理論水驅曲線的提出及其與產量遞減曲線的關系探討*

張金慶 楊仁鋒

（1.海洋石油高效開發(fā)國家重點實驗室 北京 100028； 2.中海油研究總院有限責任公司 北京 100028）

準確的產量預測是油田產量規(guī)劃、方案編制及動態(tài)跟蹤支持的重要依據(jù)，是油藏動態(tài)管理的核心所在［1-3］，決定著投資金額及經濟效益。目前較常用的產量預測方法為水驅曲線法及產量遞減預測法，很多學者致力于改進上述兩種方法以達到更高的預測精度［4-14］，但對兩種方法的內在聯(lián)系探討得不多。在實際應用時，部分學者傾向于應用其中一種方法，部分學者傾向于兩者均使用，再根據(jù)經驗判斷如何取值。本文從相對滲透率曲線和物質平衡原理出發(fā)，推導出了理論水驅曲線及產量遞減曲線（定生產壓差及定液量生產條件下），探討了兩者間的關系，并通過油田實際生產資料對理論推導進行了驗證。本文研究成果對深化水驅規(guī)律及產量遞減規(guī)律的認識以及提高產量預測精度具有一定的理論價值和借鑒意義。

1 理論水驅曲線的提出

目前很多學者致力于水驅曲線的理論研究，但仍存在適用條件受限、預測結果差異較大等問題［15-18］。本文從相滲曲線及物質平衡方程出發(fā)，推導出理論水驅曲線模型，具體推導過程如下。

忽略重力和毛管力的影響，分流量方程為

式（5）展示了含水率與出口端含水飽和度的相關關系。Welge方程建立了平均含水飽和度與出口端含水飽和度的相關關系，即

筆者從理論上解決了平均含水飽和度與出口端含水飽和度的相關關系［19］，即

張宏友等［20］利用流管法也證明了含水飽和度與出口端含水飽和度可近似為線性關系。

將式（8）代入式（7），可得

式（9）的初始條件為：Swe＝Swi，fw＝0。式（9）積分后可得

式（12）的初始條件為：Wp＝0，Lp＝Np＝Npo。

將式（12）分離變量并積分可得

式（13）即為理論水驅曲線模型，其揭示了累積油量與累積液量的相關關系，各項參數(shù)的物理內涵十分清晰。

則式（13）可寫成

式（18）為理論水驅曲線簡化模型。理論水驅曲線模型揭示了累積開發(fā)指標與可采儲量、相滲參數(shù)、Welge方程系數(shù)等參數(shù)的函數(shù)關系。由于Welge方程系數(shù)ω與束縛水飽和度、殘余油飽和度、油水相指數(shù)以及油水黏度比有關［19］，因此理論水驅曲線亦與上述參數(shù)有關。

2 見水后產量遞減曲線的理論推導

油田實際生產過程中常用的工作制度有兩種：定液量生產、定生產壓差生產，因此分兩種情況推導見水后產量遞減曲線模型。

2.1 定生產壓差條件下產量遞減曲線

注水保持地層壓力情況下，生產壓差基本保持不變，則

平均含水飽和度與出口端含水飽和度相關關系見式（8），將其代入式（23）可得

油水兩相滲透率由式（1）、（2）表示，代入式（24）積分可得

在t＝0時，可得初始產油量為

式（31）即為定生產壓差條件下推導出的產量遞減曲線模型，形式上為雙曲遞減，遞減指數(shù)為

當no＝1時，n＝0，遞減模式變?yōu)槌Ｓ玫闹笖?shù)遞減，此時相滲曲線變成一條直線（通常裂縫發(fā)育儲層滿足no＝1）；當no→∞時，n＝1，遞減模式變?yōu)槌Ｓ玫恼{和遞減，此時相滲曲線下凹程度較大。

2.2 定液量生產條件下產量遞減曲線

根據(jù)遞減率理論公式

將式（34）代入式（33），可得遞減率計算公式為

式（39）即為定液量生產條件下推導出的產量遞減曲線模型，形式上仍為雙曲遞減，遞減指數(shù)為ω。當ω＝0時，遞減模式變?yōu)槌Ｓ玫闹笖?shù)遞減；當ω＝1時，遞減模式變?yōu)槌Ｓ玫恼{和遞減。

