一類摩擦振子黏滑周期解及其控制

袁路奇 李群宏 歐玉芹

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 南寧 530004)

摩擦廣泛存在于生產(chǎn)生活當(dāng)中，描述含干摩擦的振動系統(tǒng)微分方程的運(yùn)動軌線在其相空間上是不連續(xù)的，因此求解較為困難。 Kim等人運(yùn)用諧波法對一類經(jīng)典庫侖摩擦質(zhì)量彈簧系統(tǒng)進(jìn)行研究[1]。Csernák 等人對簡諧激勵摩擦振子進(jìn)行研究，并在滑動狀態(tài)下進(jìn)行近似求解和數(shù)值仿真[2]。李群宏等人分析了Stribeck(斯特里貝克)系數(shù)模型,并對幾種滑動分岔進(jìn)行研究，給出傳送帶速度和摩擦力對振子動力學(xué)行為的影響[3-4]。白鴻柏等人對摩擦因數(shù)依賴速度的振動系統(tǒng)提出Fourier(傅里葉)級數(shù)算法[5]。趙旖旎等人給出含干摩擦耦合制動系統(tǒng)的振動分析[6]。劉麗蘭等人研究可變法向力對黏滯運(yùn)動的影響[7]。

本次研究中，首先引入依賴速度的分段非線性干摩擦力函數(shù)模型。由于摩擦力的非線性使得求解黏滑振動封閉解比較困難，由近似解析解分析參數(shù)變化對黏滯滑動的影響顯得比較重要,從而考慮在1個周期內(nèi)對黏滯和滑動2個階段分別求解。其次,引入了控制理論。與以往文獻(xiàn)[8-11]給出直接附加正壓力或者激勵不同，本次研究分別在2個方向上施加了作用力，可避免黏滯及其顫振運(yùn)動。最后，通過數(shù)值仿真給出驗(yàn)證結(jié)果。

1 黏滯滑動的近似解析解

1.1 模型建立

建立單自由度干摩擦振動系統(tǒng)模型(見圖1)。質(zhì)量為M的振子與彈性系數(shù)為K的彈簧連接于固定壁面，傳送帶的速度為V0,系統(tǒng)的微分方程為：

(1)

圖1 單自由度干摩擦振動系統(tǒng)模型

其中F是依賴速度型摩擦力函數(shù)：

(2)

引入變量x(t)代替X(t)：

x(t)=X(t)-F(V0)

(3)

則方程(1)變換為：

(4)

對式(4)進(jìn)行泰勒展開，并略去高階項(xiàng)：

(5)

其中

所以式(4)化為式(6)：

(6)

于是，定義：

(7)

則式(6)化為式(8)、(9)：

(8)

(9)

其中

1.2 求解

在純滑動狀態(tài)下，類似系統(tǒng)的近似解已有文獻(xiàn)給出。本次研究則分別在黏滯與滑動狀態(tài)(見圖2)下進(jìn)行計(jì)算，并最終給出系統(tǒng)的近似解析解。

圖2 黏滯與滑動狀態(tài)示意圖

1.2.1 滑動階段

考慮初始時(shí)間為t=0，此時(shí)對于整個運(yùn)動來說，滑動開始，黏滯結(jié)束。

(10)

采用一階近似方法求解式(11)：

u(t)=u0(t)+εu1(t)，t∈[0,ts]，ε?1

(11)

將式(8)、(9)代入式(11)，且當(dāng)t=0時(shí)，得：

(12)

由式(8)、(10)得:

(13)

又由式(11)得:

(14)

取u1(t)的一階近似解:

u1(t)=c1(t)cost+c2(t)sint

(15)

(16)

(17)

對式(17)進(jìn)行求導(dǎo)：

(18)

(19)

(20)

解得：

(21)

(22)

則

u(t)=u0(t)+ε[c1(t)+c2(t)+Ο(ε2)]t∈[t,T]

(23)

滑動停止黏滯開始的時(shí)間記為ts，下面求解ts：

(24)

根據(jù)式(1)得一階近似解：

u0=v0sint

(25)

則由式(24)、(25)得：

v0costs=v0

(26)

針對式(22)對應(yīng)定義域附近某一點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，又ts∈[π,2π]，則在此區(qū)間中點(diǎn)處展開：

(27)

(28)

(29)

由式(22)及式(28)，即可得到滑動階段的解。

1.2.2 黏滯狀態(tài)

易知振子的滑動運(yùn)動在t=ts時(shí)終止，并開始黏滯運(yùn)動，則有：

(30)

u(t)=u(ts)+v0(t-ts)，t∈[0,T]

(31)

設(shè)系統(tǒng)振子1個完整的黏滯滑動周期為T，則：

(32)

1.3 數(shù)值仿真

首先對原系統(tǒng)進(jìn)行仿真，取系統(tǒng)參數(shù)δ=0，γ=3，V0=1.24，系統(tǒng)初值為(0.2,0.1),利用Matlab計(jì)算并給出原系統(tǒng)的輸出相圖(見圖3)。

圖3 原系統(tǒng)的輸出相圖

2 黏滑運(yùn)動的控制

2.1 控制策略

常見的消除或者抑制黏滯運(yùn)動的方法主要有3種：(1)增加額外的阻尼補(bǔ)償由摩擦特性誘導(dǎo)效應(yīng)[8-9]；(2)增加外激勵破壞黏滯滑動的極限環(huán)[10]；(3)增加法方向的壓力消除黏滯滑動運(yùn)動的顫振運(yùn)動[11]。

采用第3種方法，與文獻(xiàn)[11]直接施加法方向作用力不同的是，控制函數(shù)采用與速度相關(guān)的控制率消除黏滯滑動運(yùn)動。

控制方程為：

(33)

(34)

令

(35)

則對應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

F(x1,x2)=

(36)

因此，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)X0為：

由平衡點(diǎn)坐標(biāo)知，通過調(diào)節(jié)控制律可以改變振子的最終位置。

又有：

(37)

故系統(tǒng)的雅可比矩陣可寫為以下形式：

(38)

(39)

平衡點(diǎn)處的特征方程為：

(40)

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判定定理，若所有特征值的實(shí)部均小于零，需要滿足式(41)：

(41)

2.2 控制的數(shù)值驗(yàn)證

取系統(tǒng)參數(shù)δ=0，γ=3，V0=1.24，k=1，N=1系統(tǒng)初值為(0.2,0.1),利用Matlab計(jì)算并給出施加控制后系統(tǒng)的輸出相圖(見圖4)。

圖4 施加控制后系統(tǒng)的輸出相圖

通過理論分析數(shù)值仿真驗(yàn)證可知，在施加控制之后成功地避免了黏滯運(yùn)動。與文獻(xiàn)[11]相比，其優(yōu)點(diǎn)在于控制率簡單容易實(shí)現(xiàn)，并且控制之后仍然是一個周期運(yùn)動，而缺點(diǎn)在于在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之后還需要進(jìn)行能量的輸入。

3 結(jié) 語

考慮一類分段非線性摩擦力函數(shù)，通過近似計(jì)算分別得到在黏滯和滑動狀態(tài)下的解析解并由Matlab給出數(shù)值解。設(shè)計(jì)控制函數(shù)，分別在原系統(tǒng)法方向和切方向施加作用力，給出在系統(tǒng)加載控制后在穩(wěn)定狀態(tài)下的參數(shù)取值范圍。由數(shù)值分析結(jié)果證實(shí)，此控制方法可行，可避免黏滯及其顫振運(yùn)動，并將運(yùn)動穩(wěn)定在純滑動運(yùn)動狀態(tài)。