重離子碰撞中的張量力效應*

余 沖，郭 璐

(中國科學院大學物理科學學院， 北京 100049) (2017年4月12日收稿； 2017年5月5日收修改稿)

時間相關的Hartree-Fock(TDHF)理論最早由狄拉克于1930年提出[1]，它是基于自洽平均場近似的微觀量子多體理論,該理論成功地用于研究熔合反應[2-4]、深度非彈散射[5-8]、巨共振[9-10]、準裂變[11]等多種核物理現(xiàn)象。

近年來，張量力效應成為原子核物理領域的一個熱門研究課題。張量力效應在原子核結構性質的描述方面起著非常重要的作用[12]，從平均場理論相關研究可以知道，張量力對自旋-軌道劈裂[13-15]以及豐中子核中可能出現(xiàn)的新幻數(shù)[16]有很大的影響，Otsuka等[17-19]發(fā)現(xiàn)在奇異核殼層演化過程中，張量力能夠很好地解釋核子單粒子能級的演化。

上面這些都是有關張量力在原子核結構與性質方面的研究，很少有研究涉及到張量力對重離子碰撞的影響，大多數(shù)理論模型在重離子碰撞中都忽略張量力的貢獻。Stevenson等[20]對張量力在16O+16O反應的研究中，發(fā)現(xiàn)張量力對熔合閾值和Skyrme能量密度泛函中各項能量貢獻的影響是不可忽略的。Dai等[21]研究張量力對16O+16O體系能量耗散和熔合截面的影響，發(fā)現(xiàn)能量耗散的大小依賴于Skyrme參數(shù)的選擇；另外還發(fā)現(xiàn)未包含張量力的SLy5參數(shù)計算的16O+16O熔合截面比實驗值大將近25%，而包含張量力的T11參數(shù)計算得到的16O+16O熔合截面與實驗值符合得很好。

但是張量力在其他反應體系中的動力學效應還不是很清楚，本文采用包含有完整張量力項的Skyrme有效作用，和THFD理論研究16O+40Ca體系中張量力對庫侖位壘、高能熔合閾值以及Skyrme能量密度泛函中各項能量貢獻的影響。

1 理論方法

Hartree-Fock理論是一種平均場近似理論，在平均場近似下，剩余相互作用被略去，每一個粒子在平均場中做獨立運動。Hartree-Fock方程可以通過變分法得到

(1)

式中：ψλ是單粒子態(tài)λ的能量；是平均場哈密頓量算符。TDHF理論的作用量為

(2)

式中：H為多體哈密頓量算符；ψ(r,t)為多體波函數(shù)，在平均場近似下，可以表達為單粒子波函數(shù)φλ(r,t)的Slater行列式。通過對作用量S求變分δS/δψ*=0，可以得到TDHF方程

(3)

目前大多數(shù)Hartree-Fock和TDHF計算，采用Skyrme有效相互作用[22]，Skyrme相互作用最早是由Skyrme于20世紀50年代提出[22-25]，之后Skyrme給出含參數(shù)的Skyrme有效作用勢，現(xiàn)在的Skyrme有效作用勢已經(jīng)有幾十套常用的參數(shù)，例如SkM*[26],SLy4d[27], SLy5[28], SLy5t[28]和TIJ[29]等。完整的Skyrme相互作用勢為

iW0(σ1+σ2)·k′×δ(r1-r2)k+

δ(r1-r2)+δ(r1-r2)[3(σ1·k)(σ2·k)-

(σ1·σ2)k2]}+to[3(σ1·k′)δ(r1-r2)

(σ2·k)-(σ1·σ2)k′δ(r1-r2)k]

(4)

式中：ti,xj(i，j=0,1,2,3),to,te和W0是Skyrme力的系數(shù)，其中k和k′定義為

對應的Skyrme能量密度泛函為

(5)

式中:ρ,τ,j,s,T,J,F為Skyrme力的各個密度，相關定義見文獻[20]，各項前面的系數(shù)與ti,xj(i,j=0,1,2,3),to,te和W0的關系見文獻[27]。

本文采用不包含張量力的SLy5[28]和包含張量力的SLy5t[28], T22, T26, T44[29]總共5組Skyrme參數(shù)，研究16O+40Ca反應中的張量力效應，TDHF方程的計算是在沒有任何對稱性的三維數(shù)值格點上進行，格點的間隔是1.0 fm。首先由Hartree-Fock方程求解16O和40Ca的基態(tài)波函數(shù)，所用數(shù)值盒子大小為24 fm×24 fm×24 fm；在得到16O和40Ca的基態(tài)波函數(shù)之后，采用TDHF方程做16O+40Ca的動力學計算，動力學計算所用數(shù)值盒子大小為42 fm×24 fm×36 fm, 時間演化的步長為Δt=0.2 fm/c, 初始時刻彈靶核相對距離為28 fm。

