循環(huán)定義的邏輯問題。因?yàn)檠h(huán)小數(shù)是使用極限的概念來定義的，而導(dǎo)數(shù)又一次使用極限概念來定義，因此就出現(xiàn)了循環(huán)定義的邏輯問題。為了解決這個(gè)問題，數(shù)學(xué)家們又給出了使用區(qū)間套的理論來定義循環(huán)小數(shù)，這是否就解決了問題呢？仍然是一個(gè)問題。由此可見，以極限理論為基礎(chǔ)的經(jīng)典微積分存在的問題，并不比萊布尼茨的微積分理論少，而我們使用了超實(shí)函數(shù)的理論，上面的所有問題都一掃而光，這也就是我們?yōu)槭裁匆褂贸瑢?shí)函數(shù)理論對(duì)微積分理論加以創(chuàng)新的原因。

三、定積分部分

1．定積分的定義

首先我們研究使用定積分方法來計(jì)算x軸上線段的長(zhǎng)度。根據(jù)超實(shí)函數(shù)的理論，超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）是客觀真實(shí)存在的函數(shù)，而與之對(duì)應(yīng)的實(shí)函數(shù)y=f（x）則是超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）去掉dx的一個(gè)失真函數(shù)，同時(shí)也可以說，實(shí)函數(shù)y=f（x）是超實(shí)函數(shù)ys=f（x+dx）的一個(gè)伴隨函數(shù)。同樣的道理，實(shí)變量x也可以說是超實(shí)變量xs=x+dx的一個(gè)伴隨變量。因此，當(dāng)我們說x軸上的任意點(diǎn)x，則dx就表示x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的性質(zhì)，它的幾何意義即為x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的無限小長(zhǎng)度。令a和b分別為x軸上的兩個(gè)點(diǎn)，并且a＜b，則b-a即為上述兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，這個(gè)長(zhǎng)度應(yīng)該等于兩點(diǎn)間所有的點(diǎn)的無限小長(zhǎng)度的算數(shù)和，即這就是使用定積分來計(jì)算x軸上線段的長(zhǎng)度的表達(dá)式。

眾所周知，定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積?，F(xiàn)在我們來研究以x軸上a和b兩點(diǎn)間的線段為底邊，以函數(shù)y=f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積的定積分的計(jì)算方法。

如果x為a和b兩點(diǎn)間的一個(gè)任意值，x點(diǎn)的無限小長(zhǎng)度為dx，則f（x）dx為垂直于x軸，并且與x點(diǎn)對(duì)應(yīng)的以dx為底邊，以f（x）為高的無限小的長(zhǎng)方形的面積。則要求的曲邊梯形的面積即為a和b間所有的x對(duì)應(yīng)的上述的長(zhǎng)方形的面積的算數(shù)和。即上述的曲邊梯形的面積根據(jù)對(duì)定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積的理解，可以給出定積分的定義如下：

定義 如果有連續(xù)函數(shù)f（x），則在區(qū)間[a,b]上的定積分為

其中a為定積分的下限，b為定積分的上限，[a,b]為積分區(qū)間，f（x）dx為被積式。

2．定積分的計(jì)算

從以上的敘述中可以看出，定積分的定義和計(jì)算公式的導(dǎo)出，不僅沒有用使用極限的理論，而且異常簡(jiǎn)單明了，這充分體現(xiàn)了超實(shí)函數(shù)理論的優(yōu)越性。

這種微積分理論，由于使用了超實(shí)函數(shù)的理論，因此，這種微積分理論可以叫作超實(shí)微積分。