二階線性微分方程不變量解法的新類型

趙臨龍

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 安康 725000)

對于變系數(shù)線性微分方程的可積性，盡管從理論上，完成了其解的構(gòu)造.即線性微分方程L(x)＝f(x)的通解，由其對應(yīng)的齊次線性微分方程L(x)＝0的通解和對應(yīng)的非齊次線性微分方程L(x)＝f(x)的特解構(gòu)成.但齊次線性微分方程的通解和對應(yīng)的非齊次線性微分方程的特解，怎樣來求?至今仍然是世界難題[1].近3年，有關(guān)二階線性微分方程的可積性的文獻(xiàn)不少[2-21].

1 問題背景

具有普遍性的還是二階線性微分方程的不變量解法.

1997年，趙臨龍給出二階齊次線性微分方程的不變量解法[22]，引起人們注意，被文獻(xiàn)引用[23-30].

于是，二階方程有可積類型：

①對于常數(shù)b，c，當(dāng)B(x) ＝ b，C(x) ＝ c時，有可積的常系數(shù)方程：Z″+bZ′+cZ ＝0.

②對于函數(shù)B(x)和C(x)，當(dāng)C(x)＝0時，有可積的降階方程：Z″+B(x)Z′＝0.

1998年，趙臨龍再次將該方法引入二階非齊次線性微分方程，給出不變量解法[30].引起更多人們的注意，被文獻(xiàn)引用[31-42].

由于 Riccati方程不一定可積，因此對于方程(5)，往往無法通過 Riccati方程(6)，求得函數(shù)B(x).這需要給出新的不變量關(guān)系式，以及二階線性微分方程的可積類型.

2 可積新類型

當(dāng)方程(15)可積時，就可求得方程(5)的解.對于二階變系數(shù)性微分方程(1)，有可積類型.

3 應(yīng)用

由定理4的結(jié)論⑤：p(x)+q(x)x＝2x-2x＝0，得到方程的一個解z＝x.

由定理4的結(jié)論③：取φ(x)＝mx(m待定)，則2mx-2x+(m+m2x2-2mx2-4)x＝0，即3(m-2)+m(m-2)x2＝0.求得：m ＝2.

得到方程(20)的一個解 z ＝ xe∫φ(x)dx＝ xe∫2xdx＝xex2.

于是，方程(20)通解為z＝c1x+c2xex2.

由定理3，得到原方程的通解：

例2[15]求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程y″-xy′+(2x-4)y ＝ 0.

這是不同原文的新解法.

該解法豐富了原文解法.這正是不變量解法的優(yōu)越性.