2 張量力對熔合窗口的影響

文獻[20]研究張量力對16O+16O反應熔合閾值的影響，但是沒有討論張量力對動力學反應中熔合窗口的影響。由于熔合窗口的大小取決于高能熔合閾值與低能熔合閾值的差值，而對于中輕核反應體系，低能熔合閾值等于庫侖位壘的高度。

2.1 庫侖位壘

首先采用凍結密度近似的方法[30]研究庫侖位壘，該方法的主要思想是將動力學過程彈靶核的密度凍結在基態(tài)，在彈靶核相距為R時，由體系的總能量減去彈靶核各自的基態(tài)能量，從而得到兩核之間的凍結近似勢[31]，其計算公式為

VFD(R)=E[ρP+T](R)-E[ρT]-E[ρP]，

(6)

式中：ρP+T=ρP+ρT是彈靶核整個體系的總密度；E為體系Skyrme能量密度泛函，具體形式見式(5)。

利用SLy5, SLy5t, T22, T26, T44這5組Skyrme參數(shù)，采用凍結密度近似方法，計算16O+40Ca體系彈靶核之間庫侖位壘的高度與位置，計算精度為0.01 fm，計算結果見圖1和表1。

圖1 相互作用勢V(R)Fig.1 Interaction potential V(R)

SLy5SLy5tT22T26T44實驗值[32]V/MeV23.3623.3623.3423.3323.2123.06R/fm9.209.209.219.219.259.21

從表1的結果可以看出，SLy5和SLy5t參數(shù)得出的庫侖位壘高度和位置相同，這是由于張量力對自旋飽和核16O與40Ca的基態(tài)性質沒有影響；而T22，T26，T44參數(shù)的庫侖位壘高度和位置計算結果存在很小的差異，該差異是由于這3套Skyrme參數(shù)非張量力部分耦合常數(shù)的不同而引起的。圖1具體展示5組參數(shù)的相互作用勢V與兩核相對距離R關系的曲線。

綜上可知，張量力對自旋飽和16O+40Ca體系的庫侖位壘的位置與高度沒有影響。

2.2 高能熔合閾值

采用SLy5, SLy5t, T22, T26, T44這5組參數(shù)系統(tǒng)研究16O+40Ca體系的高能熔合閾值。 高能熔合閾值的定義是：在對心碰撞(碰撞參數(shù)等于零)情況下，使得體系能夠熔合時的最大質心系能量。 在我們的研究中計算精度為1 MeV，計算結果見表2。

表2 高能熔合閾值Table 2 The upper fusion threshold energy

由表2可知SLy5t和T26參數(shù)使得高能熔合閾值顯著升高；而T22和T44參數(shù)使得高能熔合閾值降低。由文獻[29]可知T26和T44參數(shù)的同位旋標量耦合常數(shù)是相同的，都等于120 MeV·fm5，同位旋矢量耦合常數(shù)分別為120和0 MeV·fm5，對比表2中T26和T44的高能熔合閾值，可以得到同位旋矢量張量項以及平均場重排使高能熔合閾值升高；T22和T44參數(shù)的同位旋矢量耦合常數(shù)是相同的，都等于0 MeV·fm5，同位旋標量耦合常數(shù)分別為0和120 MeV·fm5，對比表2中T22和T44的高能熔合閾值，可以得到同位旋標量張量項以及平均場重排使高能熔合閾值升高。由此可知張量力對高能熔合閾值有顯著影響。在文獻[22]中，發(fā)現(xiàn)16O+16O體系中張量力對高能熔合閾值的影響也不可忽略。

綜合張量力對低能熔合閾值和高能熔合閾值的影響，在16O+40Ca體系中，張量力主要通過對高能熔合閾值的影響，從而使得熔合窗口的大小發(fā)生變化。其中SLy5t和T26參數(shù)使得熔合窗口變大，而T22和T44參數(shù)使得熔合窗口變小。

