基于一階差分修正指數(shù)曲線法的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)

于 燁，張慧君，李孝輝

(1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，陜西 西安 710600;2.中國(guó)科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600;3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049;4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100049)

0 引言

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中星載原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)在滿足實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)精密單點(diǎn)定位的需求和提供衛(wèi)星自主導(dǎo)航所需的先驗(yàn)信息方面具有重要意義[1-3]。

首先，在動(dòng)態(tài)精密單點(diǎn)定位中，為了獲得高準(zhǔn)確度的定位結(jié)果，需采用預(yù)報(bào)鐘差參數(shù)參與計(jì)算；其次，在衛(wèi)星自主導(dǎo)航中，要求地面預(yù)報(bào)長(zhǎng)期的鐘差作為先驗(yàn)信息，以在沒有地面站支撐的條件下，導(dǎo)航衛(wèi)星自主完成軌道確定和廣播星歷播發(fā)，所以提高衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度一直是國(guó)內(nèi)外衛(wèi)星導(dǎo)航定位研究的熱點(diǎn)之一[4-9]。但是，由于星載原子鐘非常敏感，極易受到外界和自身因素的影響而很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律。因此，建立精確的原子鐘運(yùn)行模型非常困難，相應(yīng)地準(zhǔn)確預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差也非常困難。為此多種鐘差預(yù)報(bào)模型相繼發(fā)展，如:二次多項(xiàng)式模型(Quadratic Polynomial Model, QPM)、修正指數(shù)曲線法(Modified Exponential Curve Method, MECM)等[10-12]。這些方法分別適用于不同條件下導(dǎo)航衛(wèi)星原子鐘鐘差的短期、中期和長(zhǎng)期預(yù)報(bào)，但它們均有各自的適用范圍和局限性。例如：二次多項(xiàng)式模型它是以時(shí)間為變量，用歷史鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合確定各項(xiàng)系數(shù)，進(jìn)而對(duì)鐘差作外推預(yù)報(bào)，其缺點(diǎn)是預(yù)報(bào)誤差會(huì)隨時(shí)間的推移而不斷地增加；修正指數(shù)曲線法模型可以使用較少的歷史鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，但是該模型要求鐘差數(shù)據(jù)呈指數(shù)變化規(guī)律限定了其使用范圍，且建模數(shù)據(jù)的復(fù)雜性對(duì)模型的預(yù)報(bào)性能有較大影響等[13-15]。針對(duì)二次多項(xiàng)式模型和修正指數(shù)曲線法模型在預(yù)報(bào)GPS衛(wèi)星鐘差時(shí)精度的不足，本文提出基于一階差分修正指數(shù)曲線法的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型。

1 修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型

修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型描述的是在一段時(shí)間內(nèi)按指數(shù)曲線增長(zhǎng)，隨著時(shí)間的推移，增長(zhǎng)趨勢(shì)會(huì)減緩[16]。設(shè)觀測(cè)序列為：y1,y2,…,yn，所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為：t1,t2,…,tn?？山⑿拚笖?shù)曲線法模型如下：

y(t)=K+abt

(1)

式(1)中，這三個(gè)模型參數(shù)K,a,b均需要采用歷史數(shù)據(jù)來確定。修正指數(shù)曲線法鐘差預(yù)報(bào)模型建立過程主要有三個(gè)步驟：

1) 數(shù)據(jù)預(yù)處理。如果原始鐘差序列中存在異常數(shù)據(jù)，則需要采用拉格朗日插值法把缺失的鐘差數(shù)據(jù)補(bǔ)齊。

3) 利用已建好的修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)。

2 一階差分修正指數(shù)曲線法的預(yù)報(bào)模型

由于同一顆GPS衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)序列相鄰歷元的鐘差數(shù)據(jù)在數(shù)值上相差并不大，將其相鄰歷元的鐘差數(shù)據(jù)作一階差分處理，可以得到有效數(shù)字位數(shù)更少的一組鐘差差值數(shù)據(jù)序列。然后，基于一階差分的鐘差差值數(shù)據(jù)序列建立預(yù)報(bào)模型。這樣處理，可以降低建模時(shí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，從而進(jìn)一步提高了模型的預(yù)報(bào)性能。

