基于脈沖時(shí)滯微分方程構(gòu)建人體內(nèi)酒精擴(kuò)散模型

宋泓慶,宋子琪,李森

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇 常州 213032)

0 引言

合理飲酒對(duì)健康生活起著重要的作用。自2016年國家頒布了新的駕駛員血液酒精含量的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)以來，人體酒精殘留模型被廣泛研究。朱春浩[1]認(rèn)為可以利用房室模型和微分方程計(jì)算酒精在人體內(nèi)的體液濃度，用以指導(dǎo)日常飲酒。陳之恒等[2]445-458研究了消化系統(tǒng)中的酒精消除率、酒精從消化系統(tǒng)進(jìn)入血液循環(huán)系統(tǒng)的吸收轉(zhuǎn)換率，并計(jì)算出不同種類的酒在體液循環(huán)系統(tǒng)中酒精濃度達(dá)到峰值的時(shí)間。王毅等[3]確定了酒精在人體中從消化系統(tǒng)進(jìn)入體液，以及從體液中滲出到體外的速度系數(shù)，并根據(jù)每天的喝酒量算出可安全駕車的限定時(shí)間。宋秀英、李世全、蔡建平等、孫保炬、趙梅春等[4-8]證明了微分方程模型和房室模型在人體酒精分解研究中的正確性及準(zhǔn)確性。

上述研究都是基于酒精在較長時(shí)間內(nèi)勻速進(jìn)入人體中的情況，然而，飲酒時(shí)酒精往往是瞬時(shí)進(jìn)入人體的。脈沖時(shí)滯微分方程可以更好地描述某些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在固定或者不固定時(shí)刻的變化規(guī)律或者跳躍。因此，本文采用具有脈沖擴(kuò)散效應(yīng)的時(shí)滯微分方程模型對(duì)人體內(nèi)酒精含量進(jìn)行研究。

1 脈沖擴(kuò)散效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 模型的建立

根據(jù)陳之恒等[2]447的研究，體重為70 kg的男性飲用40 960 mg的酒精，體液中酒精含量在16 h內(nèi)的變化如表1所示。

表1 體液中酒精含量變化時(shí)刻表

下面對(duì)模型做出如下假設(shè)：

1)人體內(nèi)酒精轉(zhuǎn)移速率與酒精的濃度成正比例，這種轉(zhuǎn)移交換過程遵循質(zhì)量守恒定律；

2)酒精從胃部向體液的轉(zhuǎn)移速率及排出體外的速率分別與胃部和體液中的酒精濃度成正比；

3)肝臟對(duì)酒精分解速率保持不變；

4)每一時(shí)刻，酒精在體內(nèi)分布均勻；

5)測(cè)量的血液的酒精含量即為中心室的酒精含量；

6)體液總體積不變；

7)酒精只會(huì)通過體液排出體外；

8)忽略人對(duì)酒精的敏感度以及對(duì)酒精分解能力的個(gè)體化差異。

關(guān)于房室模型，究竟取幾個(gè)房室比較好沒有準(zhǔn)確的定論。通常的做法是先取1個(gè)，如果達(dá)不到滿意的結(jié)果就增加1個(gè)，甚至可以采用非線性結(jié)構(gòu)，直到滿意為止。本文選取2個(gè)房室：中心室(消化系統(tǒng))和周邊室(血液)。建立二房室的微分方程模型并進(jìn)行求解。

為了便于模型分析，我們把飲酒方式分為連續(xù)性飲酒和間歇性飲酒。間歇性飲酒即每隔一段時(shí)間攝入酒精；連續(xù)性飲酒即一次性持續(xù)攝入酒精。下面針對(duì)連續(xù)性飲酒展開研究。

x1(t)表示t時(shí)刻消化系統(tǒng)中的酒精含量(單位：mg)，x2(t)代表t時(shí)刻血液循環(huán)系統(tǒng)中的酒精含量(單位：mg)，k1為消化系統(tǒng)中的酒精吸收率，k2為血液系統(tǒng)中的酒精消除率。由于是一次性攝入酒精，因此消化系統(tǒng)中的酒精含量初始值為攝入酒精的量，建立微分方程組如下：

根據(jù)一階微分方程組解法可以求出該微分方程組的解為

Peter Lodrup，“Challenges to an Established Paternity － Radical Changes in Norwegian Law”，International Survey of Family Law，353，2003，p．357．

