基于儲層砂巖微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征的彈性波頻散響應(yīng)分析

鄧?yán)^新, 周浩, 王歡, 趙建國, 王尚旭

1 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都理工大學(xué), 成都 610059 2 成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院地球物理與勘查技術(shù)系, 成都 610059 3 中國石油大學(xué)CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 102249

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基于儲層砂巖微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征的彈性波頻散響應(yīng)分析

鄧?yán)^新1,2, 周浩2, 王歡2, 趙建國3, 王尚旭3

1 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都理工大學(xué), 成都 610059 2 成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院地球物理與勘查技術(shù)系, 成都 610059 3 中國石油大學(xué)CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 102249

儲層砂巖微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征不僅影響干燥巖石的彈性波傳播速度,也決定了巖石介質(zhì)中與流體流動相關(guān)的速度頻散與衰減作用.依據(jù)儲層砂巖微觀結(jié)構(gòu)特征及速度隨有效壓力變化的非線性特征,將其孔隙體系理想化為不同形狀的硬孔隙(縱橫比α>0.01)與軟孔隙(縱橫比α<0.01)的組合(雙孔隙結(jié)構(gòu)).基于孔彈性理論,給出軟孔隙最小初始縱橫比值(一定壓力下所有未閉合軟孔隙在零壓力時的縱橫比最小值)的解析表達(dá)式,并在此基礎(chǔ)上利用巖石速度-壓力實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果給出求取介質(zhì)中兩類孔隙縱橫比及其含量分布特征的方法.通過逐步迭代加入軟孔隙的方法對基于特征縱橫比的“噴射流”(squirt fluid)模型進(jìn)行了擴(kuò)展,以考慮復(fù)雜孔隙分布特征對巖石噴射流作用的影響及其可能引起的速度頻散特征.相較于典型的噴射流作用速度頻散模式,對于巖石中軟孔隙縱橫比及其對應(yīng)含量在較寬的范圍呈譜分布的一般情況, 其速度頻散曲線不存在明顯的低頻段和中間頻段,速度隨頻率的增大呈遞增趨勢直至高頻極限.這說明即使在地震頻段,微觀尺度下的噴射流作用仍起一定作用,同樣會造成流體飽和巖石介質(zhì)的地震速度與Gassmann方程預(yù)測結(jié)果有不可忽略的差異.本文是對現(xiàn)有噴射流模型的重要補(bǔ)充,也為利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立不同頻段間巖石彈性波傳播速度的可能聯(lián)系提供了理論依據(jù).

儲層砂巖； 孔隙結(jié)構(gòu)； 噴射流作用； 速度頻散

1 引言

巖石彈性波傳播速度作為聯(lián)系巖石物性性質(zhì)及其地震響應(yīng)的有效橋梁一直是地球物理相關(guān)研究的重要內(nèi)容.由于影響速度的因素眾多,針對巖石中彈性波速度的研究涉及面也較為廣泛.一般而言,巖石的彈性波速度是由巖石的礦物組分特征、孔隙流體性質(zhì)、孔隙度和孔隙結(jié)構(gòu)特征等因素決定(陳颙和黃庭芳,2001).在這些影響因素中,孔隙度與孔隙結(jié)構(gòu)的綜合影響對巖石的速度變化特征起主要作用，同時也決定了巖石中與流體流動相關(guān)的速度頻散與衰減作用.

對干燥巖石而言,主要通過微分等效模型(DEM)、自洽模型(SCA)等來定量表征孔隙度與孔隙微觀結(jié)構(gòu)對彈性波速度的影響(O′Connell and Budiansky,1974; Norris,1985).以具有不同縱橫比值的橢球體來表示孔隙結(jié)構(gòu)特征的變化,均以Eshelby(1957)的單一橢球體等效夾雜理論為基礎(chǔ).流體飽和條件下,由于孔隙形狀差異引起了孔隙彈性性質(zhì)的差異,在彈性波的作用下這種微觀尺度上孔隙彈性特征差異會誘發(fā)不同孔隙間的流體流動作用,即“噴射流”作用,從而引發(fā)彈性波的速度頻散和衰減.描述噴射流作用的理論模型可分為兩類,其一是首先將巖石中不同形狀的孔隙理想化為“軟”孔隙(在相同有效壓力下容易被壓縮,主要表現(xiàn)為顆粒接觸邊界和微裂隙)和“硬”孔隙兩種類型的孔隙,兩類孔隙間流體流動滿足Navier-Stokes流動方程,然后通過表征不同頻率下孔隙間流體流動作用對軟孔隙剛度的改變來描述噴射流作用對巖石整體性質(zhì)的影響,該類模型以Murphy等(1986)和Mavko和Jizba(1991)的微觀顆粒尺度流體松弛機(jī)制以及Dvorkin和Nur(1993)和Dvorkin等(1995)所給出的BISQ(BIot-Squirt)理論模型為代表;其二是以無限大均勻介質(zhì)中單一橢球體的彈性響應(yīng)為基礎(chǔ)的夾雜體模型(Inclusion-based model),利用孔隙流體質(zhì)量守恒及Darcy定理描述不同孔隙形狀的孔隙間的流體流動作用,例如Hudson等(1996)給出的含裂隙孔隙介質(zhì)噴射流模型,以及Jakobsen等(2003)和Jakobsen和Chapman(2009)基于T-矩陣方法所給出的考慮宏觀流體流動和微觀噴射流動的統(tǒng)一理論模型.在這些基礎(chǔ)上,楊頂輝等國內(nèi)學(xué)者(Yang and Zhang,2002; Cheng et al.,2002; Yang et al.,2014)較為系統(tǒng)深入地研究了含流體孔隙介質(zhì)中的BISQ 模型,將BISQ 理論推廣到了一般的孔隙各向異性情況,并就各向異性介質(zhì)中的 BISQ 模型進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析和數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn),拓展了 BISQ 理論的應(yīng)用范圍.聶建新等(Nie and Yang, 2008；Nie et al.,2012)則提出了含流體非飽和黏彈性孔隙介質(zhì)中的 BISQ 模型,通過與彈性BISQ 模型的預(yù)測結(jié)果、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等的比較表明:在一定情況下,波的黏彈性衰減機(jī)理不可忽視.在夾雜體模型中雖然包含了孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)如縱橫比等信息,但由于模型過于復(fù)雜而很難應(yīng)用;同時該類模型在低頻極限條件下與Gassmann方程結(jié)果不一致.BISQ理論模型利用特征噴射流長度等唯象參數(shù)來表征微觀孔隙尺度上的不均勻性,不能較為直接地反映巖石自身孔隙特征變化對彈性波傳播特征的影響.鑒于這些不足之處,Gurevich等(2010)和Tang(2011)基于相同的孔隙結(jié)構(gòu)模型,采用不同的方法給出了彈性波傳播特征與巖石孔隙結(jié)構(gòu)特征(縱橫比、軟孔隙含量和微裂隙密度)的理論關(guān)系.

