基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的重構(gòu)算法研究

楊文舉 鄒峰

摘 要：本文針對(duì)OMP算法需要已知稀疏度的缺陷，提出了一種全盲的基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的SAMP算法，并利用此算法進(jìn)行仿真分析，然后與OMP算法進(jìn)行比較，分析這兩種算法的性能，得出SAMP算法在未知目標(biāo)信號(hào)的稀疏度的情況下能和OMP算法一樣實(shí)現(xiàn)目標(biāo)信號(hào)的頻譜重構(gòu)。

關(guān)鍵詞：壓縮感知理論；調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器；重構(gòu)算法

中圖分類(lèi)號(hào)：TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2018）19-0054-04

Research on the Signal Reconstruction Algorithm Based on the

Modulated Wideband Converter

YANG Wenju ZOU Feng

（The 723 Institute of CSIC，Yangzhou Jiangsu 225001）

Abstract： In this paper， a totally blind SAMP algorithm based on modulation wideband converter was proposed in this paper， which required the known sparsity of the OMP algorithm. This algorithm was simulated and analyzed by this algorithm. Then compared with the OMP algorithm， the performance of the two algorithms was analyzed. It was concluded that the SAMP algorithm could be calculated with OMP in the case of the sparsity of the unknown target signal. The same method was used to realize the spectral reconstruction of the target signal.

Keywords：compressed sensing theory；modulated wideband converter；reconstruction algorith

1 調(diào)制帶寬轉(zhuǎn)換器

調(diào)制帶寬轉(zhuǎn)換器作為一種全盲的和實(shí)用的欠奈奎斯特采樣系統(tǒng)，與傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣系統(tǒng)有很大區(qū)別，其在模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)的過(guò)程中，直接把傳統(tǒng)采樣中的采樣和壓縮過(guò)程合二為一，采樣之后的數(shù)據(jù)是已經(jīng)壓縮好的失真數(shù)據(jù)[1]。調(diào)制寬帶采樣系統(tǒng)是一種隨機(jī)解調(diào)采樣系統(tǒng)的多路并用，在利用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的情況下，較好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)多頻帶未知稀疏性信號(hào)的采樣，但帶來(lái)了另一個(gè)難題，就是如何把采樣之后的信號(hào)進(jìn)行無(wú)失真的、理想的重構(gòu)出原始目標(biāo)信號(hào)的頻率譜。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的原理見(jiàn)圖1。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器雖然在理論上有很大優(yōu)勢(shì)，使人們能很好地對(duì)多頻帶未知稀疏信號(hào)進(jìn)行采樣，但其還存在很多亟待解決的問(wèn)題。首先，重構(gòu)算法的性能不高，現(xiàn)有的重構(gòu)算法在成功率、可重構(gòu)的最大頻帶數(shù)和所需的通道數(shù)量等方面性能不太好，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中達(dá)到理論性能的極限值還有較大差距。此外，在有噪聲的情況下，重構(gòu)算法性能更差，需要進(jìn)行大量研究。其次，在采樣過(guò)程和重構(gòu)過(guò)程中會(huì)有嚴(yán)苛的條件要求，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，很多信號(hào)各個(gè)頻帶的數(shù)量和最大帶寬都是無(wú)法預(yù)知的，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，必須采用全盲的采樣方法，這進(jìn)一步提高了對(duì)重構(gòu)算法的性能要求。

2 頻率譜重構(gòu)的充分條件

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)是未知的，很多頻帶在信道中有很多可能的情況，有可能各個(gè)頻帶在信道中是相鄰的，也有可能是不相鄰的，很難得到目標(biāo)信號(hào)的最大頻率。此外，在特定的時(shí)間內(nèi)占用的頻帶數(shù)量也不知道。面對(duì)這么多未知狀況，必須對(duì)多頻帶稀疏性信號(hào)的信號(hào)模型進(jìn)行重新定義，這樣才能在不知道最大子頻帶帶寬及子頻帶數(shù)量的情況下進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)[2]。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的采樣原理就是通過(guò)混頻器進(jìn)行調(diào)制，然后通過(guò)低通濾波器進(jìn)行濾波，得到一個(gè)輸入信號(hào)和采樣信號(hào)的關(guān)系表達(dá)式：