2.3 遞減曲線本質規(guī)律分析

調研發(fā)現(xiàn)諸多學者開展過產量遞減規(guī)律的研究［21-29］，但推導過程中進行了一定程度的簡化，因此忽略出口端含水飽和度與油藏平均含水飽和度的差異，將式（23）簡化為

采用不同的相對滲透率曲線表達式，代入式（40）中積分可以得到不同的產量遞減方程。表1為不同相對滲透率表達式對應的產量遞減模型。表1中，a、b、no分別為相對滲透率曲線擬合系數(shù)。

表1 不同相對滲透率表達式對應的產量遞減模型Table1 Production-decline models with different relative permeability equations

通過本文的理論分析，可以得出如下2個方面的認識：

1）無論是定生產壓差生產還是定液量生產，產量遞減通常情況下為雙曲遞減，滿足一定特殊數(shù)學條件時才會出現(xiàn)指數(shù)遞減與調和遞減。

2）產量遞減影響因素較多，但產量遞減反映的內在規(guī)律為：隨著注水開發(fā)的進行，含油飽和度逐漸降低（物質平衡規(guī)律的體現(xiàn)）導致油水相對滲流能力的變化（油相相對滲流能力的減弱以及水相滲流能力的增加）。

3 理論水驅曲線與見水后產量遞減曲線的關系分析

從上述理論水驅曲線與見水后產量遞減曲線的推導過程可以看出，兩種方法的理論基礎均是相對滲透率曲線和物質平衡方程，即兩者本質上應是統(tǒng)一的。

定液量生產條件下在推導出遞減率表達式時直接引用了理論水驅曲線方程，其內在規(guī)律必然是統(tǒng)一的。下面進一步分析兩種方法的內在聯(lián)系。

式（27）建立的是見水后累計產油量方程，將無水采油期的油量加入后可得

事實上，無論是定液量生產條件，還是定生產壓差生產條件，遞減規(guī)律在通常情況下均為雙曲遞減規(guī)律，因此對比式（41）和式（44）可以得到

與式（32）比較可以得到，遞減指數(shù)與Welge方程系數(shù)相關關系為

即遞減指數(shù)與Welge方程系數(shù)內涵是一致的。

通過上述論證過程可以得出如下認識：

1）理論水驅曲線與產量遞減曲線在本質上是統(tǒng)一的，均體現(xiàn)出的是隨著開發(fā)的進行，含油飽和度逐漸降低導致油水相對滲流能力變化，進而體現(xiàn)在開發(fā)指標變化規(guī)律上。

2）無論是定壓差生產條件還是定液量生產條件，遞減規(guī)律通常為雙曲遞減模式，在滿足一定的數(shù)學條件下可表現(xiàn)為指數(shù)遞減和調和遞減。由于理論水驅曲線推導過程中沒有限制條件，因此理論水驅曲線應用范圍更大。

3）理論水驅曲線與產量遞減曲線方程系數(shù)的物理內涵是統(tǒng)一的。在定壓差生產條件下，遞減指數(shù)等于（no－1）／no；在定液量生產條件下，遞減指數(shù)為ω，ω除與no有關外，還與流度比M和nw有關，但含水趨于1時，ω趨于遞減指數(shù)n，即（no－1）／no。

4 實例應用

X油田目前超過80%的生產井已見水，整個油田含水率達到37.5%，部分井已達到中高含水階段。以X-101井為例進行分析，探討兩種方法的統(tǒng)一性。該井生產動態(tài)曲線見圖1，已表現(xiàn)出見水后產量遞減規(guī)律，利用理論水驅曲線與產量遞減曲線分別對見水后實際生產數(shù)據(jù)進行擬合。

圖1 X油田X-101井生產動態(tài)曲線Fig.1 Actual dynamic curves of Well X-101 in X oilfield

基于理論水驅曲線，得出該井累計產油量與累計產液量的函數(shù)關系式為

基于產量遞減曲線，得出該井累計產油量與生產時間的函數(shù)關系式為

通過分析式（47）、（48）可以看出，兩種方法得出的可采儲量分別為9.221 2 MMbbls（Lp→∞）、9.213 8 MMbbls（t→∞），冪函數(shù)指數(shù)分別為0.378 5、0.385 1，差別均較小，驗證了兩種方法內在規(guī)律的統(tǒng)一性。