在Gurevich等(2010)和Tang(2011)兩種噴射流模型中,軟孔隙都是起決定性作用的, 巖石速度頻散的強(qiáng)度和特征頻率均主要由巖石的軟孔隙決定. 雖然Gurevich等(2010)和Tang(2011)的文章中給出了孔隙介質(zhì)的彈性模量與孔隙結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系,但文中僅給出含某一特定縱橫比及含量的軟孔隙對巖石速度頻散與衰減的影響.在實(shí)際的儲層巖石中,軟孔隙的縱橫比值往往不是一個定值,而應(yīng)該是對應(yīng)于一個連續(xù)的分布范圍.對于具有一定孔隙連續(xù)分布特征的實(shí)際巖石而言,其頻散和衰減特征并無更多的討論.正是基于這個問題,本文利用干燥巖石壓力-速度數(shù)據(jù)求取巖石的孔隙分布特征,并在此基礎(chǔ)上結(jié)合孔隙尺度噴射流作用機(jī)制,給出了具有復(fù)雜孔隙分布特征的巖石所表現(xiàn)出的可能的速度頻散及衰減特征,為更準(zhǔn)確評價復(fù)雜巖石介質(zhì)的彈性波傳播特征提供理論依據(jù).

2 儲層砂巖微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征

孔隙結(jié)構(gòu)是指巖石所具有的孔隙和喉道的幾何形狀、大小、分布及其相互連通關(guān)系.孔隙大小主要影響儲層的孔隙度,喉道大小與連通狀況直接影響著巖石的滲透性等物性特征.從力學(xué)的角度看來,巖石的孔隙,包括原生粒間孔及溶蝕孔隙,可視為不易壓縮的硬孔隙,其縱橫比α>0.01;孔喉,包括顆粒接觸邊界、孔隙邊界的封閉角落以及一些文獻(xiàn)中統(tǒng)稱的微裂隙(圖1a),則可視為易壓縮的軟孔隙,其縱橫比α<0.01.成巖過程對孔隙結(jié)構(gòu)的演化起決定性作用,成巖早期骨架顆粒間主要為點(diǎn)接觸或點(diǎn)-線接觸,巖石中的孔隙形狀具有明顯的多凹面形態(tài),這種形狀的孔隙可等效為硬孔隙與多個軟孔隙的組合(圖1b);當(dāng)壓實(shí)作用進(jìn)一步加強(qiáng)(包括化學(xué)壓實(shí)作用),顆粒排列將更加緊密,顆粒之間逐漸呈線接觸關(guān)系,兩顆粒之間由微細(xì)孔隙組成的通道形成數(shù)量較多的微細(xì)孔隙,在某種程度上這些微細(xì)孔隙本身就是軟孔隙, 殘余粒間孔隙的形狀也逐步演變?yōu)槿切位蛘唛L方形(圖1a).

圖1 砂巖孔隙結(jié)構(gòu)特征(a) 須家河組致密砂巖(φ=5.3%)； (b) 黃流組常規(guī)砂巖(φ=13.1%).Fig.1 Pore structure of reservoir sandstone shown by thin-section photomicrographs(a) Thin section of tight sandstone from Xujiahe Formation; (b) Thin section of common sandstone from Huangliu Formation.