[aiej2πfTs=n=-R0R0pinXf-nfp，f∈Fs=-fs/2，f/2s] （1）

然后，進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算，對(duì)這個(gè)式子兩端同時(shí)進(jìn)行離散時(shí)間傅立葉變換的逆運(yùn)算表達(dá)形式為：

[Yn=?Xn] （2）

其中，[Yn=y1n，y2n，…，ymnT，Xn=x1n，x2n，…，xLnT，n∈Z]。根據(jù)數(shù)學(xué)矩陣知識(shí)可知，式（1）中，[?]是[m×L]矩陣，[?i（n）=pi（n）]且[m設(shè)多頻帶的信號(hào)[xt]包含任意數(shù)量的頻帶，筆者利用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器系統(tǒng)進(jìn)行采樣，如果下列條件成立，則[Xf]就會(huì)有唯一解，原始目標(biāo)信號(hào)就能無(wú)失真地恢復(fù)。

①[fs≥fp]，并且[fs/fp]數(shù)值不能很大。

②一個(gè)周期內(nèi)[pit]的符號(hào)數(shù)[M≥Mmin=2fQ2fp+12-1]。

③[m≥2K]，其中[K=sup pxFs]。

④觀測(cè)矩陣[?]的任意2K列線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

3 頻譜感知中通道個(gè)數(shù)的確定

對(duì)多帶稀疏信號(hào)是未知的，必須根據(jù)實(shí)際情況對(duì)聯(lián)合稀疏度進(jìn)行估算，然后估計(jì)出對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行采樣需要多少個(gè)通道并行隨機(jī)解調(diào)，即要估計(jì)出所需要的通道數(shù)m。

在[fs=fp]作為最基本的配置情況下，假設(shè)在實(shí)際頻譜中第i個(gè)子頻帶[Ai]將自己帶到向量[Xf]的非零元素的數(shù)量記作[IAi]。根據(jù)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣技術(shù)的頻域行為，并考慮頻帶位置的隨機(jī)性，可以得到如式（3）所示的表達(dá)式：

[Ai/fp≤IBi≤Ai/fp+1] （3）

因此，所有的頻譜都進(jìn)入到[Xf]中的非零元素?cái)?shù)即聯(lián)合稀疏度滿(mǎn)足關(guān)系表達(dá)式（4）：

[iAi/fpIXfiAi/fp+1] （4）

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的通道個(gè)數(shù)雖然跟稀疏信號(hào)的稀疏度有關(guān)，但不需要精確地知道稀疏信號(hào)的稀疏度，只要使其通道個(gè)數(shù)不小于目標(biāo)信號(hào)的稀疏度的2倍即可。

4 重構(gòu)算法的研究及優(yōu)化

正交匹配追蹤算法（OMP）的整體框架如圖2所示。正交匹配追蹤算法可以分成2大步驟：感知和重建。感知過(guò)程就是尋找最佳匹配原子的過(guò)程，由最佳匹配原子確定出支撐集；重建過(guò)程就是利用已確定支撐集不斷去逼近原信號(hào)。2個(gè)過(guò)程不斷迭代，直到滿(mǎn)足相應(yīng)的迭代終止條件，最后重構(gòu)出原始信號(hào)。

由于OMP算法需要已知稀疏度，因此，對(duì)現(xiàn)實(shí)環(huán)境中很多稀疏度未知的多頻帶稀疏信號(hào)無(wú)法很好地進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。本文在稀疏度未知的情況下，對(duì)該算法進(jìn)行優(yōu)化，將迭代終止準(zhǔn)則設(shè)置為殘差值小于預(yù)置的門(mén)限，進(jìn)而提出稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法。

5 稀疏自適應(yīng)匹配算法

在稀疏自適應(yīng)匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法中，稀疏度是未知的。SAMP算法充分利用了“自底向上”和“自頂向下”重構(gòu)思想的優(yōu)點(diǎn)，可以在未知稀疏度的前提下實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu)。探索了當(dāng)信號(hào)的稀疏度未知時(shí)，如何繼續(xù)利用算法重構(gòu)信號(hào)的問(wèn)題。SAMP算法引入了參數(shù)步長(zhǎng)[s]，并假設(shè)稀疏度[K=s]，然后進(jìn)行算法迭代。如果滿(mǎn)足迭代停止條件，則重構(gòu)完成；否則，改變稀疏度，使[K=j×s]，進(jìn)入下一次算法迭代。SAMP算法流程如下。