根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)(見表1)使用前15組數(shù)據(jù)利用MATLAB進(jìn)行非線性最小二乘擬合，擬合結(jié)果如下：k1=2.007 6,k2=0.188 5。

擬合優(yōu)度為97.73%，結(jié)果說明擬合效果非常好，k1、k2適應(yīng)度很高。擬合圖如圖1所示。

圖1 體液中酒精含量擬合圖

經(jīng)代入第16組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，得出的結(jié)果為296.29 mg，與搜集的數(shù)據(jù)相差109.61 mg。

人們?cè)陲嬀频倪^程中，酒精通常并不是勻速進(jìn)入胃中，而是瞬時(shí)進(jìn)入，如一飲而盡會(huì)導(dǎo)致胃中酒精的突然增多。此時(shí)，可以將該過程視為脈沖過程，建立如下微分方程組：

其中：P表示在tk時(shí)候的飲酒量；x0表示人體體液中初始時(shí)刻酒精量。因此可以得出，每隔λ小時(shí)喝一杯酒，則酒精含量就可以表示為

考慮到酒精在人體內(nèi)的轉(zhuǎn)移過程，即：酒精從消化系統(tǒng)擴(kuò)散至體液，由體液擴(kuò)散至體外，可以建立酒精在人體中具有擴(kuò)散效應(yīng)的脈沖數(shù)學(xué)模型如下：

該系統(tǒng)假設(shè)某人在飲酒的時(shí)候，每次都一飲而盡，所以酒精每次都是瞬時(shí)進(jìn)入胃中，該微分方程組中n為飲酒杯數(shù)，τ為從胃中擴(kuò)散到體液中所產(chǎn)生的時(shí)間延遲。當(dāng)t(tn,tn+1]時(shí)，得到的解為

1.2 數(shù)值模擬

根據(jù)白酒酒杯的大小，可以假設(shè)每杯酒的酒精量為10 mL，一共飲用10杯酒，且喝酒時(shí)長為1 h，則t0=0，P=10，n=10，k1=2.007 6，k2=0.188 5，λ=0.05。使用MATLAB進(jìn)行相關(guān)編程并進(jìn)行數(shù)值模擬，得出胃中酒精含量如圖2所示。

圖2 胃中酒精含量數(shù)值模擬

根據(jù)圖2可以看出，每隔3 min喝一杯酒，胃中的酒精含量毫無疑問在最后一杯的時(shí)候達(dá)到最大值，根據(jù)體液中酒精含量的解

e-k2(t-t0)]

可知，大約0.5 h后，伴隨著酒精的脈沖擴(kuò)散，血液中酒精濃度達(dá)到峰值，此時(shí)體液中酒精濃度也相應(yīng)地達(dá)到最高。

2 酒后時(shí)間控制

根據(jù)上述思路進(jìn)行編程，得出飲用了15 260 mg的酒精后，體液中酒精變化的趨勢(shì)如圖3所示。

圖3 體液中酒精含量示意圖

根據(jù)國家最新頒布的政策，酒后駕駛分兩種：

1)100 mL體液中酒精含量達(dá)到20 mg但不足80 mg，屬于飲酒駕駛;

2)100 mL體液中酒精含量達(dá)到或超過80 mg的，屬于醉酒駕駛。

由擬合結(jié)果可以看出，飲酒后，在時(shí)間段[0.081 5 h,13.125 4 h]內(nèi)，駕車都是屬于酒后駕車，而在時(shí)間段[0.543 5 h,3.824 5 h]屬于醉駕行為。因此，可以得出:飲酒后的13 h內(nèi)不能駕車;超過13 h后，才符合國家標(biāo)準(zhǔn)。

3 結(jié)論

本文在對(duì)人體內(nèi)酒精含量研究基礎(chǔ)上建立了具有脈沖擴(kuò)散效應(yīng)的時(shí)滯微分方程模型。由于喝酒時(shí)，酒精并非均勻進(jìn)入人體，而且酒精的擴(kuò)散具有一定的時(shí)滯。本文利用醫(yī)藥學(xué)動(dòng)力理論建立的二房室模型，模擬藥物擴(kuò)散過程，計(jì)算過程清晰。通過理論分析和利用MATLAB數(shù)值模擬，對(duì)所建立的模型進(jìn)行了準(zhǔn)確的求解，使得結(jié)果更加貼近于實(shí)際，具有廣泛的應(yīng)用性，為有關(guān)部門給出相關(guān)建議時(shí)，提供依據(jù)。