不難發(fā)現(xiàn),砂巖的孔隙體系總能理想化為不同形狀的硬孔隙與軟孔隙的組合.基質(zhì)中任意類型孔隙的加入都會改變巖石介質(zhì)的等效剛度或者等效柔度. 從靜力學(xué)的角度看,孔隙的加入形成附加應(yīng)變從而改變巖石的等效柔度在物理意義上更為明確.因此,在表征孔隙度及孔隙形狀對巖石彈性性質(zhì)影響時,采用等效柔度表示方法相較于等效剛度表示方法也通常更準(zhǔn)確,尤其是對于孔隙或裂隙等軟孔隙含量較高的情況.假定巖石基質(zhì)的柔度為S0,硬孔隙與軟孔隙的加入所產(chǎn)生的附加柔度分別為ΔSsoft與ΔSstiff,則巖石等效柔度S可表示為

S=S0+ΔSsoft+ΔSstiff.

(1)

由于附加柔度的線性疊加性,在具有雙孔結(jié)構(gòu)特征的砂巖基質(zhì)中添加孔隙可以分成兩個階段. 首先將硬孔隙加入基質(zhì)中,如果考慮孔隙間的相互作用,巖石介質(zhì)的等效彈性模量(Kstiff、μstiff)按其柔度形式可用Mori-Tanaka公式計(jì)算(Mori and Tanaka,1973)，表達(dá)式為

(2)

其中K0、μ0分別為巖石基質(zhì)組成顆粒的體積與剪切模量,φs為硬孔隙的孔隙度,P、Q分別為歸一化孔隙可壓縮系數(shù)與剪切柔度, 為基質(zhì)彈性模量與孔隙縱橫比α的函數(shù).實(shí)際上P、Q也可理解為硬孔隙的形狀因子,對于球形孔隙等規(guī)則形狀孔隙P、Q可得到解析解;對于不規(guī)則孔隙可通過對彈性模量或速度的測量結(jié)果進(jìn)行擬合得到. 在此基礎(chǔ)上再加入軟孔隙, 此時基質(zhì)等效體積與剪切模量分別為(Kstiff、μstiff), 巖石介質(zhì)的等效彈性模量(Kd、μd)按其柔度形式仍然可用Mori-Tanaka公式計(jì)算，表達(dá)式為

(3)

式中φc為軟孔隙的孔隙度,P、Q為軟孔隙形狀因子.如果將軟孔隙看作微裂隙, 在裂隙縱橫比小于0.1～0.2的情況下, 裂隙自身的柔度與裂隙縱橫比無關(guān), 而更多地取決于裂隙密度ε(Kachanov et al.,1994), 因此在考慮軟孔隙影響時可利用裂隙密度代替其孔隙度, 兩者關(guān)系為(David and Zimmerman, 2012)

φc.

(4)

巖石中裂隙的形狀極為復(fù)雜, 而形狀又對其柔度有明顯的影響, 為使后續(xù)計(jì)算簡化, 采用簡單類球體模型代替軟孔隙形狀,P、Q可給出解析表達(dá)式(Zimmerman,1986;Kachanov et al.,1994). 同時由于巖石中軟孔隙φc很小, 此時公式(3)可表示為

(5)

式中υstiff為巖石僅含硬孔隙的泊松比,ε表示巖石中所有未閉合軟孔隙的累積裂隙密度. 由于硬孔隙隨壓力變化較小, 僅含該類孔隙的巖石的等效彈性模量與高有效壓力下的彈性模量(Kh、μh)近似,而(Kh、μh)則可通過干燥巖石速度-有效壓力實(shí)驗(yàn)曲線得到, 如選擇該曲線線性段反向延長與縱軸的交點(diǎn)所給出的速度值, 也可直接選擇高有效壓力的速度值(Gurevichetal.,2010). 采用Kh、μh分別代替Kstiff與μstiff可避免討論硬孔隙形狀因子P、Q的影響, 而直接利用公式(5)求取軟孔隙特征.

3 孔隙分布特征計(jì)算

3.1 孔隙分布計(jì)算方法

對單一孔隙/裂隙，其閉合壓力p與縱橫比α近似滿足關(guān)系:p=αE0, 其中E0為基質(zhì)顆粒楊氏模量.成分主要為石英顆粒的砂巖的楊氏模量為80GPa, 那么縱橫比α=0.01的孔隙閉合的壓力應(yīng)為800 MPa左右,這個壓力遠(yuǎn)大于通常的實(shí)驗(yàn)壓力. 因此可將α=0.01作為軟孔隙與硬孔隙的分界. 已有研究結(jié)果表明, 干燥巖石的速度通常會隨著壓力的增大而逐漸增大,這種變化趨勢主要是由于巖石中的軟孔隙在壓力增大的過程中,先后閉合而引起的;而不可閉合孔隙(硬孔隙)對巖石的速度-壓力變化關(guān)系幾乎不做貢獻(xiàn), 其縱橫比隨壓力表現(xiàn)出非常微小變化(陳颙和黃庭芳,2001;Shapiro,2003；David and Zimmerman,2012). 基于上述分析, 硬孔隙對巖石等效柔度公式(2)的改變是壓力無關(guān)的, 而軟孔隙對等效柔度公式(5)的改變是壓力相關(guān)的. 換句話說, 每個有效壓力下的速度對應(yīng)著特定縱橫比的軟孔隙閉合, 這也是利用速度-壓力變化關(guān)系計(jì)算軟孔隙分布的基礎(chǔ).