輸入：[M×N]測(cè)量矩陣[?]，[M×1]數(shù)據(jù)向量y，步長(zhǎng)s。

輸出：支撐集[T=Tk]，估計(jì)信號(hào)[x∈RN]，[x1，…，N-T=0]，且[xT=?Ty]。

初始化：[x0=0，r=y，k=0]，估計(jì)支撐集[T0=?]，估計(jì)稀疏度[K=S]，k是迭代次數(shù)，階層[j=0]，索引集[Λ0]為空集。

①初始選擇[Sk={向量?*rk-1中前K]個(gè)量級(jí)最大元素的索引}；

②[k←k+1]；

③找出殘余分量[r]與采樣矩陣中最匹配原子的索引[λk]，即[λk←argmaxrk，?j]；

④更新索引集[Λk=Λk-1?λk]，并相應(yīng)更新采樣矩陣中的列集合[Λk=Λk-1?λk]；

⑤重建目標(biāo)信號(hào)，[x←?Ty]，其中[?T]表示矩陣的逆；

⑥更新殘余分量[r←y-?kx]；

⑦如果[rk2rk-12]，則[j=j+1，K=j×s]；否則[k=k+1]進(jìn)行循環(huán)迭代直到[rk2ε]，停止迭代。

從SAMP算法流程可知，當(dāng)步長(zhǎng)s較小時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度較高，重構(gòu)性能也較高；當(dāng)步長(zhǎng)s較大時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度較低，重構(gòu)性能會(huì)有所降低。對(duì)于任意稀疏度為K的信號(hào)X，如果測(cè)量矩陣[?]滿(mǎn)足帶有參數(shù)[δ3k<0.06]的3Ks階RIP條件，則在有限次迭代后，稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法能夠從[y=?x]中正確地重構(gòu)出目標(biāo)信號(hào)的頻譜，其中[Ks=sK/s]，s表示步長(zhǎng)。

6 仿真結(jié)果及分析

在調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)化器采樣過(guò)程中，仿真采用數(shù)字的方法替代模擬信號(hào)處理，在采樣過(guò)程中，首先要用混頻器擴(kuò)展信號(hào)的頻帶，模擬混頻器用數(shù)字乘法器進(jìn)行代替，低通濾波器用一個(gè)高階的數(shù)字濾波器進(jìn)行代替，低速ADC可以用數(shù)字抽取的方式進(jìn)行代替，本文采取的仿真過(guò)程如圖3所示。

為了進(jìn)行采樣之后重構(gòu)算法的驗(yàn)證，設(shè)計(jì)了下述5個(gè)步驟，然后與OMP算法的性能進(jìn)行比較。

①目標(biāo)稀疏信號(hào)的產(chǎn)生由表達(dá)式（5）形成。

[xt=i=12/NEiBisincBit-τicos2πfit-τi] （5）

②將信號(hào)的能量系數(shù)Ei設(shè)置為1，帶寬Bi設(shè)置為100MHz，信號(hào)的采樣率設(shè)置為10GHz；按照調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣理論設(shè)置MWC采樣參數(shù)：通道m(xù)設(shè)為40，每個(gè)通道的采樣率[fs=fp=fNYQ/195=51.28MHz]。

③將設(shè)置好的信號(hào)通過(guò)乘法器進(jìn)行擴(kuò)頻，然后再通過(guò)數(shù)字濾波器進(jìn)行濾波，對(duì)濾波之后的信號(hào)進(jìn)行數(shù)字抽取，抽取值（采樣頻率）為M。

④在重構(gòu)過(guò)程中通過(guò)改變?cè)枷∈栊盘?hào)的稀疏度K和測(cè)量值M，設(shè)置每個(gè)采樣過(guò)程重復(fù)1 000次，計(jì)算重構(gòu)出原始信號(hào)的成功率。

⑤對(duì)OMP算法和SAMP算法進(jìn)行仿真性能比較，在SAMP算法中設(shè)置不同的步長(zhǎng)s，比較OMP算法和SAMP算法的性能。比較結(jié)果見(jiàn)圖4至圖7。