圖2為該井利用理論水驅曲線預測的結果，可以看到計算值與實際值擬合精度較高，相關系數(shù)超過0.994；利用該井最后一個月的平均產液量2 580 bbls／d，預測到2018年年底累產油達到8.441 2 MMbbls。圖3為該井利用見水后產量遞減曲線預測的結果，可以看到計算值與實際值擬合精度較高，相關系數(shù)超過0.991；預測到2018年年底累產油達到8.456 5 MMbbls，與理論水驅曲線預測結果十分接近。

圖2 X油田X-101井理論水驅曲線擬合及預測圖Fig.2 Analytical waterflooding curves history match and forecasting curves of Well X-101 in X oilfield

圖3 X油田X-101井產量遞減模型擬合及預測圖Fig.3 Production decline model history match and forecasting curves of Well X-101 in X oilfield

利用兩種方法對該油田其他高含水井進行了分析，冪指數(shù)差異均較小，也很好地驗證了兩種方法的統(tǒng)一性。但分析時需要注意：

1）擬合時建議采用高含水階段數(shù)據(jù)。

2）整個數(shù)據(jù)段在選取時務必注意是否存在補孔、卡堵水、改層等調整措施，如存在上述措施則不能直接應用，需要對數(shù)據(jù)進行劈分后再做分析。

3）兩種方法對比時選取的數(shù)據(jù)段務必保持一致。

5 結論及認識

1）基于相對滲透率曲線表達式及物質平衡方程推導出理論水驅曲線，揭示了累積開發(fā)指標與地質儲量、相滲參數(shù)、Welge方程系數(shù)等相關關系；分定液量生產條件、定壓差生產條件下推導出見水后產量遞減曲線，指出遞減指數(shù)取決于Welge方程系數(shù)，通常情況下遞減模式為雙曲遞減，但在不同的數(shù)學條件下可表現(xiàn)出指數(shù)遞減及調和遞減。

2）研究表明理論水驅曲線與產量遞減曲線在本質上是統(tǒng)一的，均體現(xiàn)了隨著注水開發(fā)的進行，含油飽和度逐漸降低導致油水相對滲流能力變化，進而體現(xiàn)在開發(fā)指標變化規(guī)律上。

3）油田實際生產資料驗證了理論水驅曲線與產量遞減曲線的本質控制因素與內在統(tǒng)一性。在油藏實際生產過程中，控制條件經常發(fā)生改變，注采也不一定平衡，開發(fā)前期很多油藏采用衰竭開發(fā)，開發(fā)后期往往進行綜合調整，這些均會影響綜合遞減率，并體現(xiàn)在公式系數(shù)會發(fā)生相應改變。

符號注釋

Swe—出口端含水飽和度，f；

ˉSw—平均含水飽和度，f；

Swi—束縛水飽和度，f；

Sor—殘余油飽和度，f；

Kro（Sw）、Krw（Sw）—油、水相相對滲透率，f；

Kro（Swi）—束縛水條件下油相端點值，f；

Krw（Sor）—殘余油條件下水相端點值，f；

ω—Welge方程系數(shù)，f；

fw—含水率，f；

Bo、Bw—原油、地層水體積系數(shù)；

f′w—含水率導數(shù)，f；

N—地質儲量，cm3；

Np—累積產油量，cm3；

NR—可采儲量，cm3；

Npo—無水采油期累產油量，cm3；

Lp—累產液量，cm3；

Qo、Ql—日產油量、日產液量，cm3；

K—油層絕對滲透率，μm2；

h—油層厚度，cm；

μo、μw—原油、地層水黏度，mPa·s；

Δp—生產壓差，10－1MPa；

re—井控半徑，cm；

rw—井徑，cm；

s—表皮系數(shù)，無因次；

Vp—井控范圍孔隙體積，cm3；

t—見水后生產時間，s；

a、b—擬合參數(shù)，與孔喉分布以及潤濕性有關；

水相指數(shù)nw、油相指數(shù)no是取決于儲層巖石孔隙結構和潤濕性的2個指數(shù)，其變化范圍為2～4。