確定巖石的孔隙結(jié)構(gòu)就是要給出硬孔隙和軟孔隙縱橫比的分布及其對應(yīng)的孔隙含量. 由于硬孔隙對巖石等效彈性性質(zhì)的影響較為簡單, 同時不表現(xiàn)出明顯的壓力相關(guān)性, 造成很難直接利用速度-有效壓力關(guān)系曲線直接求取縱橫比分布及其含量. 本文采用單一縱橫比來表征硬孔隙的平均特征. 具體計(jì)算方法是根據(jù)速度-有效壓力曲線確定Kh、μh,再利用公式(2)求取與之最貼合的Kstiff與μstiff以及相應(yīng)的硬孔隙縱橫比.

在得到硬孔隙的平均縱橫比后, 確定巖石孔隙結(jié)構(gòu)則主要是確定其中軟孔隙的縱橫比及對應(yīng)含量的可能分布特征.David和Zimmerman(2012)給出了有效壓力p下未閉合的所有軟孔隙的最小初始縱橫比值αi的計(jì)算公式為

(6)

式中εp表示有效壓力p下未閉合軟孔隙的累積裂隙密度,ε0表示零有效壓下巖石中的初始裂隙密度,Kd(εp)表示巖石在有效壓力p下的體積模量.

在假定軟孔隙的孔隙形狀為類球形時,Kd(εp)可用公式(5)計(jì)算.研究表明,干燥巖石中的軟孔隙裂隙密度隨有效壓力的增大一般呈指數(shù)遞減趨勢(Shapiro, 2003).可假設(shè)不同有效壓力下的裂隙密度εp與零壓下的初始裂隙密度ε0滿足指數(shù)關(guān)系為

(7)

(8)

結(jié)合公式(5)和公式(8)可給出αi在Mori-Tanaka模型下的解析表達(dá)式為

(9)

值得一提的是,將公式(7)再代入(9)中可得:

(10)

不難發(fā)現(xiàn)公式(10)就是p=αE0的另一種表達(dá)形式.但從物理意義看來,p=αE0中的α表示的是單一裂隙巖石模型中孔隙的縱橫比值,而αi表達(dá)的是含裂隙分布巖石中未閉合軟孔隙的最小初始縱橫比,兩者所對應(yīng)的巖石孔隙結(jié)構(gòu)類型是完全不同的;除此之外,p=αE0中的E0是巖石基質(zhì)的楊氏模量,而Eh,mt則是含未閉合硬孔隙巖石的楊氏模量.

利用上述方法,我們可以由干燥巖石的速度-壓力曲線提取出巖石的孔隙分布特征,但要注意的是,這個孔隙分布特征實(shí)際上是有效壓力為零時巖石的孔隙分布特征.Zimmerman(1991)指出,在壓力逐漸增大的過程中,巖石中各縱橫比的軟孔隙的縱橫比的減小量應(yīng)該是一致的,并且所有軟孔隙的縱橫比值與壓力的關(guān)系為

′.

(11)

3.2 實(shí)際巖石的孔隙分布特征

圖2中給出不同有效壓力下兩塊儲層砂巖樣品分別在干燥和飽水條件下的縱、橫波速度測量結(jié)果, 測量方法為標(biāo)準(zhǔn)的超聲波脈沖傳輸法, 配套寬頻帶縱波PZT換能器的主頻為700 kHz,橫波為350 kHz. 兩塊巖石樣品均未見手標(biāo)本尺度上的不均勻性(包括可見裂隙), TS1樣品取川東北的須家河致密砂巖儲層, S1樣品取自南海黃流組常規(guī)砂巖儲層. XRD分析表明TS1樣品主要礦物組分為石英、長石與后期膠結(jié)物方解石, 方解石含量為22.8%, 黏土含量為0.4%; S1樣品主要礦物組分石英、長石與少量黏土, 黏土含量為12%. TS1與S1樣品孔隙度分別為5.5%與13.1%, 巖石孔隙結(jié)構(gòu)特征見圖1.

由圖2知,縱橫波速度均表現(xiàn)出相同的變化方式, 在有效壓力小于30 MPa時, 速度隨有效壓力的增大迅速增大, 壓力-速度變化關(guān)系曲線呈明顯非線性特征; 大于該有效壓力時, 壓力-速度變化關(guān)系近于線性, 同時速度隨著壓力的增大變緩. 壓力-速度變化曲線的非線性部分通常被認(rèn)為是由巖石中縱橫比較小的軟孔隙在壓力增大的過程中先后閉合引起的, 而線性段則是縱橫比較大的硬孔隙的響應(yīng).本文以最大壓力處的速度作為高壓速度,采用前面一節(jié)提出的硬孔隙計(jì)算方法, 求得TS1樣品與S1樣品硬孔隙縱橫比分別為0.1與0.21.從縱橫比看硬孔隙的形狀更接近于扁圓橢球體而非球體.在計(jì)算過程中, 樣品基質(zhì)組成顆粒模量(K0、G0)是通過Voigt-Reuss-Hill平均公式計(jì)算,TS1樣品基質(zhì)組成顆粒的體積與剪切模量分別為43.9GPa與32.5GPa,S1樣品的分別為34.5GPa與26.4GPa.