設(shè)原始鐘差數(shù)據(jù)序列為：

Y(0)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}

(2)

將其相鄰歷元的鐘差數(shù)據(jù)作一階差分處理，得到一組差值數(shù)據(jù)序列：

ΔY(1)={Δy(1)(1),Δy(1)(2),…Δy(1)(i)…,

Δy(1)(n-1)}

(3)

式(3)中：Δy(1)(i)=y(1)(i+1)-y(1)(i),i=1,2,…,n-1。

對(duì)以上得到的鐘差差值數(shù)據(jù)序列(3)，可以建立修正指數(shù)曲線模型如下：

Δy(1)(t)=K+abt

(4)

式(4)中，三個(gè)參數(shù)K,a,b均需要采用歷史鐘差數(shù)據(jù)來確定。由于這里的K值不能預(yù)先確定，則采用“三和法”來估計(jì)模型參數(shù)K,a,b?！叭头ā眳?shù)估計(jì)的基本步驟可歸結(jié)為如下的過程：

把n個(gè)鐘差數(shù)據(jù)觀測(cè)值等分為三部分，每個(gè)部分有m個(gè)，即n=3m。具體劃分如下：

(5)

令每部分的趨勢(shì)值之和等于相應(yīng)的觀測(cè)值之和。

(6)

式(6)中，Si(i=1,2,3)表示鐘差數(shù)據(jù)觀測(cè)值的各部分之和，且

(7)

由式(7)可得：

(8)

將式(8)代入式(3)，即可得到如下的預(yù)報(bào)模型：

(9)

利用該模型即可預(yù)報(bào)出未來任意時(shí)刻一階差分的差值鐘差數(shù)據(jù)序列。最后，通過將一階差分預(yù)報(bào)序列和相應(yīng)的鐘差值對(duì)應(yīng)疊加即可得到所求歷元的鐘差預(yù)報(bào)值。

設(shè)預(yù)報(bào)的鐘差序列長(zhǎng)度為m，即可得到鐘差預(yù)報(bào)的最終表達(dá)式，如式(10)所示。具體的預(yù)報(bào)流程如圖1所示。

1≤i≤m;m,j∈N+

(10)

圖1 基于一階差分修正指數(shù)曲線法的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)過程Fig.1 Satellite clock bias prediction process based on first-order difference modified exponential curve method

3 試驗(yàn)與分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

從IGS服務(wù)器(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov)上

下載了2017年3月5日至6日共兩天的IGS精密鐘差數(shù)據(jù)，其采樣間隔為15 min?？紤]到目前在軌的GPS衛(wèi)星有30幾顆且我國(guó)北斗二代系統(tǒng)均搭載的是銣原子鐘，所以我們選3顆裝載銣原子鐘的衛(wèi)星進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)。本算例隨機(jī)選取了1顆GPS Block IIF-M型衛(wèi)星G17、1顆GPS Block IIF型衛(wèi)星G03和1顆GPS Block IIR型衛(wèi)星G16的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)。

3.2 建模方案

1) 方案一：用10 h數(shù)據(jù)建模后預(yù)報(bào)

選用二次多項(xiàng)式模型(QPM)、修正指數(shù)曲線法(MECM)和基于一階差分修正指數(shù)曲線法(D-MECM)，用10 h的數(shù)據(jù)建模，分別對(duì)未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)。

2) 方案二：用12 h數(shù)據(jù)建模后預(yù)報(bào)

選用二次多項(xiàng)式模型(QPM)、修正指數(shù)曲線法(MECM)和基于一階差分修正指數(shù)曲線法(D-MECM)，用12 h的數(shù)據(jù)建模，分別對(duì)未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)。