從圖4至圖7可以看出，當(dāng)目標(biāo)信號(hào)的稀疏度一定時(shí)，無(wú)論是OMP重構(gòu)算法還是SAMP算法，測(cè)量值越多，信號(hào)重構(gòu)的成功率就越高。OMP重構(gòu)算法受目標(biāo)信號(hào)稀疏度的影響較大，而SAMP重構(gòu)算法受到的影響相對(duì)來(lái)說(shuō)較小。對(duì)于SAMP算法，步長(zhǎng)s越大，對(duì)目標(biāo)信號(hào)的迭代就越小，重構(gòu)性能也變差。從上述研究結(jié)果可以看出，SAMP算法可以在不需要知道稀疏度的情況下精確地實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)的重構(gòu)，且重構(gòu)率良好，與OMP算法的重構(gòu)率表現(xiàn)得很相近。

7 基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的頻譜感知應(yīng)用實(shí)例

受條件限制，沒(méi)有設(shè)計(jì)出硬件系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際采樣和信號(hào)重構(gòu)，欠采樣的前端設(shè)計(jì)和信號(hào)重構(gòu)都是用仿真實(shí)現(xiàn)的。

本文采用4通道示波器對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行欠采樣，然后對(duì)采樣之后得到的數(shù)據(jù)用SAMP算法進(jìn)行重構(gòu)。在實(shí)際環(huán)境中對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行欠采樣，然后利用SAMP算法對(duì)采樣之后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，該應(yīng)用實(shí)例的原理見(jiàn)圖8。

首先，設(shè)置一個(gè)原始稀疏信號(hào)[xt]，該信號(hào)由2個(gè)頻帶組成，第一個(gè)子頻帶的中心頻率為0.1GHz，帶寬為0.04GHz；另一個(gè)子頻帶的頻率中心為4.8GHz，帶寬為0.1GHz，其波形如圖9所示，將原始信號(hào)在MATLAB中進(jìn)行混頻處理及數(shù)字濾波器進(jìn)行濾波。其次，將產(chǎn)生的信號(hào)載入信號(hào)發(fā)生器，并使其進(jìn)入示波器通道，設(shè)置每個(gè)通道的采樣率為200MHz，進(jìn)行采樣。最后，將采樣之后的數(shù)據(jù)保存導(dǎo)入MATLAB中進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)的頻譜如圖10所示。原始稀疏信號(hào)較好地被恢復(fù)出來(lái)。可見(jiàn)，SAMP重構(gòu)算法具有良好的重構(gòu)性能，其在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中也是有效的。

8 結(jié)語(yǔ)

本文首先介紹了OMP算法，然后提出一種全盲的基

于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的SAMP算法，利用此算法進(jìn)行仿真分析，然后與OMP算法進(jìn)行比較，分析這兩種算法的性能，得出SAMP算法在未知目標(biāo)信號(hào)的稀疏度的情況下能和OMP算法一樣實(shí)現(xiàn)目標(biāo)信號(hào)的頻譜重構(gòu)。此外，對(duì)基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的SAMP算法重構(gòu)利用示波器進(jìn)行采樣，證明SAMP重構(gòu)算法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]Zhao Y. Model-Based Multichannel Compressive Sampling with Ultra-Low Sampling Rate[J].Circuits Systems & Signal Processing，2012（4）：1475-1486.

[2]Buckner Z D，Reed M L，Aylor J H. Antialiasing Encoder Interface With Sub-Nyquist Sampling[J].IEEE Transactions on Instrumentation & Measurement，2006（6）：2029-2033.

[3]黃振，柏正堯，莫禹鈞.調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器與多陪集采樣在稀疏多頻帶信號(hào)采樣中的應(yīng)用[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（4）：477-483.

[4]鄭仕鏈，楊小牛.用于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器壓縮頻譜感知的重構(gòu)失敗判定方法[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2015（1）：236-240.

[5]黃振，柏正堯，莫禹鈞，等.基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的倒譜恢復(fù)算法[J].南陽(yáng)理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（6）：22-24.

[6]寧剛.基于壓縮感知的信號(hào)重構(gòu)算法研究[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2010.

[7]霍迎秋.多維稀疏信號(hào)重構(gòu)算法研究及應(yīng)用[D].咸陽(yáng)：西北農(nóng)林科技大學(xué)，2015.

[8]葛進(jìn)波.基于壓縮感知的重構(gòu)算法與應(yīng)用研究[D].廣州：華南理工大學(xué)，2015.