3 張量力對Skyrme能量密度泛函中各項能量貢獻的影響

為研究張量力對Skyrme能量密度泛函中各項能量貢獻的影響，選取SLy5和SLy5t參數(shù)，質心系下的體系能量Ec.m.=170 MeV，碰撞參數(shù)b=0 fm，對16O+40Ca體系Skyrme能量密度泛函中各項能量的貢獻進行研究，奇時間項部分的能量貢獻的計算結果見圖2。對比表2中16O+40Ca體系SLy5和SLy5t參數(shù)下高能熔合閾值可知，在Ec.m.=170 MeV的對心碰撞，發(fā)生的是深度非彈碰撞。由圖2發(fā)現(xiàn)，在動力學的初始時刻，奇時間各項的能量貢獻都為零，因為初始時刻體現(xiàn)的彈靶核的基態(tài)性質，奇時間項對偶偶核的基態(tài)沒有影響，隨著彈核和靶核逐漸靠近，各項能能量貢獻逐漸出現(xiàn)差異，因為s2項僅出現(xiàn)在中心力場中，張量力部分沒有s2項，所以在SLy5和SLy5t參數(shù)下，s2項的能量貢獻差異來自于平均場的重排；由于SLy5參數(shù)中不包含張量力部分的s.F項，因此整個動力學過程中，SLy5參數(shù)計算的s.F項能量貢獻為零；而s.T項既有中心力場部分，又有張量力部分，從s.T項的能量貢獻知道，張量力抵消了一部分來自中心力場s.T項的能量貢獻。

圖2 奇時間項的能量貢獻Fig. 2 Energy contribution of time-odd terms

圖3 J2項的能量貢獻Fig.3 Total energy contribution of J2 term

以上研究是在16O+40Ca體系發(fā)生深度非彈碰撞下的結果，我們還研究16O+40Ca體系發(fā)生熔合時的情況，當質心系能量Ec.m.=46.5 MeV, 碰撞參數(shù)b=5.0 fm時會發(fā)生熔合，在該反應中，不同Skyrme參數(shù)下J2項的總能量貢獻見圖4。

圖4 不同力J2項的總能量貢獻Fig.4 Total energy contribution of J2 term for different forces

在圖4中，動力學的初始時刻，所有參數(shù)的J2項的總能量貢獻都近似為零，當進入碰撞階段，J2項的總能量貢獻都不為零，而且只有SLy5t的J2項的總能量貢獻是負值，其他4組參數(shù)的J2項的總能量貢獻都是正值。由文獻[29]可知，T26和T44參數(shù)的同位旋標量耦合常數(shù)是相同的，都等于120 MeV·fm5，同位旋矢量耦合常數(shù)分別為120和0 MeV·fm5，對比圖4中T26 和T44的J2項的總能量貢獻，可以得到同位旋矢量張量項以及平均場重排使J2項的總能量貢獻減??；T22和T44參數(shù)的同位旋矢量耦合常數(shù)是相同的，都等于0 MeV· fm5，同位旋標量耦合常數(shù)分別為0和120 MeV·fm5，對比圖4中T22和T44的J2項的總能量貢獻，可以得到同位旋標量張量項以及平均場重排使J2項的總能量貢獻增大。而且包含張量力的4組參數(shù)的能量貢獻大小與不包含張量力SLy5參數(shù)的能量貢獻大小都不同。以上這些結果表明在重離子碰撞過程中，張量力對Skyrme能量密度泛函能量貢獻的影響是不可忽略的。

4 小結與展望

通過以上張量力對16O+40Ca體系庫侖位壘、高能熔合閾值以及Skyrme能量密度泛函能量貢獻影響的研究發(fā)現(xiàn)，張量力對自旋飽和體系16O+40Ca的庫侖位壘沒有影響；張量力對高能熔合閾值影響比較顯著，同位旋標量、同位旋矢量張量項和平均場重排使得高能熔合閾值升高，其中SLy5t和T26參數(shù)使得熔合窗口變大，而T22和T44參數(shù)使得熔合窗口變??；在重離子碰撞中，張量力使Skyrme能量密度泛函中的各項能量貢獻發(fā)生變化，同位旋標量張量項以及平均場重排使自旋流贗張量項的總能量貢獻增大, 同位旋矢量張量項以及平均場重排使自旋流贗張量項的總能量貢獻減小。綜上所述，張量力對16O+40Ca體系重離子碰撞過程的影響是不可忽略的。

有關張量力在核反應的效應，未來還有很多值得繼續(xù)去研究的課題，比如：張量力對熔合截面和動力學庫侖位壘的影響, 張量力對核反應中動力學耗散影響等等。

本文中的計算是在國家超級計算天津中心計算資源的支持下完成的。