圖2 飽水和干燥巖石的壓力-速度曲線(a) 致密砂巖TS1的壓力-縱橫波速度曲線; (b) 常規(guī)砂巖S1的壓力-縱橫波速度曲線.Fig.2 Velocity versus confining pressure of dry and saturated rocks(a) Velocity-pressure curve of compact sandstone sample TS1; (b) Velocity-pressure curve of common sandstone sample S1

隙度的0.69%.致密砂巖TS1的軟孔隙的初始裂隙密度和總孔隙度都小于S1的,并且TS1的總孔隙度也約為S1的二分之一,因此TS1在縱、橫波速度上整體比S1的速度大.一般而言,如果縱橫比的分布范圍更廣,那么在壓力逐漸增大的過程中,幾乎在各個壓力點(diǎn)都有一定量軟孔隙閉合,因而速度隨著壓力增大的趨勢較平緩,即可能在整個壓力變化范圍內(nèi)速度隨壓力增大呈線性增加趨勢;相反,如果軟孔隙分布范圍更窄,即在某個局部壓力范圍內(nèi)會有大量軟孔隙閉合,造成速度在該局部壓力區(qū)間內(nèi)變化較快,而在其余壓力范圍內(nèi)變化平緩,形成典型的壓力-速度的非線性變化趨勢.由圖3和圖4可知,雖然TS1和S1的孔隙分布形態(tài)相似,但是砂巖TS1在各縱橫比的軟孔隙的孔隙度和裂隙密度都相對更小,因此TS1砂巖的速度曲線變化相對更為平緩.

4 基于孔隙結(jié)構(gòu)的噴射流作用

4.1 基于孔隙結(jié)構(gòu)的噴射流模型

圖3 TS1致密砂巖樣品(a)與S1常規(guī)砂巖(b)軟孔隙縱橫比的孔隙度分布特征Fig.3 Porosity distribution as function of aspect ratio of soft pore for TS1 compact sandstone sample (a) and S1 common sandstone sample (b)

圖4 TS1致密砂巖樣品(a)與S1常規(guī)砂巖(b)軟孔隙累積裂隙密度分布Fig.4 Cumulative crack density distribution as function of aspect ratio of soft pore for TS1 compact sandstone sample (a) and S1 common sandstone sample (b)

在微觀孔隙尺度下流體流動作用對巖石彈性性質(zhì)的影響可用噴射流理論描述. 對具有雙孔孔隙結(jié)構(gòu)的巖石而言,彈性波的頻散和衰減主要是由巖石中的軟孔隙決定.在眾多的噴射流理論表述中, Tang(2011)給出了巖石介質(zhì)中微裂隙與孔隙并存的彈性波統(tǒng)一理論, 并將噴射流作用同巖石中微裂隙(軟孔隙)裂隙密度ε以及縱橫比α這兩個重要孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)建立了聯(lián)系. 利用相同的孔隙結(jié)構(gòu)模型,Gurevich等(2010)將噴射流作用同巖石中微裂隙孔隙度φc以及縱橫比α聯(lián)系起來. 在Gurevich等(2010)的方法中延續(xù)了Murphy等(1986)與Dvorkin等(1995)的思想, 考慮了軟孔隙中流體弛豫作用對其柔度的影響.如果將僅含干燥硬孔隙的巖石作為新的等效基質(zhì), 其體積模量為Kstiff(通常用Kh替代), 加入軟孔隙并考慮軟孔隙與硬孔隙中流體噴射流作用影響時, 巖石等效模量Kmf、μmf的計(jì)算公式為

(12)

式中ω為圓頻率,η為孔隙流體動態(tài)黏度,αc為軟孔隙特征縱橫比,φc(p)為一定有效壓力p下的軟孔隙孔隙度,Kd(p)、μd(p)分別為有效壓力p下巖石中含有縱橫比為αc、孔隙度為φc(p)的軟孔隙時的干燥體積與剪切模量.

公式(12)右端第二項(xiàng)可理解為在Kh的基礎(chǔ)上,通過加入特定縱橫比的飽和流體軟孔隙來表征噴射流作用.在考慮軟孔隙作用后,剩余硬孔隙因其不可壓縮性,在流體飽和后仍滿足Gassmann方程, 此時硬孔隙完全飽和時的體積模量Ksat與剪切模量μsat的計(jì)算公式為

μsat(p,ω)=μmf(p,ω).