3.3 預(yù)報(bào)結(jié)果與分析

采用方案一對(duì)G17號(hào)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模及預(yù)報(bào)結(jié)果如圖2、圖3和表1所示。其中圖2分別為用10 h數(shù)據(jù)建立模型預(yù)報(bào)未來6 h、12 h、18 h和24 h鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)誤差變化圖，圖3分別為用12 h數(shù)據(jù)建立模型預(yù)報(bào)未來6 h、12 h、18 h和24 h鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)誤差變化圖。同理，采用方案一和方案二對(duì)G03、G16號(hào)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模后預(yù)報(bào)結(jié)果如表1所示。限于篇幅，采用方案一、方案二對(duì)G03、G16號(hào)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模后的預(yù)報(bào)誤差變化圖不再一一展示。

由于本試驗(yàn)使用的是IGS服務(wù)器上公布的精密鐘差數(shù)據(jù)，其自身的誤差小于0.1 ns，故可以作為“真值”，使用均方根誤差(RMS)作為統(tǒng)計(jì)量，去檢驗(yàn)二次多項(xiàng)式模型、修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型和基于一階差分修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型所預(yù)報(bào)結(jié)果的好壞程度。其數(shù)值結(jié)果見表1。

圖2 PRN17用10 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報(bào)Fig.2 PRN17 prediction error of with 10 h data modeling

圖3 PRN17用12 h數(shù)據(jù)建模預(yù)報(bào)Fig.3 PRN17 prediction error of with 12 h data modeling

單位：ns

圖4 方案1和方案2鐘差平均預(yù)報(bào)精度比較Fig.4 Mean accuracy comparisons of clock bias prediction for scheme 1 and scheme 2

結(jié)合圖2—圖4和分析表1可知：

1) 采用小數(shù)據(jù)量建模對(duì)GPS衛(wèi)星鐘差進(jìn)行6 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.89 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為1.75 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.52 ns。進(jìn)行12 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為2.18 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為4.25 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.67 ns。進(jìn)行18 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為4.00 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為7.56 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.85 ns。進(jìn)行24 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為6.58 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為11.91 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.95 ns。

2) 采用中等數(shù)據(jù)量建模對(duì)GPS衛(wèi)星鐘差進(jìn)行6 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為1.01 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.87 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.53 ns。進(jìn)行12 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為2.08 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為1.77 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.70 ns。進(jìn)行18 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為3.79 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為3.19 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.78 ns。進(jìn)行24 h預(yù)報(bào)時(shí)，二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為5.96 ns，修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為5.00 ns，而基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型預(yù)報(bào)誤差的平均均方根為0.93 ns。

3) 建模所采用的數(shù)據(jù)量對(duì)二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)性能有一定影響，建模所采用的數(shù)據(jù)量越大，二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)性能有一定提升。建模所采用的數(shù)據(jù)量對(duì)修正指數(shù)曲線法模型的預(yù)報(bào)效果有較大影響，建模所采用的數(shù)據(jù)量越大，修正指數(shù)曲線法的預(yù)報(bào)效果得到顯著提升。而建模所采用的數(shù)據(jù)量對(duì)基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型的預(yù)報(bào)效果影響較小，當(dāng)增加一定量的建模數(shù)據(jù)時(shí)，基于一階差分修正指數(shù)曲線法模型的預(yù)報(bào)性能變化很小，依然能夠進(jìn)行高精度的中短期預(yù)報(bào)。

4 結(jié)論

本文提出了基于一階差分修正指數(shù)曲線法的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型。該模型先對(duì)原始鐘差數(shù)據(jù)序列相鄰歷元作一階差分處理后，以得到有效數(shù)字位數(shù)更少的一組鐘差差值數(shù)據(jù)序列；然后，基于一階差分的鐘差差值數(shù)據(jù)序列建立了GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型。這樣處理可以降低建模時(shí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，從而進(jìn)一步提高了模型的預(yù)報(bào)性能。經(jīng)試驗(yàn)結(jié)果與分析表明，該模型較二次多項(xiàng)式預(yù)報(bào)模型和修正指數(shù)曲線法預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)效果較好，中短期的預(yù)報(bào)精度均在1 ns以內(nèi)且只需要采用較少的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模即可達(dá)到高精度的中短期預(yù)報(bào)，為GPS衛(wèi)星高精度的中短期預(yù)報(bào)提供了一種新的思路。但該模型仍然沒有克服誤差累積的現(xiàn)象，所以還需要進(jìn)一步研究如何實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期高精度的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)。