(13)

實(shí)際巖石中的軟孔隙的縱橫比不可能為一個固定值,而是在一定的范圍內(nèi)呈連續(xù)分布的. 因此,研究孔隙具有一定分布特征的巖石所具有的噴射流頻散和衰減作用則更為必要.在得到巖石中軟孔隙縱橫比值關(guān)于孔隙度的分布數(shù)據(jù)后, 如果將其離散, 則對每個離散后的孔隙縱橫比和對應(yīng)孔隙度可仍然采用公式(12)的方法計(jì)算軟孔隙噴射流作用的影響. 然后通過迭代加入各縱橫比的軟孔隙計(jì)算基于孔隙分布的巖石的Kmf和μmf.在迭代加入軟孔隙的過程中,除首次加入軟孔隙以公式(12)計(jì)算外, 第k次加入軟孔隙所計(jì)算的Kmf和μmf值,將視作第(k+1)次加入軟孔隙的Kh和μh;而在Kh和μh基礎(chǔ)上加入軟孔隙即得第(k+1)次的Kd和μd.整個加入軟孔隙的過程可表述為

(14)

將所得到Kmf和μmf再分別代入公式(13)中計(jì)算硬孔隙完全飽和時的體積模量Ksat與剪切模量μsat.因?yàn)楣?12)實(shí)質(zhì)是彈性模量的柔度形式,這種逐步添加軟孔隙的方法具有合理性,并且軟孔隙不論是按照縱橫比增大的順序添加還是按相反的順序添加其計(jì)算結(jié)果均相同.

4.2 模型計(jì)算結(jié)果分析

以TS1與S1兩塊砂巖為例,在得到其孔隙縱橫比值的孔隙度分布特征的基礎(chǔ)上(圖3和圖4),利用4.1小節(jié)中所給出的方法可以做出全頻段內(nèi)基于孔隙分布的巖石的總體縱、橫波速度頻散曲線(圖5和圖6). 作為對比,圖中同時給出了將各縱橫比值對應(yīng)的軟孔隙按其孔隙度通過公式(12)計(jì)算的各條僅含單一縱橫比軟孔隙的巖石的縱、橫波速度頻散曲線. 圖中紅色曲線對應(yīng)著基于孔隙分布的巖石的綜合速度頻散曲線,對應(yīng)左側(cè)縱坐標(biāo)軸; 而藍(lán)色曲線則對應(yīng)于各特定縱橫比軟孔隙的速度頻散曲線,對應(yīng)右側(cè)縱坐標(biāo)軸.綜合速度頻散曲線與各特定縱橫比速度頻散曲線在形態(tài)具有較大的差異,基于巖石孔隙分布的綜合頻散曲線從1 Hz到高頻極限處縱、橫波速度均呈逐漸增大趨勢,速度頻散曲線沒有明顯的低頻段(彈性波誘發(fā)孔壓在不同孔隙間達(dá)到平衡)和中間頻段;當(dāng)頻率低于高頻界限時,曲線形態(tài)大致為各單一縱橫比頻散曲線中間段的包絡(luò),巖石中彈性波的總頻散可視為各縱橫比軟孔隙頻散作用的綜合累積效應(yīng).通常認(rèn)為,在流體黏度較低的情況下,噴射流作用在測井頻段或者更高的超聲頻段起作用(Pride and Berryman, 2003；Pride et al.,2004;鄧?yán)^新等,2012).通過本文的分析可以看出,考慮巖石軟孔隙實(shí)際分布特征,即使在地震頻段其速度值也可能與Gassmann方程結(jié)果有不可忽略的差異.

圖5 基于孔隙分布的縱波速度頻散與基于單縱橫比模型的縱波速度頻散關(guān)系(a) TS1致密砂巖樣品縱波速度頻散特征; (b) S1常規(guī)砂巖縱波速度頻散特征.Fig.5 P-wave velocity dispersion calculated from pore distribution model and from single aspect ratio model(a) Dispersion for TS1 tight sandstone sample; (b) Dispersion for S1 normal sandstone sample.

圖6 基于孔隙分布的橫波速度頻散與基于單縱橫比模型的橫波速度頻散關(guān)系(a) TS1致密砂巖樣品橫波速度頻散特征; (b) S1常規(guī)砂巖橫波速度頻散特征.Fig.6 S-wave velocity dispersion calculated from pore distribution model and from single aspect ratio model(a) Dispersion for TS1 tight sandstone sample; (b) Dispersion for S1 common sandstone sample.

圖7 基于孔隙分布和基于特征縱橫比的速度頻散特征對比(a) 致密砂巖TS1在0 MPa和20 MPa下縱波速度頻散; (b) 常規(guī)砂巖S1在0 MPa和20 MPa下縱波速度頻散; (c) 致密砂巖TS1在0 MPa和20 MPa下橫波速度頻散;(d) 常規(guī)砂巖S1在0 MPa和20 MPa下橫波速度頻散.Fig.7 Velocity dispersion calculated from pore distribution model and from characteristic aspect ratio model(a) and (b) P-wave velocity dispersion at confining pressure of 0 MPa and 20 MPa for sample TS1 and S1, respectively; (c)and (d) S-wave velocity dispersion at confining pressure of 0 MPa and 20 MPa for sample TS1 and S1, respectively.

圖8 不同圍限壓力下樣品速度測量結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果對比(a) 致密砂巖TS1縱波速度實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型結(jié)果對比; (b) 常規(guī)砂巖S1縱波速度實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型結(jié)果對比; (c) 致密砂巖TS1的橫波速度實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型結(jié)果對比; (d) 常規(guī)砂巖S1的橫波速度實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型結(jié)果對比.Fig.8 Velocity measurement data and model prediction results as function of confining pressure at dry and water saturated conditions(a) Measured P-wave velocity and model prediction data for sample TS1; (b) Measured P-wave velocity and model prediction data for sample S1; (c) Measured S-wave velocity and model prediction data for sample TS1; (d) Measured S-wave velocity and model prediction data for sample S1.

現(xiàn)有文獻(xiàn)中在描述巖石中軟孔隙相關(guān)的噴射流作用時通常是用具有特定縱橫比軟孔隙的模型,這種模型可在某種程度上視作實(shí)際巖石介質(zhì)中軟孔隙分布的一種平均,在這里稱為特征縱橫比軟孔隙模型.為比較不同壓力下基于特征縱橫比與基于孔隙分布的巖石介質(zhì)速度頻散曲線的差異,分別做出兩種模型下巖石在0 MPa和20 MPa下巖石的縱、橫波速度頻散曲線(圖7)，圖中“Overall”為基于孔隙分布模型的速度頻散計(jì)算結(jié)果; “CHA”為基于特征縱橫比的速度頻散計(jì)算結(jié)果，計(jì)算時取各個壓力下基于軟孔隙分布的一個加權(quán)平均縱橫比來表征特征縱橫比αcha，公式為

(15)

在基于特征縱橫比與基于孔隙分布的兩種模型中,不同壓力下巖石的軟孔隙總含量相同,并且隨著壓力的增大,不論是基于孔隙分布還是基于特征縱橫比的速度頻散強(qiáng)度均會減弱.這主要是由于巖石的速度頻散強(qiáng)度主要由軟孔隙含量決定,兩種孔隙模型下軟孔隙含量都會隨壓力的增大而減少.速度頻散曲線的特征頻率由軟孔隙的縱橫比值決定, 而軟孔隙縱橫比都會隨壓力的增大而減小,因此整個頻散曲線高頻界也會向低頻方向移動; 由于基于孔隙分布的模型中縱橫比變化為一較寬的范圍, 造成其速度頻散曲線不會像基于特征縱橫比模型的速度頻散曲線一樣隨著壓力的增大而“迅速”向低頻方向移動.對于某一固定壓力下的速度頻散曲線而言, 基于特征縱橫比孔隙模型的速度頻散曲線的高頻界限、低頻界限以及中間頻段明顯; 基于孔隙分布的速度頻散曲線高頻界限明顯,無明顯的低頻界限和中間頻段. 如果特征縱橫比值的計(jì)算方法不同, 則頻散的強(qiáng)度和特征頻率都會隨之變化, 但是頻散曲線的“低頻+中間頻段+高頻”的曲線形態(tài)是不會改變的,而這正是兩種孔隙模型巖石速度頻散曲線最明顯的區(qū)別.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于孔隙分布的速度頻散模型的適用性,我們將TS1號和S1號巖石在700KHz頻率下測量的飽和巖石的速度與基于孔隙分布和基于特征縱橫比的兩種模型的理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比(圖8).圖中DRY表示巖石干燥測量速度值,WET表示水飽和速度測量值,M-T是以公式(5)結(jié)合各個壓力下的孔隙分布數(shù)據(jù)計(jì)算的干燥壓力-速度曲線,Gassmann是M-T對應(yīng)的零頻飽和流體壓力-速度曲線,Overall為基于孔隙分布模型的高頻飽和速度曲線,CHA為基于特征縱橫比模型的高頻飽和速度曲線.不難發(fā)現(xiàn),以M-T計(jì)算的模型數(shù)據(jù)與實(shí)際測量數(shù)據(jù)是吻合得很好的,并且基于孔隙分布模型的飽和巖石壓力-速度曲線相對于基于特征縱橫比模型的壓力-速度曲線而言,與實(shí)際高頻速度測量結(jié)果符合得更好.除此之外,由于利用基于孔隙分布速度頻散模型可以計(jì)算出任意壓力下全頻段內(nèi)飽和流體巖石的縱橫波速度,該頻散模型在取頻率為零時將與圖8中的Gassmann曲線重合,在高頻(f=100 kHz)時將與基于孔隙分布的Mavko和Jizba(1991)的高頻模型(基于孔隙分布計(jì)算干燥體積和剪切模量)一致, 即與Overall曲線重合, 這證明了基于孔隙分布彈性波速度頻散模型的正確性.

5 結(jié)論

基于孔彈性理論,采用簡單類球體模型代替軟孔隙(縱橫比α<0.01)形狀推導(dǎo)出軟孔隙最小初始縱橫比值的解析表示式,并在此基礎(chǔ)上給出求取介質(zhì)中孔隙分布特征(軟孔隙縱橫比及其對應(yīng)含量的分布, 硬孔隙平均縱橫比及其含量)的方法; 利用該方法針對實(shí)驗(yàn)砂巖樣品所得的軟、硬孔隙分布特征能夠準(zhǔn)確解釋其速度隨有效壓力變化的非線性特征.

在得到巖石介質(zhì)中孔隙分布特征的基礎(chǔ)上,對基于特征縱橫比的噴射流模型進(jìn)行了擴(kuò)展,以考慮巖石中軟孔隙縱橫比及其對應(yīng)含量具有譜分布的情況下噴射流作用所引起的速度頻散. 模型結(jié)果表明, 基于孔隙分布的速度頻散曲線高頻界限明顯,頻散曲線從1 Hz到高頻界限處縱、橫波速度呈逐漸增大趨勢,即無明顯的低頻和中間頻段; 而基于特征縱橫比的噴射流模型, 其頻散曲線具有典型的“低頻+中間頻段+高頻”的曲線形態(tài).上述結(jié)果說明,考慮巖石介質(zhì)孔隙尤其是軟孔隙實(shí)際分布特征,噴射流作用在地震頻段仍可對彈性波速度有一定的影響,并造成其與Gassmann方程結(jié)果有不可忽略的差異.

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(本文編輯 張正峰)

The influence of pore structure in reservoir sandstone on dispersion properties of elastic waves

DENG Ji-Xin1,2, ZHOU Hao2, WANG Huan2, ZHAO Jian-Guo3, WANG Shang-Xu3

1StateKeyLaboratoryofOilandGasReservoirGeologyandExploitation,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China2DepartmentofGeophysicsandExploration,CollegeofGeophysics,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China3CNPCKeyLaboratoryofGeophysicalProspecting,ChinaUniversityofPetroleum,Beijing102249,China

The pore structure of reservoir sandstone can significantly influence its elastic properties (e.g. elastic wave velocities), and also determine fluid-flow related wave dispersion and attenuation.In the common velocity dispersion models, only the compliant pore or crack with a fixed aspect ratio and concentration has been taken into account, while the fixed aspect ratio is considered as the “average”value of the rock, which is not completely realistic in reservoir rock. Because rock usually contains compliant pore (crack) showing a distribution of aspect ratios. This study presents a procedure to determine the pore aspect distribution of compliant pore (crack) from the pressure dependence of velocities. Based on the pore aspect distribution of compliant pore, a new method is suggested to extend the existing squirt flow model to consider the complex pore structure, especially when the aspect ratio has a relatively wide distribution.Based on micro-structure of a reservoir sandstone and the non-linear feature of velocities as a function of effective pressure, the pore system of the sandstone can be ideally classified into two groups, i.e. stiff pores with an aspect ratio larger than 0.01 and soft pores with an aspect ratio smaller than 0.01. In light of the poroelasticity theory, an analytic expression for the minimal initial aspect ratio is deduced under the assumption that the shape of soft pores is spheroidal. With this equation, a method to invert the distribution of the aspect ratio and corresponding pore volumes is presented by using the measured ultrasonic velocities as a function of pressure.Using an iterative procedure to add soft pore with different aspect ratios into the rock frame, the existing squirt fluid model of Gurevich is extended to consider complex pore structure of reservoir sandstones, especially when the aspect ratio has a relatively wide distribution.With the pore aspect ratio distribution, the extended Gurevich′s squirt-flow model is used to compute the wave velocities and attenuation as functions of frequency as well as pressure. When considering aspect ratio distribution of crack pore in the reservoir rock, the overall dispersion curve shows rapid velocity increase around a relatively wide squirt-flow relaxation frequency range of 1～104 Hz, which covers the typical seismic and sonic logging frequencies, indicating the mechanism of a continuous relaxation spectrum of the complex pore system. Compared with typical velocity dispersion curves based on a single aspect ratio squirt fluid model, the dispersion curves of the sandstone with a relatively wide distribution of aspect ratios do not show the low-frequency and middle-frequency range. This implies that for the rock samples at low pressure, it is not always profitable to employ Gassmann′s equation alone to predict the water-saturated velocities at typical seismic exploration frequencies. With the increasing pressure, velocity dispersion of the Gurevich′s squirt-flow model and the extended Gurevich′s squirt-flow model based on the aspect ratio distribution will decrease. To illustrate the validation of the extended Gurevich′s squirt-flow model, we compare predictions of our squirt model with laboratory measurement of two water-saturated sandstones at ultrasonic frequency of 700 kHz. We observe that the new model based on the pore structure is more accurate in predicting the pressure dependence of compression and shear velocities for the water-saturated sample than the Gassmann′s equation and Gurevich′s squirt-flow model. Our extended Gurevich′s squirt-flow model is consistent with Gassmann′s equation at low-frequency limit, and also with the Mavk-Jizba model at high-frequency.Through this study, we suggest that the squirt flow may be still important even in the seismic frequency band, and can cause apparent velocity deviation from the predictions based on Gassmann′s equation. Thus, our work can be considered as an important extension of the existing squirt fluid models.

Reservoir sandstone； Pore structure； Squirting fluid； Dispersion

鄧?yán)^新, 周浩, 王歡等. 2015. 基于儲層砂巖微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征的彈性波頻散響應(yīng)分析.地球物理學(xué)報，58(9):3389-3400,

10.6038/cjg20150931.

Deng J X, Zhou H, Wang H, et al. 2015. The influence of pore structure in reservoir sandstone on dispersion properties of elastic waves.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),58(9):3389-3400,doi:10.6038/cjg20150931.

10.6038/cjg20150931

P315

2014-04-22，2015-06-22收修定稿

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41374135)和國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)項(xiàng)目(2013CB228600)資助.

鄧?yán)^新,1974年生,2003年畢業(yè)于北京大學(xué)獲博士學(xué)位,2005年于中國石油大學(xué)博士后出站,從事地震巖石物理學(xué)和儲層地球物理學(xué)研究. E-mail: dengjixin@cdut.cn